여러 복소수 변수의 함수

여러 복소수 변수들의 함수 이론은 복소수 좌표 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$즉 복소수 n개의 튜플에 정의된 함수를 다루는 수학의 분과입니다.이러한 함수의 속성을 다루는 필드의 이름은 여러 개의 복소 변수(및 분석 공간)로 불리며, 수학 주제 분류는 최상위 표제어로 사용됩니다.

n=1인 경우인 한 변수의 함수에 대한 복소 분석과 마찬가지로, 연구된 함수는 동형 또는 복소 분석이므로 변수 z에서 국소적으로 멱급수가 됩니다.동등하게, 그것들은 다항식의 국소적으로 균일한 한계이거나, n차원 코시-리만 방정식에 국소적으로 제곱 적분 가능한 해입니다.^[1][2][3]하나의 복소수 변수에 대하여, 모든 도메인($D$⊂ C {\$displaystyle$ D$\subset \mathbb$ {C}})은 일부 함수의 동형의 도메인이며, 다시 말해 모든 도메인은 동형의 도메인인 함수를 갖습니다.여러 복잡한 변수의 경우 그렇지 않습니다. 어떤 함수의 동형의 도메인이 아닌 도메인(${\displaystyle \text{D}}$ ⊂${\displaystyle }$C ${\displaystyle \mathrm{n}}$, $n$ ≥ $2${\$displaystyle D\subset \mathbb$ {$C$n},\n\geq 2})이 존재하므로 항상 동형의 도메인이 아닌 동형의 도메인은 이 필드의 테마 중 하나입니다.0과 극으로 전역적인 형동 함수를 만드는 문제인 형동 함수의 로컬 데이터를 패치하는 것을 사촌 문제라고 합니다.또한, 여러 복소 변수에서 발생하는 흥미로운 현상은 콤팩트 복소 다양체와 복소 투영 품종(${\displaystyle {\mathbb{CP}}^{}}$ n ${\${CP}$^{n$^[6]의 연구에 기본적으로 중요하며, $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 또는 스타인 다양체에서 복소 해석 기하학과 다른 풍미를 가지고 있습니다.이것들은 복잡한 분석 기하학보다 대수적 기하학을 연구하는 대수적 다양성의 연구와 매우 비슷합니다.

역사적 관점

그러한 함수들의 많은 예들은 19세기 수학에서 친숙했습니다; 아벨 함수, 세타 함수, 그리고 일부 초기하학 급수, 그리고 또한, 역문제의 예로서; 야코비 반전 문제.^[7]당연히 어떤 복잡한 모수에 의존하는 한 변수의 동일한 함수도 후보입니다.그러나, 그 이론의 특징적인 현상들이 밝혀지지 않았기 때문에, 수년 동안 그 이론은 수학적 분석에서 본격적인 분야가 되지 못했습니다.바이어스트라스 준비 정리는 이제 교환 대수로 분류될 것입니다; 그것은 리만 표면 이론의 분기점의 일반화를 다루는 국소적인 그림, 라미네이션을 정당화했습니다.

1930년대에 Friedrich Hartogs, Pierre Couson [fr], E. E. Levi, 그리고 Kiyoshi Oka의 업적으로, 일반적인 이론이 등장하기 시작했습니다; 그 당시 그 지역에서 일하는 다른 사람들은 Heinrich Behnke, Peter Thullen, Karl Stein, Wilhelm Writinger, 그리고 Francesco Severi였습니다.Hartogs는 모든 분석 함수에 대해 모든 고립된 특이점이 제거될 수 있다는 것과 같은 몇 가지 기본적인 결과를 증명했습니다.

n > 1일 때마다. 당연히 윤곽 적분의 아날로그는 다루기 어려울 것입니다. n = 2 점을 둘러싼 적분이 3차원 다양체 위에 있어야 할 때(우리는 4개의 실제 차원에 있기 때문에),두 개의 개별 복소 변수에 대한 등고선(선) 적분을 반복하는 동안 2차원 표면에 대한 이중 적분이 되어야 합니다.이것은 잔차 미적분학이 매우 다른 문자를 사용해야 한다는 것을 의미합니다.

1945년 프랑스에서 중요한 작업이 있은 후, 앙리 카르탕의 세미나에서, 그리고 한스 그라우어트와 라인홀드 레메르트와 함께 독일은 빠르게 이론의 그림을 바꾸었습니다.특히 분석적 연속성의 문제를 포함한 여러 가지 문제점들이 명확하게 밝혀졌습니다.여기서 하나의 변수 이론으로부터 큰 차이가 명백합니다. $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 열린 연결 집합 D에 대해 n > 1에 대해 말할 수 없는 경계 위에서 해석적으로 계속되는 함수를 찾을 수 있습니다.사실 그러한 종류의 D는 자연에서 다소 특별합니다. (특히 복잡한 좌표 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$와 슈타인 다양체에서 유사 볼록성이라고 불리는 조건을 만족합니다.)극한까지 계속된 함수 정의의 자연적 영역은 스타인 다양체라고 불리며 그 본질은 또한 호지 다양체가 투영적임을 나타내는 다른 고차원 복합 다양체에서도 호지 다양체가 사라지도록 하는 것이었습니다.사실 오카의 연구는 이론의 공식화를 위해 (특히 그라우어트의 연구로부터) 일관된 면대를 신속하게 사용하도록 한 보다 명확한 기반 위에 놓일 필요가 있었습니다.

이 때부터 해석 기하학, 여러 변수의 오토모픽 형태, 편미분 방정식에 적용할 수 있는 기초 이론이 등장했습니다.복잡한 구조와 복잡한 다양체의 변형이론은 Kunihiko Kodaira와 D. C. Spencer에 의해 일반적인 용어로 설명되었습니다.세레의^[8] 저명한 논문 가가(GAGA)는 기하학적 분석에서 기하학적 분석으로 이어지는 교차점을 제시했습니다.

C. L. Siegel은 여러 복잡한 변수들의 새로운 함수 이론이 그 안에 거의 함수가 없다는 것을 불평하는 것을 들었으며, 이는 이론의 특수한 함수 쪽이 띠에 종속된다는 것을 의미합니다.물론 수론에 대한 관심은 모듈 형태의 구체적인 일반화에 있습니다.고전적인 후보로는 힐베르트 모듈러 형식과 시겔 모듈러 형식이 있습니다.오늘날 이러한 것들은 대수적 그룹(각각 GL(2)의 완전 실수 필드로부터의 Weil 제한, 심플렉틱 그룹)과 관련이 있으며, 이를 위해 오토모픽 표현이 분석 함수로부터 유도될 수 있습니다.어떤 의미에서 이것은 시겔과 모순되는 것이 아닙니다; 현대 이론은 그 나름의 다른 방향성을 가지고 있습니다.

이후의 발전은 양자장 이론에서 영감을 받은 하이퍼 펑션 이론과 가장자리 정리를 포함했습니다.바나흐 대수 이론과 같이 여러 가지 복잡한 변수를 이용하는 다른 분야들이 있습니다.

복소좌표공간

The complex coordinate space ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is the Cartesian product of n copies of ${\displaystyle \mathbb {C} }$, and when ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is a domain of holomorphy, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ can be regarded as a Stein manifold, and more generalized Stein space.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 또한 복잡한 투영 다양체, 켈러 다양체 ^[9]등으로 간주됩니다$$.It is also an n-dimensional vector space over the complex numbers, which gives its dimension 2n over ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^{[note 3]} Hence, as a set and as a topological space, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ may be identified to the real coordinate space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ and its topological dimension is thus 2n.

무좌표 언어에서 복소수 위의 벡터 공간은 2배 차원의 실수 벡터 공간으로 간주될 수 있으며, 복소수 구조는 허수 단위 i로 곱을 정의하는 선형 연산자 J(J = -I와 같이)에 의해 지정됩니다.

실제 공간과 같은 그러한 공간은 방향을 향합니다.데카르트 평면으로 생각되는 복소수 평면에서, 복소수 w = u + iv 곱하기는 실수 행렬로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\v&u\end{pmatrix}}}$

단호하게

${\displaystyle u^{2}+v^{2}= w ^{2}}$

마찬가지로, 만약 어떤 유한 차원 복소 선형 연산자를 (앞서 언급한 형태의 2×2 블록으로 구성될) 실수 행렬로 표현한다면, 그 행렬식은 해당 복소 행렬식의 절대값 제곱과 같습니다.음이 아닌 숫자인데, 이는 공간의 (실제) 방향이 복소수 연산자에 의해 절대 반전되지 않는다는 것을 의미합니다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$까지 동형 함수의 야코비안에도 동일하게 적용됩니다$.$

연결공간

연결된(resp. path-connected) 공간 패밀리의 모든 제품은(resp. path-connected) 연결됩니다.

작은

티초노프의 정리로부터, 콤팩트 공간의 임의의 조합으로 이루어진 데카르트 곱에 의해 매핑된 공간은 콤팩트 공간입니다.

동형함수

정의.

