버그만 커널

몇 가지 복잡한 변수에 대한 수학 연구에서 스테판 버그만의 이름을 딴 버그만 커널은ⁿ C의 도메인 D에 있는 모든 정사각형 통합형 홀모픽 함수의 힐버트 공간(RKHS)을 위한 재현 커널이다.

세부적으로 L²(D)을 D의 사각형 통합함수의 힐버트 공간으로 하고, L^2,h(D)은 D: 즉, D의 홀로모르픽 함수로 구성된 아공간을 나타낸다.

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

여기서 H(D)는 D에서 홀로모르픽 함수의 공간이다.그렇다면 L^2,h(D)은 힐버트 공간이다: L²(D)의 닫힌 선형 하위 공간이며, 따라서 그 자체로 완전하다.이는 홀로모픽 사각형 통합함수의 경우 D의 ƒ에 대한 기본 추정치에서 나타난다.

${\displaystyle \sup _{z\in K}f(z) \leq C_{K}\ f\ _{L^{2}(D)}}}}}$

(1)

D의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대해.따라서 L²(D)에서 일련의 홀로모르픽 함수의 수렴은 콤팩트한 수렴도 함축하고, 따라서 한계함수 또한 홀로모르픽이다.

(1)의 또 다른 결과는 각 z ∈ D에 대해 평가한다는 것이다.

${\displaystyle \vmname {ev} _{z:f\mapsto f(z)}$

L^2,h(D)에 대한 연속적인 선형 기능이다.리에즈 표현 정리(Riesz presentation organization)에 의해 이 기능은 L^2,h(D)의 요소를 가진 내생물로 표현될 수 있는데, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){d}(\zeta )}}}\,d\mu(\zeta)}$

Bergman 커널 K는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

낟알 K(z, ζ)는 z에서는 홀로모르픽이고 ζ에서는 반홀로모르픽이며, 만족한다.

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu(\zeta).}$

이후 L2}내부 제품은 이 우주에 있엄마{\displaystyle L^{2}이 사진에 대해 한가지 중요한 관찰 L2,h(D)L2{\displaystyle L^{2}의 우주}D에 적인.(n,0)-forms과, dz1∧⋯ ∧ dzn{\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots에 의해 곱셈을 통해 \wedge dz^{n}}확인될 수 있다. 있다.nif따라서 D, 버그만 커널 및 관련 버그만 메트릭스의 생체모형화 하에서는 불변성이므로 도메인의 자동모형화 그룹 하에서는 불변성이 자동으로 발생한다.

참고 항목

• 버그만 미터법
• 베르그만 공간
• 스제기 커널

참조

• Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Chirka, E.M. (2001) [1994], "Bergman kernel function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.