이 섹션은 독자들에게 혼란스럽거나 불분명할 수 있습니다.특히 이 정의가 동형함수의 선두에 주어진 정의와 동일한지 여부는 불분명합니다. 섹션을 명확히 할 수 있도록 도와주시기 바랍니다. 토크 페이지에 이에 대한 토론이 있을 수도 있습니다.(2021년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

정의역 D에 정의된 함수 f가 D의 각 점에서 복소 미분 가능할 때, f는 D에서 동형이라고 합니다.도메인 D에 정의된 함수 f가 다음 조건을 만족하는 경우, D 상의 점 ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 0${\$ z$^{0}}$에서 복소 미분 가능함;

Let ${\displaystyle z-z^{0} = z_{1}-z_{1}^{0} + z_{2}-z_{2}^{0} +\cdots + z_{n}-z_{n}^{0} ,\varepsilon (z,$$z^{0$})$=f(z$)-f(z^{0})-\sum $_{\nu$ $=$1}^{n}\alpha _{\nu }(z_{\nu }-z_{\nu }^{0})\(\alpha _{\nu }),

${\displaystyle \lim _{z\to z^{0}}{\frac {\varepsilon (z,z^{0})}{ z-z^{0} }}=0}$, since such ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ are uniquely determined, they are called the partial differential coefficients of f, and each are written as ${\displ$$aystyle {\frac {\partial f}{\partial z_{1}}(z^{0}),\dots,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}(z^{0})}$

따라서, 함수 f가 $정의역$ $D$ ⊂ C {\$displaystyle D\subset$\mathbb {C}^{n$\}\}$에서 동형이면, f는 다음 두 조건을 만족합니다.

1. f는 D에서^{[note 4]} 연속입니다.
2. f는 각각의 변수에서 독립적인 동형이며, 즉 f는 독립적인 동형이다, 즉

   ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{\nu}}=0}$

   반대로, 이 조건들이 만족될 때, 함수 f는 (뒤에서 설명하는) 동형이며, 이 조건을 오스굿의 보조라고 합니다.그러나 조건 (B)는 도메인의 속성에 따라 달라집니다(뒤에서 설명함).

코시-리만 방정식

각 인덱스 νlet에 대해

${\displaystyle z_{\nu } = x_{\nu } +iy_{\nu },\quad f(z_{1},\dots,z_{n})=u(x_{1},\dots,x_{n},y_{1},\dots,y_{n}+iv(x_{1},\dots,x_{n},y_{1},\dots y_{n},\dots y_{n},}$

그리고^{[clarification needed]}

${\displaystyle {\begin{aligned}dz_{\nu }&:=dx_{\nu }+i\,dy_{\nu },&d{\bar {z}}_{\nu }&:=dx_{\nu }-i\,dy_{\nu }\\{\frac {\partial }{\partial z_{\nu }}}&:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}-i$${\frac {\partial$}{\$partial y_${\nu$}}\right$}),&{\frac {\$partial$}{\bar {z}_{\nu}}}&:$=${\frac {1}{2}}\left $({$\frac {\$partial$}{\$partial$ x_{\nu}}+i{\frac {\$partial$}{\$partial$ y_{\nu}}\right)\end{aligned}}}(위링거 도함수)

그러면 역시.

${\displaystyle \left ({\frac {\partial }{\partial z_{\nu}}\right) dz_{\lambda }=\delta_{\nu \lambda },\left ({\frac {\bar {z}_{\nu}}\right) dz_{\lambda }=0,\left ({\frac {\partial }{\partial z_{\nu}}}\right)d{\bar {z}}_{\lambda }=0,\left ({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{\nu}}\right)d{\bar {z}}_{\lambda }=\delta _{\nu \lambda }}$

을 통해$$δ ν λ {\displaystyle${\displaystyle }$\delta _{\nu \lambda }}를 $크로네커$ $델타$, 즉 δ ν ν = 1 {\displaystyle \delta _{\nu \nu }= 1이라고 하고, {\displaystyle \nu \nu \nu lambda } ν ≠ λ인 경우 δ ν λ = 0 {\displaystyle \nu \nu \nu lambda }= 0이라고 합니다.

∂${\displaystyle \frac{{\stackrel{}{}}_{}}{}}$ ¯ ν ${\displaystyle z}$ ∂$$= ${\displaystyle 0}$(ν = 1, …, n ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{\nu}}=0\ (\nu = 1,\dots,n)}

그리고나서,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial }{\partial x_{\nu}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{\nu}}\right)+\left({\frac {\partial }{\partial x_{\nu}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{\nu}}\right)=0\(\nu =1,\dots,n)}$

그러므로,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{\nu}}} = {\frac {\partial v}{\partial y_{\nu}}},\ \ \ \ \ \frac {\partial u}{\partial y_{\nu}} = - {\frac {\partial v}{\partial x_{\nu}}\ (\nu = 1,\dots,n)}$

이것은 각 지수 ν에 대한 한 변수의 코시-리만 방정식을 만족시키고, f는 별개의 동형입니다.

코시의 적분 공식 I (Polydisc version)

두 조건 (A)와 (B)의 충분성을 증명합니다.f가 도메인 D에서 연속적이고 개별적으로 동형이라는 조건을 충족시키자.Each disk has a rectifiable curve ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ is piecewise smoothness, class ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ Jordan closed curve. (${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$) Let ${\displaystyle D_{\nu }}$ be the domain surrounded by each ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$.Cartesian product closure ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ is ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$. Also, take the closed polydisc ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ so that it becomes ${\displaystyle \overline{\mathrm{\Delta }}\subset D_1\times D_2\times \cdots \times D_n}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$. (${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left \zeta _{\nu }-z_{\nu }\right \leq r_{$$\nu }{\text{모든$ 것에 $대하여}}\nu$ $=$ $1$${\displaystyle {,\backslash }_{}^{}}$$dots$,n\right\}이고 {z} $=$ 1 n {\displaystyle \{z\}_{\nu $=$ 1}^{n}가 각 디스크의 중심이 되도록 합니다.)하나의 변수에 대한 코시의 적분 공식을 반복적으로 사용하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots,z_{n}}{\zeta _{1}}\,d\zeta _{1}\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}\int _{\partial D_{2}},d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1}},\zeta _{2}},\ldots _z_{n}}{(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots _z_{n}}{(\zeta _1}),\zeta _{2}-z_{2}}(\zeta _2}))},d\zeta _{1}\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}},{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n}}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{2})}\,d\zeta _{1}\end{align}}}$

∂$D$ {\displaystyle \partial D}는 정류 가능한 요르단 폐곡선이고 f는 연속이므로 곱과 합의 순서를 교환할 수 있으므로 반복적분을 다중적분으로 계산할 수 있습니다.그러므로,

${\displaystyle f(z_{1},\dots,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}\int _{\partial D_{n}}\cdots \int _{\frac {f(\zeta _{1},\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n}}},d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}}$

(1)

코시의 평가식

상품과 합계의 순서가 상호 교환 가능하기 때문에, (1)부터 우리는

${\displaystyle {\frac {\partial ^{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots,\zeta _{n}}{\cdots {z_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}={\frac {k_{1}\cdots k_{n}!}{(2\pii i)^{n}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots,\zeta _{n}}{(\zeta _{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}}$

(2)

f는 $클래스$ $C$ ∞ {\$displaystyle {\mathcal {C}}^{\$infty}} - function입니다.

From (2), if f is holomorphic, on polydisc ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n}; \zeta _{\nu }-z_{\nu } \leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ and ${\displaystyle f \leq {M}}$,다음과 같은 평가식이 얻어집니다.

${\displaystyle \left {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots,\zeta _{n}}{\partial z_{1}}^{k_{n}}}\cdots \partial {z_{n}^{k_{n}}}\right \leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}$

그러므로 리우빌의 정리는 성립합니다.

폴리디스크에서 동형함수의 멱급수 확장

함수 f가 동형이면, 폴리디스크{ = (z $1,$ z 2, …, z n)에서 ∈ C n; z ν - a ν < r ν, 모든 ν = 1, …, n } {\displaystyle \{z=(z_{1}, z_{2},\dots, z_{n})\in \mathbb {C}^{n}; z_{\nu } -a_{\nu } <r_{\nu }, {\text{모든 }},\nu =1,\n\}, 코시의 적분 공식에서,다음 파워 시리즈로 고유하게 확장할 수 있음을 알 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots,k_{n}=0}^{\infty}c_{k_{1},\dots,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots(z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\,\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}\int_{\partial D_{1}}\cdots \int_{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots,\zeta _{n}}{(\zeta _{1}-a_{1}}}{(\zeta _{1})}^{k_{1}+1}\cdots(\zeta_{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}$

또한, 다음 조건을 만족시키는 f를 해석 함수라고 합니다.

각 점에 대해 $a$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ 1$,$ …,$$$n$ ) ∈ D ⊂ C {\displaystyle a=(a_{1},\dots,a_{n})\in D\subset \mathbb {C}^{n}, f(z) {\displaystyle f(z)}는 D에 수렴하는 멱급수 확장으로 표현됩니다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots,k_{n}=0}^{\infty}c_{k_{1},\dots,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots(z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\,}$

우리는 이미 폴리디스크의 동형 함수가 분석적이라고 설명했습니다.또한, Weiersstrass에 의해 유도된 정리로부터, 우리는 폴리디스크(수렴 거듭제곱급수)의 분석 함수가 동형이라는 것을 알 수 있습니다.

${\displaystyle {함수\mathrm{}}_{}}$ f 1$,$ …,${\displaystyle {fn}_{}}$ {\$displaystyle f_{1},\ldots,f_{n}$의 순서가 도메인 D 내 콤팩트에 균일하게 수렴한다면, ${\displaystyle v_{}}$ ${\$의 제한 함수 f $또한{\displaystyle {}_{}}$ 도메인$$ D 내 콤팩트에 균일하게 수렴합니다.${\displaystyle {또한}_{}}$ v ${\$의 각각의 부분 도함수도 도메인$$ D 위에 해당 도함수 off로 콤팩트하게 수렴합니다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{1}+\cdots +k_{n}}{{\cdots {z_{1}}^{k_{n}}}\cdots \partial {z_{n}}^{{k_{n}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}{\cdots {z_{1}}^{k_{n}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}$^[10]

멱급수 수렴반경

It is possible to define a combination of positive real numbers ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ such that the power series ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})$$^{k_{1}}\cdots(z_{n}-a_{n})$$^{k_{n}}\ }$ converges uniformly at ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}; z_{\nu }-a_{\nu } <r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ and does not converge uniformly at $=$ 1, …, n } {\displaystyle \left\z=(z_{1},z_{2}ts,z_{n})\in \mathbb {C}^{n}; z_{\nu } -a_{\nu } >r_{\nu }, {\text{fall }},\n =1ts,n\right\}.

이러한 방법으로 하나의 복합 변수에 대해 수렴^{[note 7]} 반경의 유사한 조합을 가질 수 있습니다.이 조합은 일반적으로 고유하지 않으며 무한한 수의 조합이 있습니다.

로랑 급수 팽창

Let ${\displaystyle \omega (z)}$ be holomorphic in the annulus ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }< z <R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$ and continuous on their circumference,다음과 같은 확장이 존재합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega(z)&=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{ \zeta _{\nu } = R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )}\time \left[{\frac {d^{k}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\[6pt]&+ \sum _{k=1}^{\infty}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{ \zeta _{\nu } =r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left (0,\cdots,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha_{1}!\cdots \alpha_{n}!}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}\ (\alpha _1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}$

우변의 두 번째 항의 적분은 모든 평면에서 왼쪽의 0을 볼 수 있도록 수행되며, 이 적분 시리즈는 또한 환형 ν ' < < Rν ' {\$displaystyle r'_{\nu }<$z < R'_{\ 에서 균일하게 수렴합니다 서r ν ' > $r$ν > $r$ν {\displaystyle r'_{\nu }, r ν' < R ν {\displaystyle R'_{\nu }< R_{\nu }}., 그래서 항을 통합하는 것이 가능합니다.^[11]

보흐너-마르티넬리 공식 (코시의 적분식 II)

코시 적분 공식은 폴리디스크에만 적용되며, 여러 복소 변수의 영역에서 폴리디스크는 여러 영역 중 하나에 불과하므로 보흐너-마르티넬리 공식을 소개합니다.

${\displaystyle {}^{}}$가 $C$ ${\displaystyle \mathbb${$C$$}$^{$n}$ 의 도메인 D를 닫을 때 조각별 매끄러운 ${\displaystyle \mathrm{경계}}$ ∂ D ${\displaystyle$ \$partial$D} 의 연속 미분 가능 함수라고 가정하고 기호$$∧ ${\displaystyle$ \land } 가 미분 형식의 외부 또는 쐐기 곱을 나타내도록 합니다.Then the Bochner–Martinelli formula states that if z is in the domain D then, for ${\displaystyle \zeta }$, z in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ the Bochner–Martinelli kernel ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ is a differential form in ${\displaystyle \zeta }$ of bidegree ${\displaystyle (n,n-1)}$, defined by

${\displaystyle \omega (\zeta,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}{\frac {1}{ z-\zeta ^{2n}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta}}_{j}-{\overline {z}}\,d{\overline {\zeta}}_{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \land \"overline {\zeta \"}}_{n}\land d\zeta _{n}$

${\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta)\omega(\zeta,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta)\land \omega(\zeta,z)}$

특히 f가 동형이면 두 번째 항은 사라집니다.

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int_{\partial D}f(\zeta)\omega(\zeta,z)}$

항등식 정리

함수 f,g가 도메인 D에서 분석적일 때,^{[note 8]} 심지어 몇 개의 복잡한 변수에 대해서도 항등식^{[note 9]} 정리가 도메인 D를 유지합니다. 왜냐하면 그것은 멱급수 확장을 가지고 있기 때문입니다.따라서 최대 원리가 성립합니다.또한, 역함수 정리와 암묵적 함수 정리가 성립합니다.암시 함수 정리를 복소 변수로 일반화하려면 Weiersstrass 준비 정리를 참조하십시오.

비홀로포름

역함수 정리의 성립으로부터, 다음과 같은 매핑을 정의할 수 있습니다.

n차원 복소공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {C}^{n}},$정의역 U, V에 대하여, 사영동형함수${\displaystyle }$ϕ : U → V ${\displaystyle$ \phi :$U\toV}$ 및 역 매핑${\displaystyle {}^{}}$$ϕ$ -1 : $V$$→$ U ${\displaystyle$ \$phi$^{-1} :$V\toU}$도 동형입니다$$.이때$$ϕ {\displaystyle$$\phi }를 U, V biholomorphism이라고 하며, U와 V가 biholomorphic equivalent 또는 biholomorphic이라고 합니다.

리만 매핑 정리가 성립하지 않습니다.

> ${\displaystyle$ n > $1}$인 경우 오픈 볼과 오픈 폴리디스크는 동형 동형이 아닙니다. 즉, 둘 사이에 동형 매핑이 없습니다.^[13]이것은 1907년 푸앵카레에 의해 그들의 오토모피즘 그룹이 Lie 그룹과 다른 차원을 가지고 있다는 것을 보여줌으로써 증명되었습니다.^[5][14]그러나 여러 복소변수의 경우에도 하나의 복소변수에서 균일화 이론의 결과와 유사한 결과가 일부 존재합니다.

분석연속

Let U, V be domain on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, such that ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ and ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$, (${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ is the set/ring of holomorphic functions on U.) assume that ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$$$ 그리고 $W$ ${\displaystyle W}$는 U $∩$ V {\$displaystyle$ U$\$cap $V$}의 연결된 구성 요소입니다. ${\displaystyle {}_{}}$ W $=$g W {\$displaystyle$f _${$W}=g _{W}}이면 f는 V에 연결된 것이고, g는 f의 분석적 연속이라고 합니다.항등식 정리에서, 만약 g가 존재한다면, W를 선택하는 각 방법에 대해 그것은 유일합니다.n > 2 일 때, $경계$∂ U ${\displaystyle$ $partial$ U}의 형태에 따라 다음과 같은 현상이 발생합니다: 정의역 U, V가 존재하므로, 정의역 U 위의 모든 동형 $f {\displaystyle$ f}는 분석${\displaystyle 연속}$ ${\displaystyle g}$ ∈ O ( V)${\displaystyle g\$in $\{\backslash$mathcal {O}(V)를 갖습니다. 즉,∈${\displaystyle }$U$${\displaystyle \partial U}를 자연 경계로 하는 ∂ ${\displaystyle O}$(U) {\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U) $함수$가 없을 수 있습니다.그것은 하르토크스 현상이라고 불립니다.따라서 도메인 경계가 자연 경계가 되는 시점을 연구하는 것은 여러 복합 변수의 주요 연구 주제 중 하나가 되었습니다.또한, ${\displaystyle \mathrm{n}}$≥ 2${\displaystyle$n$\backslash$geq 2}일 때, 위 V는 W가 아닌 U와의 교집합 부분을 가지는 것이 됩니다.이것은 양초 코호몰로지의 개념을 발전시키는 데 기여했습니다.

라인하르트 도메인

폴리디스크에서는 코시의 적분 공식이 성립하고 동형함수의 거듭제곱급수 확장이 정의되지만, 폴리디스크와 열린 단위 공은 리만 매핑 정리가 성립하지 않기 때문에 동형 매핑이 아니며, 또한 폴리디스크는 변수 분리가 가능했지만 항상 어떤 정의역에서도 성립하지는 않습니다.따라서 멱급수의 수렴영역을 연구하기 위해서는 영역에 추가적인 제한을 둘 필요가 있었는데, 이것이 라인하르트 영역이었습니다.로그볼록, 하르톡스의 확장 정리 등과 같은 여러 복잡한 변수들의 연구 분야에 대한 초기 지식이 라인하르트 영역에서 주어졌습니다.

Let ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ (${\displaystyle n\geq 1}$) to be a domain, with centre at a point ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$, such that, together with each point ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$,도메인 또한 집합을 포함합니다.

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots,z_{n});\left z_{\nu}-a_{\nu}\right =\left z_{\nu}^{0}-a_{\nu}\right,\nu =1,\dots,n\right\}$

도메인 D가 다음 조건을 만족하는 경우 라인하르트 도메인이라고 합니다.^[16][17]

θ ν$$( ν = 1${\displaystyle ,}$ …, n ) {\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu = 1,\dots,n)}을 임의의 실수라고 하고, 도메인 D는 회전 하에서 불변입니다: { z 0 - a ν } → { e i θ ν ( z ν 0 - a ν )} {\displaystyle \left\{z^{0} -a_{\nu }\right\}\to \left\e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0} -a_{\nu })\right\}.

다음 조건으로 정의되는 라인하르트 도메인(Hartogs 도메인의 하위 클래스). $z$ 0 ∈ D {\$displaystyle z^{0$in D}의 모든 점과 함께 도메인에 집합이 포함됩니다.

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta}},\0\leq \theta <2\pi \right\}}$

라인하르트 도메인 $D$는 모든 점 z ${\displaystyle 0}$ ∈ D {\$displaystyle z^{0$}\in D}와 함께 폴리디스크도 포함하는 경우 한 점 a를 중심으로 하는 완전한 라인하르트 도메인이라고 합니다.

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots,z_{n});\left z_{\nu}-a_{\nu}\right \leq \left z_{\nu}^{0}-a_{\nu}\right,\nu =1,\dots,n\right\}$

완전한 라인하르트 영역 D는 중심 a를 기준으로 별과 같습니다.따라서 라인하르트 영역 전체가 단순히 연결되어 있을 뿐만 아니라 라인하르트 영역 전체가 경계선일 때 요단 곡선 정리를 사용하지 않고 코시의 적분 정리를 증명할 수 있는 방법이 있습니다.

대수적으로 볼록

집합의 이미지${\displaystyle {}^{}}$λ$($D ∗) ${\displaystyle$ \$lambda$ (D^{*})}인 경우, 라인하르트 도메인 D를 대수적으로 볼록하다고 합니다.

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots,z_{n})\in D;z_{1},\dots,z_{n}\neq 0\}$

지도하에

${\displaystyle \lambda;z\오른쪽 화살표 \lambda(z)=(\ln z_{1},\dots,\ln z_{n} )}$

는 실수 좌표 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 볼록 집합입니다$.$

Every such domain in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is the interior of the set of points of absolute convergence of some power series in ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})$$^{k_{1}}\cdots(z_{n}-a_{n})$$^{k_{n}}\$ $\},$ 그리고 반대로;$z$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle z_{1},\$dots$,z_${n}}의 모든 거듭제곱의 수렴 영역은 ${\displaystyle \mathrm{중심}}$ a = 0 ${\$displaystyle a = 0}인 대수적으로 convex 라인하르트 도메인입니다. 그러나 로그적으로 볼록하지 않은 완전한 라인하르트 도메인 D의 예가 있습니다.

일부 결과

하르토크스의 확장 정리와 하르토크스 현상

라인하르트 도메인의 수렴 영역을 조사했을 때, 하르톡스는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 일부 도메인의 동형 함수가 모두$$ 더 큰 도메인에 연결되는 하르톡스 현상을 발견했습니다.^[20]

두 개의 디스크로 구성된 폴리디스크에서δ 2 = { z∈ C 2; z 1 < 1, z 2 < 1 } {\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}; z_{1} < 1, z_{2} < 1\}일 때 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon < 1}.

ε 의 내부 도메인 = { z = ( z 1, z 2 ) ∈ δ 2; z 1 < ε ∪ 1 - ε < z 2 } ( 0 < ε < 1 ) {\displaystyle H_{\varepsilon} =\{z=$($z_{1}, z_{2})\in \Delta ^{2}; z_{1} <\varepsilon \cup \1-\varepsilon < z_{2} \} (0<\varepsilon <1>})

하르토크스의 확장 정리(1906); f를 집합 G \ K 위의 동형 함수라고 하자. 여기서 $G$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {C}^{n}}($n ≥ 2)의 유계 영역이고, K는 G의 콤팩트 부분 집합입니다. 만약 보 G \ K가 연결되어 있다면,그렇다면 선택 방법에 관계없이 모든 동형 함수 f는 G의 고유한 동형 함수로 각각 확장될 수 있습니다.^[23][22]

오스굿-브라운 정리(Osgood-Brown theorem)는 여러 복소 변수의 동형 함수에 대해 특이점이 고립점이 아닌 누적점이라는 것입니다.이것은 일변수 복소 변수의 동형 함수에 대해 성립하는 다양한 성질이 여러 복소 변수의 동형 함수에는 성립하지 않는다는 것을 의미합니다.이러한 특이점의 특성은 Weiersstrass 준비 정리에서도 도출됩니다.2007년에 하르토크스와 같은 방법으로 이 정리를 일반화하는 것이 증명되었습니다.^[24][25]

하르토스의 확장 정리에서 수렴 영역은 $H$ε {\$displaystyle$H_${\$$varepsilon$}}에서$$δ 2 ${\displaystyle$ $\backslash$delta^{2}}까지 확장됩니다. 이를 $영역$의 관점에서 보면, H ε ${\$displaystyle H_{\varepsilon}}는 중심 z = 0을 포함하는 라인하르트 영역이고, H ε {\displaystyle}의 $수렴$입니다.$H_{\varepsilon}}$이(가) H $ε$ {\displaystyle H_{\varepsilon}}이$($가) 포함된 가장 작은 완전한 라인하르트$$도메인 $δ$ 2 ${\displaystyle$\Delta^{2}}까지 확장된 H $.$ ${\displaystyle$H_$\{\backslash$varepsilon}}.

튤런의 고전적인 결과들

튈렌의 고전적인^[27] 결과는 기원을 포함하는 2차원 경계 라인하르트 도메인이 오토모피즘 그룹에 의한 기원의 궤도가 양의 차원을 갖는 경우 다음 도메인 중 하나와 동형이라는 것을 말합니다.

1. ) C 2 < w < 1 } {\$displaystyle$\{(z$,w$)\$in \mathbb {C}^{2};~$ z < $1,~$ w < 1\}}(폴리디스크);
2. ) 2 ; 2 + 2< 1 } {\$displaystyle$\{(z$,w$)\$in \mathbb {C}^{2};~$z$^{2}$ + w $^{$2}<1\}(단위 공);
3. ) 2 ; + 2 < }( >$0$≠ 1 ) ${\displaystyle$\{(z$,w)\in \mathbb {C} ^{$2};~ $z$^{$2}$ + $w ^{\frac {2}{p}}<1$\}\,(p > 0,\neq 1)}(툴렌 도메인).

스나다의 성적

스나다 도시카즈(1978)는 ^[28]튈렌의 결과를 다음과 같이 일반화했습니다.

Two n-dimensional bounded Reinhardt domains ${\displaystyle G_{1}}$ and ${\displaystyle G_{2}}$ are mutually biholomorphic if and only if there exists a transformation ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ given by ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$, ${\displaystyle \sigma }$$$φ$(G1$) = G2 {\displaystyl$e \sig$ma }(G_{$1$})= G_{\displaystyle \varphi(G_{1$}$) = G_{2}}.

동형함수의 자연적 영역 (동형함수의 영역)

하나의 복소변수의 이론에서 여러 복소변수의 이론으로 이동할 때, 정의역의 범위에 따라 정의역의 경계가 자연경계가 되는 동형함수를 정의할 수 없을 수 있습니다.정의역의 경계가 자연적 경계인 정의역(복소좌표공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$에서 동형의 정의역이라고 부름$$)을 고려하면, 동형의 정의역의 첫 번째 결과는 H. Cartan과 Thullen의 동형 볼록성입니다.^[29]Levi's problem shows that the pseudoconvex domain was a domain of holomorphy. (First for ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$,^[30] later extended to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.^[31][32])^[33] Kiyoshi Oka's^[36][37] notion of idéal de domaines indéterminés is interpreted theory of sheaf cohomology by H. Cartan and more development Serre.^{[note 13][38][39][40][41][42][43][6]}치프 코호몰로지에서, 동형의 영역은 스타인 다양체의 이론으로 해석되기에 이르렀습니다.^[44]동형의 영역의 개념은 또한 다른 복잡한 다양체, 더 나아가 그것의 일반화인 복잡한 분석 공간에서도 고려됩니다.^[4]

동형 정의역

함수 f가 도메인 ${\displaystyle {}^{}}$ ⊂ C${\displaystyle$ D$\subset \mathbb {$C}^{n}}에서 홀로모픽이고 도메인 $경계$∂ D ${\displaystyle$ $\backslash$partial D}의 점을 포함하여 D 외부의 도메인에 직접 연결할 수 없을 때, 도메인 D를 f의 홀로모픽의 도메인이라고 하고 경계를 f의 자연 경계라고 합니다.즉, 동형 D의 정의역은 동형 함수 f가 동형인 정의역의 최댓값이며, 동형인 정의역 D는 더 이상 확장될 수 없습니다.도메인 ${\displaystyle D}$ ⊂${\displaystyle \mathrm{Cn}}$($n$ ≥ 2) {\$displaystyle$ D$\subset \mathbb$ {$C$n}\(n\geq 2)}과 같은 여러 복잡한 변수의 경우 경계가 자연 경계가 아닐 수 있습니다.하르토스의 확장 정리는 경계가 자연 경계가 아닌 영역의 예를 제공합니다.^[45]

Formally, a domain D in the n-dimensional complex coordinate space ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is called a domain of holomorphy if there do not exist non-empty domain ${\displaystyle U\subset D}$ and ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle V\not \subset D}$ and ${\displaystyle U\subset D\cap V}$$$ D의 모든 동형 함수 f에 대해 U에 f = ${\displaystyle g}$ ${\$displaystyle f = g}의 V에 동형 함수 g가 존재하도록 합니다.

$n$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle $n$=1}의 경우, 모든 정의역(D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C}})은 동형의 정의역이었습니다. 우리는 정의역의 경계에 모든 곳에 0이 누적된 동형 함수를 정의할 수 있고, 이는 그 역수의 정의역에 대한 자연스러운 경계여야 합니다.

동형 정의역의 성질

• $만약$ D ${\displaystyle 1_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {Dn}_{}}$ ${\displaystyle D_{1},\dots,D_{n}}$가 정칙형의 도메인이라면, 이들의 교집합 $D$ =$\underset{}{\overset{}{}}$⋂ ν = ${1n}_{}$ D$$ν {\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}도 정칙형의 도메인입니다.
• $만약$ D ${\displaystyle 1_{}}$⊆ D 2 ⊆ ⋯ ${\displaystyle D_{1}\subseteq$D_{$2}\$subseteq \cdots}가 정형화의 도메인들의 증가하는 $순서$라면,$\underset{}{\overset{}{}}$그들의 $결합 D$ =$$⋃ n = 1 ∞ D {\$textstyle$ D=$\bigcup$ _{n=1}^{\infty }D_{n}도 정형화의 도메인입니다(벤케-슈타인 정리 참조).
• $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ D ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$가 정칙형 도메인이면$$ D 1${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 정칙형 도메인입니다.
• 첫 번째 사촌 문제는 항상 동형 영역에서 해결할 수 있으며, 카르탕은 이 결과의 반대가$n$≥ 3 {\displaystyle n\geq 3}에 대해 부정확함을 보여주었습니다. 이는 두 번째 사촌 문제에 대해서도 추가적인 위상적 가정과 함께 사실입니다.

정형적으로 볼록한 선체

${\displaystyle {}^{}}$ ⊂ $Cn {\displaystyle$ G$\subset \mathbb {$C}^{n}를 도메인이라고 하거나, 또는 더 일반적인 $정의$를 위해 G ${\displaystyle$ G}를${\displaystyle$ n}차원 복소 분석 매니폴드라고 $합니다.$또한 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)$를 G의 동형 함수 집합을 나타내도록$$ 합니다.$콤팩트$ 집합 ${\displaystyle K}$ ⊂ G {\$displaystyle$ K$subset$ G}의 경우, K의 정형 볼록 선체는

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G; f(z)\leq \sup_{w\in K} f(w) {\text{for all}}}f\in {\mathcal {O}(G)입니다.\right\}}$

G에서 복소수 다항 함수의 집합이 아닌$$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle${\$mathcal$ {$O}}(G)$를 취함으로써 다항식 볼록 선체의 더 좁은 개념을 얻습니다.다항식으로 볼록한 선체는 정형식으로 볼록한 선체를 포함합니다.

도메인 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 모든 콤팩트 부분 집합 $K$에 대해${\displaystyle {\hat{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$K, ${\hat {K}}_{G}$가 역시$$ G 안에서 콤팩트하다면 정형 볼록이라고 합니다$$. 때로는 이것을 정형 볼록이라고 약칭하기도 합니다.

$n$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle n=1}일 때, 모든 ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ G ${\displaystyle G}$는 그 이후 ${\displaystyle K}$^ G ${\displaystyle$ {\hat {K}_{G}는 K와 G ∖ K ⊂ G {\displaystyle G\setminus K\subset G}의 비교적 콤팩트한 성분의 합입니다.

$n$≥ 1 ${\displaystyle$ n$\backslash$geq 1}일 때 f가 D에서 위의 동형 볼록성을 만족하면 다음과 같은 성질을 갖습니다.${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ for every compact subset K in D, where ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ denotes the distance between K and ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$. Also, at this time,D는 동형의 정의역입니다.따라서 모든 볼록 도메인$({\displaystyle {}^{}}$ ⊂ $Cn$) ${\displaystyle(D\subset \mathbb {$C}^{n})}은(는) 동형의 도메인입니다.

유사대형

하톡스가 보여준 것은

하토스 (1906):^[21]Let D be a Hartogs's domain on ${\displaystyle \mathbb {C} }$ and R be a positive function on D such that the set ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ defined by ${\displaystyle z_{1}\in D}$ and ${\displaystyle z_{2} <R(z_{1})}$ is a domain of holomorphy.${\displaystyle {그러면}_{}}{\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ R${\displaystyle {}_{}}$z 1) ${\displaystyle -\log {R}($z_{1})}이(가) D의 하위 조화 함수입니다.

그러한 관계가 여러 복잡한 변수의 동형 영역에서 성립한다면, 동형 볼록보다 더 관리하기 쉬운 조건처럼 보입니다.^{[note 14]}서브하모닉 함수는 일종의 볼록 함수처럼 보이기 때문에 레비가 유사 볼록 영역(Hartogs의 유사 볼록 영역)으로 명명했습니다.유사 볼록 도메인(유사 볼록성의 경계)은 동형의 도메인을 분류할 수 있기 때문에 중요합니다.정형화 영역은 전역 속성이며, 반대로 의사 볼록성은 영역 경계의 국소 분석적 또는 국소 기하학적 속성입니다.^[48]

플루리 서브하모닉 함수의 정의

A함수

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R}}\cup \{-\infty \}}$

${\displaystyle {도메인}^{}}$이 $C$⊂ C ${\displaystyle$ D$\subset {\mathbb {C$}^{n}인 경우

모든 복잡한 라인에 대해 상부 반 continu이면 플러리 서브하모닉이라고 합니다.

${\displaystyle \{}{\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle z;}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ } ⊂ C ${\displaystyle$\{a$+bz;z$\in \$mathbb {$C} $\}\subset$\mathbb {$}$${\displaystyle ,}$ $b$ ∈$C$ n ${\displaystyle$ a,b\in \mathbb {C}^{n}}

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $z$ ↦ f (${\displaystyle a}$ $bz$ ) ${\displaystyle$ z$\mapsto$f (a + bz)}는 집합의 하위 조화 함수입니다.

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C};a+bz\in D\}}$

완전한 일반성에서, 이 개념은 임의의 복소 다양체 또는 심지어 복소 $분석{\displaystyle }$ 공간 X$${\$displaystyle X}$에 다음과 같이$$ 정의될 수 있습니다.상위 반연속 함수

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$

임의의 동형 지도의 경우에만 플러리스 서브하모닉이라고 합니다.

${\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$δ → $X$ {\displaystyle \varp${\displaystyle \mathrm{hi\; \backslash c}}$olon \Delta \to X} 함수

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$

는 서브하모닉이며, 여기서$$δ ⊂ C {\$displaystyle \Delta \subset$\mathbb {C}}은(는) 단위 디스크를 나타냅니다.

1-복합 변수에서$,$ 1-variable 복합 함수의 z에 대하여 2차 미분 가능한 실수 값 $함수$ u = ${\displaystyle u}$ ($$z ) $displaystyle$u = u ( z )}가 서브하모닉인 필요충분조건은 δ = 4 (∂ 2 u ∂ z ∂ z ¯) ≥ 0 {\displaystyle \Delta = 4\left ({\frac {\partial ^{2}u} {\partial z\,$\partial$ {\overline ${z}}}\right)\geq$0$\}.$There fore, if ${\displaystyle u}$ is of class ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$, then ${\displaystyle u}$ is plurisubharmonic if and only if the hermitian matrix ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,$$\partial$ {\bar ${z}}_${j$}}}$은(는) 양의 반치수입니다.

이와 동일하게, $C$ ${\displaystyle 2^{}}${\$displaystyle {\mathcal {C}}^{$${\displaystyle \sqrt{2}}$$}$ - 함수 u는$$- $1$∂ ∂ ¯ f {\$sqrt$ {-1}\partial {\bar {\partial}}가 양(1,1)-형태인 경우에만 플러리 서브하모닉입니다.

엄밀하게 플러스 서브하모닉 기능

u의 에르미트 행렬이 양의 정의 행렬이고 클래스 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$일 때$,$ 우리는 u를 엄밀한 플루리 서브하모닉 함수라고 부릅니다.

(약) 의사대변 (p-pseudconvex)

취약 의사 볼록은 다음과 같이 정의됩니다. ${\displaystyle X^{}}$ ⊂ $Cn$ {\$displaystyle$ X$\subset {\mathbb {C$}}^{n}를 도메인이라고 합니다.${\displaystyle \mathrm{집합}\{}$ ${\displaystyle z}$$$∈ ${\displaystyle X}$; φ ( z) ≤ sup x } ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$\varphi }가 모든 실수 x에 대해 X의 비교적 작은 부분 집합이면 X는 의사볼록(pseudconvox)이라고 합니다. 즉, 매끄러운 복수 서브하모닉 소진 함수 ψ ∈ Psh(${\displaystyle X)}$∩${\displaystyle C}$∞ ( X) {\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty}(X)}. 흔히 의사볼록의 정의는 여기서 사용되며 다음과 같이 씁니다; X를 복소수 n차원 다양체라고 가정합니다.그러면 약한 의사볼록이 존재한다고 합니다. 매끄러운 플러리스 부조화 탈진 함수${\displaystyle }$ψ ∈${\displaystyle \mathrm{Psh}}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$) ∩ C ∞ $( X$ ) {\$displaystyle \psi$\in {\$text{Psh}}($X)\$cap$ $mathcal$ {C}^{\infty}(X)}.

강하게(엄격하게) 의사볼록

X를 복소수 n차원 다양체라고 하자.매끄러운 엄밀한 플루리스 서브하모닉 소진 함수${\displaystyle }$ψ ∈ $Psh$(${\displaystyle }$X ) ∩ C ∞ ( X ) {\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}^{\infty}(X)} 즉, H ψ {\displaystyle H\psi }는 모든 점에서 양의 정입니다.강력한 의사 볼록 도메인은 의사 볼록 도메인입니다.^{[49]: 49} 강한 의사볼록과 엄격한 의사볼록(즉, 1-볼록과 1-완전^[50])은 종종 서로 교환하여 사용됩니다.^[51] 기술적 차이는 Lempert를^[52] 참조하십시오.

레비형

(약) 레비(–Krzoska) 유사대칭성

If ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ boundary , it can be shown that D has a defining function; i.e., that there exists ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ which is ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ so that ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$, and ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\$$}}$ 이제, D는 p의 복소 탄젠트 공간에 있는 $모든$ ${\displaystyle p}$$∈ ∂$ D {\$displaystyle p\in$ \$partial$D}$및$ w {\$displaystyle$w}에 대하여 의사환수이다, 즉,

${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ρ${\displaystyle }$(${\displaystyle p\mathrm{)}}$ ${\displaystyle \mathrm{w}}$ = ${\displaystyle \mathrm{\sum }}$ i = ${\displaystyle \mathrm{1\; n}}$ ∂ ρ ${\displaystyle \mathrm{(}}$p) ∂ z j ${\displaystyle \mathrm{w}}$ j = 0 {\displaystyle \rho${\displaystyle \mathrm{(}}$p)w=\sum${\displaystyle \mathrm{}}$_{i=1}^{n}{\fra${\displaystyle \mathrm{c\; \{\backslash par}}$tial \rho(p${\displaystyle \mathrm{)\}\{\backslash par}}$tial z_{j}}w${\displaystyle \mathrm{\_}}${j}=0}개가 있습니다.

${\displaystyle H(\rho)=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho(p)}{\partial z_{i}}\,\partial {\bar {z_{j}}}w_{i}{\bar {w_{j}}\geq 0.}$^[5][53]

D에 ${\displaystyle {C2}^{\mathrm{}}}$ ${\$ 경계가$$ 없는 경우 다음 근사 결과가 유용할 수 있습니다.

명제 1 만약 D가 의사볼록이면, D에서 경계가 $있고$ $강하게$ 리바이 의사볼록 $도메인$이 ${\displaystyle {존재}_{}}$하며$,$ 클래스 C ∞$가$ {\$displaystyle$ D_{$k}\$subset D}이고, 클래스 C ⊂가 ${\$displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty$}}$ -D에서 상대적으로 콤팩트한 경계

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty}D_{k}}$

정의와 같은$$φ {\displaystyle$$\varphi}가 있으면 실제로${\displaystyle {}^{}}$C$$∞ {\$displaystyle$ {$C}}^{\$infty}}의 소진 함수를 찾을 수 있기 $때문$입니다.

강력하게(또는 엄밀하게) 레비(–Krzoska) 의사볼록스(일명.강하게(엄격하게) 의사볼록)

레비(–Krzoska) 형태가 양의 정의역일 때, 강하게 레비(–Krzoska) 유사대수 또는 단순히 강하게(또는 엄밀하게) 유사대수라고 불리는 경우가 많습니다.^[5]

레비 총 의사볼록스

If for every boundary point ${\displaystyle \rho }$ of D, there exists an analytic variety ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ passing ${\displaystyle \rho }$ which lies entirely outside D in some neighborhood around ${\displaystyle \rho }$, except the point ${\displaystyle \rho }$ itself.이러한 조건을 만족시키는 도메인 D를 Levi total pseudconvex라고 합니다.^[54]

오카 의사볼록스

오카원반과

Let n-functions ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ be continuous on ${\displaystyle \Delta : U \leq 1,0\leq t\leq 1}$, holomorphic in ${\displaystyle u <1}$ when the parameter t is fixed in [0, 1], and assume that ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ arenot all zero at any point on ${\displaystyle \Delta }$. Then the set ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t); u \leq 1\}}$ is called an analytic disc de-pending on a parameter t, and ${\displaystyle B(t):$$=$\{$Z_{j$}$=$\$varphi$ _{$j}(u,t);$u $=$ $1\}$을(를) 껍질이라고 합니다.가 0$<$ t) ${\displaystyle$Q(t)\$subset$D($0$< t${\displaystyle )\}}$이고${\displaystyle }$B$)가 D$⊂ ${\displaystyle$B$($0)\subset D}인 경우 Q(t)를 Oka의 디스크 패밀리라고 합니다.

정의.

${\displaystyle Q}$($0$ ⊂ D {\$displaystyle$Q($0)\subset$ D}가 Oka의 디스크 계열 중 하나에 고정되어 있으면 D를 Oka 의사볼록이라고 합니다.레비 문제에 대한 오카의 증명은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 위의 미증식 리만 정의역이$$^[56] 정칙형(정칙형 볼록)^[31][55]의 정의역일 때, 정칙형 정의역의 각 경계점이 오카 의사볼록임을 증명했습니다.

로컬 의사볼록(일명 로컬 스타인, 카탄 의사볼록, 로컬 레비 속성)

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 점 $x$∈ ∂ D {\$displaystyle$ x\in \partial D}에 대하여 x와 동형인 이웃 U가 존재합니다(즉,${\displaystyle U\cap D}$ be holomorphically convex.) such that f cannot be extended to any neighbourhood of x. i.e., let ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ be a holomorphic map, if every point ${\displaystyle y\in Y}$ has a neighborhood U such that ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ admits a ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{$$\infty }}$ -pluris$$ 서브하모닉 탈진 함수(약 1-완전^[57]), 이 상황에서 X를 Y에 대한 국소적 의사볼록(또는 국소적 스타인)이라고 부릅니다.오래된 이름으로서, 그것은 카탄 의사볼록스라고도 불립니다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$에서 국소 의사 볼록 도메인은 그 자체가 의사 볼록 도메인이며, 이는 정칙형의 도메인입니다.^[58][54]예를 들어, Dieerich-Forn æ$s는$ω {\displaystyle \Omega}이(가) 약하게 1-완전하지 $않도록$ Kähler$매니폴드$에서 경계가 매끄러운 로컬 의사 볼록 경계 $도메인$ω ${\displaystyle$ \Omega}을(를) 찾았습니다.

동형 정의역에 해당하는 조건

도메인 ${\displaystyle {}^{}}$ ⊂ C${\displaystyle$ D$\subset \mathbb {$C$}^{$n}의 경우 다음 조건이 동일합니다.

1. D는 동형의 정의역입니다.
2. D는 동형 볼록입니다.
3. D는 D에서 분석 다면체의 증가하는 수열의 결합입니다.
4. D는 의사 볼록입니다.
5. D 로컬 의사볼록입니다.

${\displaystyle \mathrm{의미}}$ $1$ ⇔ 2 ⇔ 3 {\$displaystyle$ 1$\Left rightarrow$ 2\$Left$3}, 1 ⇒ 4 $displaystyle$ 1\$Rightarrow$ 4}, 4 ⇒ 5 {\displaystyle 4\Rightarrow 5}는 표준 결과입니다.$5$⇒ 1 ${\displaystyle$ 5$\rightarrow$1}을(를) 증명합니다. 즉, 로컬에서만 정의된 확장 불가능한 함수에서 확장을 허용하지 않는 전역 동형 함수를 구성합니다.이를 레비 문제(E. E. Levi 이후)라고 하며, 오카 키요시에 의해$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 위의 미증식 리만 도메인에 대한 이 문제를 풀었지만,^{[note 20]} 미증식 리만 도메인에 대해 의사 볼록성은 정형 볼록성을 특징짓지 않습니다.^[68]그 다음 Lars Hörmander에 의해 함수 분석 및 편미분 방정식의 방법을 사용합니다(L 방법으로 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial}} - 문제(방정식)의 결과).

양털

détermés의 아이디얼 데 도메인(Ideal de domaines in de terminés) (연관(heap) 개념의 전신)

오카는 그가 "데터미네의 이상적인 영역(idéal de domaines in de terminés)" 또는 "불확정한 영역의 이상적인 영역(idual domains)"이라고 부르는 개념을 소개했습니다.^[36][37]구체적으로, 비어 있지 않은$열린$$$집합$$δ $\{\backslash$displaystyle \delta }에서 쌍$({\displaystyle f,}$ δ) ${\$displaystyle $(f$$,\backslash$$delta$)}, f${\displaystyle$ f} 동형인 집합$({\displaystyle I)}$ ${\displaystyle$ f$}$이므로, 다음과 같습니다.

1. $($ ${\displaystyle f}$,${\displaystyle }$δ${\displaystyle )}$ ∈ ( I) ${\displaystyle ($${\displaystyle f}$$,\$delta$)\backslash$in ${\displaystyle ({}^{})\}}$$및$ (a, δ ') {\displaystyle (a$,\$delta$')}$이(가) 임의인 경우, (a, δ ∩ δ ') ∈ (I) {\displaystyle (af,\delta \cap \delta')\in (I)}.
2. 각$$(${\displaystyle f}$,${\displaystyle }$δ${\displaystyle {}^{}}$)에 대하여${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle f\text{'},}$δ ') ∈ ($I)$ {\$displaystyle$ (f$,\delta$), (f',\delta ')\in (I)} {\displaystyle (f+f$',\$delta \cap \delta ')\in (I)}

불확정 도메인의 기원은 도메인이 쌍$({\displaystyle f,}$δ) ${\displaystyle(f$delta )}에 따라 변한다는 사실에서 비롯됩니다. 카르탕은 이 개념을 치프 코호몰로지의 일관성 있는(특히, 일관성 있는 분석적 치프) 개념으로 번역했습니다.이 이름은 H. Cartan에서 왔습니다.^[71]또한 Serre(1955)는 ^[72]가간섭성 지엽의 개념을 대수기하학, 즉 가간섭성 지엽의 개념에 도입했습니다.일관성(coherent sheaf cohomology)의 개념은 여러 복잡한 변수의 문제를 해결하는 데 도움이 되었습니다.^[41]

코히어런트 지프

정의.

코히어런트 쉐이프의 정의는 다음과 같습니다.^{[72][73][74][75][49]: 83–89} A quasi-coherent sheaf on a ringed space ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ is a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules which has a local presentation, that is, every point in ${\displaystyle X}$ has an open neighborhood ${\displaystyle U}$ in which there is an exact sequence

${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}^{\oplus I} _{U}\to {\mathcal {O}_{X}^{\oplus J}_{U}\to {\mathcal {F}_{U}\to 0}$

일부(무한일 수도 있음) $집합{\displaystyle }$ I$${\$displaystyle I}$ $및$ J$${\$displaystyle$ J$\}$의 경우.

환이 있는 공간${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\displaystyle ($X, ${\mathcal {O}}_{X})}$의 일관성 있는 $쉬프$는 다음 두 특성을 만족하는$$ ${\displaystyle$ {\$mathcal$ {$F}}$입니다$.$

1. ${\displaystyle \mathcal{F}}$ ${\$$mathcal$ ${F}}$은$($는) ${\displaystyle {OX}_{}}$ {\$displaystyle$ {\mathcal ${O}_{X}$보다 유한한 유형입니다$.$ 즉,every point in ${\displaystyle X}$ has an open neighborhood ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$ such that there is a surjective morphism ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n} _{U}\to {\mathcal {F}} _{U}}$ for some natural number ${\displaystyle n}$;
2. for each open set ${\displaystyle U\subseteq X}$, integer ${\displaystyle n>0}$, and arbitrary morphism ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n} _{U}\to {\mathcal {F}} _{U}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules, the kernel of ${\displaystyle \varphi }$ is of finite type.

(준)코히어런트 쉬브 사이의 형태는 ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$ - 모듈의$$ 형태와 같습니다.

또한, 장 피에르 세레(1955)^[72]는 다음을 증명합니다.

If in an exact sequence ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1} _{U}\to {\mathcal {F}}_{2} _{U}\to {\mathcal {F}}_{3} _{U}\to 0}$ of sheaves of ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-modules two of the three sheaves ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ are coherent, then the third is coherent as well.

(오카-카르탄) 일관성 정리

(Oka-Cartan) 일관성 정리는^[36] 다음 조건을 만족하는 각 지엽이 일관성이 있음을 말합니다.^[76]

1. the sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ of germs of holomorphic functions on ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$, or the structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ of complex submanifold or every complex analytic space ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$^[77]
2. ${\displaystyle \mathrm{이상적}}$인 지엽 $I$⟨ $C$의 ${\displaystyle {}_{}}$지엽 $displaystyle$\mathbb {C} _{n}의 분석 지엽 A의$$⟩ {\$displaystyle$ {\$mathcal {$I}}\langle A\rangle }. (Cartan 1950)
3. 복잡한 해석 공간의^[80] 구조적인 면의 정규화

위의 Serre(1955) 정리로부터, ${\displaystyle {Op}^{}}${\$displaystyle {\mathcal {O}}^{p}$는 일관성 있는 지엽이며, (i)는 카르탕의 정리 A와 B를 증명하는 데 사용됩니다.

사촌문제

하나의 변수 복소함수의 경우, Mittag-Leffler 정리는 주어진 부분과 주요 부분으로부터 전역적 형함수를 생성할 수 있었고(쿠신 I 문제), Weiersstrass 인수분해 정리는 주어진 영점 또는 영점으로부터 전역적 형함수를 생성할 수 있었습니다(쿠신 II 문제).그러나 여러 복잡한 변수에서 분석 함수의 특이점이 고립된 점이 아니기 때문에 이 정리는 성립하지 않습니다. 이 문제를 사촌 문제라고 하며 sheaf cohomology 용어로 공식화합니다.그것들은 1895년 피에르 사촌에 의해 특별한 경우에 소개되었습니다.^[81]복소좌표공간에서 정형화^{[note 22]} 영역에 대한 첫 번째 사곤 문제를 해결하기 위한 조건을 보여준^{[82][83][84][note 21]} 사람은 오카였고, 두 번째 사곤 문제를 추가적인 위상학적 가정으로 해결하기 위한 조건을 보여준 사람은 오카였다, 사곤 문제는 복소다양체의 해석적 성질과 관련된 문제이지만, 확률을 해결하기 위한 유일한 장애물입니다.복잡한 해석적 성질의 부분은 순수한 위상학적이고, ^[84][41][33]세레는^[86] 이것을 오카원리라고 불렀습니다.이들은 이제 임의의 복소다양체 M에 대해 조건의 관점에서 제기되고 해결됩니다. 이 조건을 만족시키는 M은 스타인 다양체를 정의하는 한 가지 방법입니다.사촌의 문제에 대한 연구는 여러 복잡한 변수에 대한 연구에서 지역 데이터의 패치 적용으로 글로벌 속성을 연구할 수 있다는 것을 깨닫게 했습니다.^[38] 즉, 그것이 sheaf cohomology의 이론을 발전시켰다는 것입니다.(예: Cartan 세미나)^[44][41]

1촌 문제

sheaf cohomology 단어가 없는 정의

각 차분 ${\displaystyle {fi}_{}}$- ${\displaystyle {fj}_{}}$ ${\$는 정의된 동형 함수입니다.$f{\displaystyle }$ -${\displaystyle {fi}_{}}$ ${\$가 U에서_i 동형이 되도록$$ M에서 형함수 f를 요청합니다. 즉, f는 주어진 국소 함수의 특이한 동작을 공유합니다.

sheaf cohomology 단어를 사용한 정의

K를 동형 함수의 묶음이라 하고, O를 M의 동형 함수의 묶음이라 하자.다음 맵이 주관적이면 사촌 첫 번째 문제를 해결할 수 있습니다.

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}){\x직렬 {\phi}}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O})}$

긴 정확한 코호몰로지 서열에 의하면

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K}){\x직렬 {\phi}}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O})\to H^{1}(M,\mathbf {O})}$

정확하며, 첫 번째 코호몰로지 그룹 H(M¹,O)가 사라진다면 첫 번째 사촌 문제는 항상 해결할 수 있습니다.특히, 카르탄의 정리 B에 의해, M이 스타인 다양체라면 사촌 문제는 항상 해결 가능합니다.

이등사촌

Sheaf 코호몰로지 단어가 없는 정의

각 비율 ${\displaystyle f_{}}$ /${\displaystyle {}_{}{fj}_{}}$ ${\$는 사라지지 않는 동형 함수이며, 여기서 정의됩니다.$f{\displaystyle /{fi}_{}}$ ${\$이(가) 동형이고 사라지지 않도록 M에 동형 함수 f를 요청합니다.

sheaf cohomology 단어를 사용한 정의

$O$∗ {\$displaystyle$\mathbf ${O$} ^{*}를 어디에서도 사라지지 않는 동형함수의 집합이라 하고, K ∗ {\displaystyle \mathbf {K} ^{*}를 동일하게 0이 아닌 동형함수의 집합이라 합니다.이들은 모두 아벨 군의 군이며, 몫 군 ${\displaystyle K}$ ∗ / O ∗ ${\displaystyle \mathbf$ {$K}^{*}/\$mathbf {O}^{*}가 잘 정의되어 있습니다.다음 맵$$ϕ {\displaystyle $\$phi}이(가) 주관적이면 두 번째 사촌 문제를 해결할 수 있습니다.

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\x직렬 {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})}$

몫과 연관된 길고 정확한 치프 코호몰로지 수열은

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\x직렬 {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})$

따라서 두 번째 사촌 문제는 $H$ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{M},}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ) = $0. {\displaystyle$ H^{1$}(M$,\mathbf {O} ^{*}) = 0.}인 경우 모든 경우에 해결할 수 있습니다.

$O$ ∗${\displaystyle$\mathbf {O}^{*}}의 곱셈${\displaystyle {}^{}}구조$에 대한 코호몰로지 그룹 H ${\displaystyle 1^{}}$ ($M$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ), {\$displaystyle$ H^{1}(M$,\mathbf${O}^{*}),}는 로그를 취하여 가산 구조를 갖는 ${\displaystyle \mathrm{코호몰로지}그룹}$H 1 (M, O ) ${\displaystyle H^{1}($M,\mathbf {O})과 비교할 수 있습니다.즉, 정확한 치프의 순서가 있습니다.

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \x직행 {\exp} \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

여기서 가장 왼쪽의 지층은 섬유 $2$π i Z ${\displaystyle$2\$pi$ i$\mathbb$ $\{$Z}}인 국소 상수 지층입니다. H $수준$에서 로그를 정의하는 데 방해가 되는 것은 긴 정확한 코호몰로지 수열로부터 H${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (}$M$,$ Z)${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$H^{2}(M$,\mathbb$ $\{$Z}}에 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O})\to H^{1}(M,\mathbf {O}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbf {Z})\to H^{2}(M,\mathbf {O})입니다.}$

M이 스타인 다양체일 때, q > 0 {\$displaystyle$ q > 0 {\displaystyle q > 0에 대하여 H ${\displaystyle q^{}}$$$${\displaystyle {}^{}}$$M,\$mathbf {O$})$= $0$이므로, 두 번째 사촌 문제가 항상 해결될 수 있는 필요충분조건은 H 2 (M, Z ) = 0입니다$.$ {\displaystyle H^{2} (M,\mathbb {Z}) = 0.$}$($$이 조건을 오카 원칙이라고 합니다.)

여러 가지 복잡한 변수를 가진 다양체 및 분석 변수

스타인 매니폴드(비압축 복합 매니폴드)

콤팩트하지 않은 (열린) 리만 표면은^[87] 항상 일정하지 않은 단일 값의 동형 함수를 가지며,^[88] 가산성의 두 번째 공리를 만족하기 때문에, 열린 리만 표면은 사실 복소$평면{\displaystyle \mathbb{}}$ C {\$displaystyle \mathbb$ {C$}}$에 대한 동형 매핑을 갖는 1차원 복소 다양체입니다$.$ (실제로,Gunning과 Narasimhan은 ^[89]콤팩트하지 않은 모든 리만 표면이 복소 평면에 실제로 동형의 몰입을 가지고 있다는 것을 보여주었습니다.즉, 복소평면에는 도함수가 절대 사라지지 않는 동형 사상이 있습니다.)^[90]휘트니 임베딩 정리는 모든 매끄러운 n차원 다양체가 ${\displaystyle {\mathrm{R2}}^{}}$ ${\$의 매끄러운 부분 다양체로 임베딩될 수 있음을 알려주는 반면$,$ 복소 다양체가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{n$}$에 동형인 임베딩을 갖는 것은 "희소"합니다$.$ 예를 들어, 임의의 콤팩트하게 연결된 복소 다양체의 경우d X, 그 위의 모든 동형 함수는 리우빌 정리에 의해 상수이므로 복잡한 n-공간에 어떤 임베딩도 가질 수 없습니다.즉, 여러 복소수 변수에 대해 임의의 복소수 다양체가 항상 상수가 아닌 동형 함수를 갖는 것은 아닙니다.따라서 복소 다양체가 상수가 아닌 동형 함수를 갖는 조건을 고려해 보십시오.이제 만약 X를 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 동형으로 포함시킨다면$,$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 좌표 함수는 X가 단지 점인 경우를 제외하고는 콤팩트함과 모순되는, X의 일정하지 않은 동형 함수로 제한할 것입니다$$.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 포함될 수 있는 복잡한 다양체를 스타인 다양체라고 합니다$$.또한 스타인 다양체는 가산성의 두 번째 공리를 만족합니다.^[91]

스타인 다양체(Stein manifold)는 n개의 복소 차원의 벡터 공간의 복소 부분 다양체입니다.그들은 칼 스타인(1951)에 의해 소개되고 이름을 따왔습니다.^[92]스타인 공간은 스타인 다양체와 유사하지만 특이점을 가질 수 있습니다.스타인 공간은 대수기하학에서 아핀 품종 또는 아핀 체계의 유사어입니다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 상의 1가 도메인이 다양체와의 연결이고, 복소 다양체로 간주될 수 있으며, 후술하는 분리 조건을 만족한다면, 스타인 다양체가 되기 위한 조건은 동형 볼록성을 만족시키는 것입니다.따라서 스타인 다양체는 분석 함수의 (최대) 분석 연속의 정의 영역의 속성입니다.

정의.

X를 복소수 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 파라콤팩트 복소수 다양체라고 가정하고$$, $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle X)}${\$displaystyle {\mathcal {O}}(X)$가 X 위의 동형 함수의 환을 나타내도록$$ 하자.다음 조건이 성립할 경우 X를 스타인 다양체라고 합니다.^[93]

1. X는 모든 콤팩트 부분집합 $K$⊂ X {\$displaystyle$ K$subset$ X}에 대하여, 이른바, 홀로포름 볼록 선체,

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X; f(z)\leq \sup_{w\in K} f(w),\\모든 f\in {\mathcal {O}(X)\right\}}$

   는 또한 X의 콤팩트 부분집합입니다.
2. ${\displaystyle X}$는 정칙적으로 분리 가능합니다. 즉, $x$≠ y ${\displaystyle$ x$\$neqy}가 X의 두 점이라면, f (x)가 f (y)를 ≠하도록 f ∈ O (X) {\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)가 존재합니다. {\displaystyle f(x)\neq f(y)}
3. 매니폴드의 모든 점의 열린 이웃은 $O{\displaystyle \mathcal{}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)$와 동형 차트를 갖습니다$.$

조건 (3)은 조건 (1)과 (2)로부터 도출될 수 있음에 유의합니다.^[94]

모든 비압축(개방) 리만 표면은 스타인 다양체입니다.

X를 연결된 비압축(개방) 리만 표면이라 하자.벤케와 스타인(1948)^[88]의 깊은 정리는 X가 스타인 다양체임을 주장합니다.

한스 그라우어트와 헬무트 뢰를(1956)이 만든 또 다른 결과는 X 위의 모든 동형 벡터 다발이 사소하다고 말합니다.특히, 모든 선다발은 사소하므로 $H$ 1 ($X$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ∗ ) = 0 {\$displaystyle H^{$1}(X, {\mathcal {O}}_{X}^{*}) = 0}. 지수열은 다음과 같은 정확한 수열로 이어집니다.

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\긴 오른쪽 화살표 H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\긴 오른쪽 화살표 H^{2}(X,{\mathbb {Z})\긴 오른쪽 화살표 H^{2}(X,{\mathcal {O}_{X})$

이제 카르탕의 정리 B는 $H$ ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{H}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X,}$ O ${\displaystyle X_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle H^{1}$ (X, {\$mathcal {O}}_{X$}) =$H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X$})$=0}$이므로$$H $2$(X, Z) $=$ 0 {\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z})$=$0}입니다.

이것은 두 번째 (다중) 사촌 문제의 해결과 관련이 있습니다.

레비 문제

카탄은 레비의 문제를 스타인 다양체로 확장시켰습니다.^[95]

만약 스타인 다양체 X의 상대적 콤팩트 열린 $부분집합$ $D$⊂ X {\$displaystyle D\$subset X}가 국부 의사볼록이라면, D는 스타인 다양체이고, 반대로 D가 국부 의사볼록이라면, X는 스타인 다양체, 즉.그러면 D가 국부적으로 스타인 매니폴드일 경우에만 X는 스타인 매니폴드입니다.^[96]

이는 브레머만이^[97] 충분히 높은 $차원$의 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 내장하고$$Oka의 결과로 줄임으로써 증명되었습니다.^[31]

또한, 그라우어트는 임의의 복소수 다양체 M에 대해 증명했습니다.^{[note 24][100][33][98]}

임의의 복소 다양체 M의 상대적 콤팩트 부분 집합 $D$⊂ M {\$displaystyle$ D$\subset$ M}이 M에서 강한 의사 볼록체라면, M은 정형 볼록체(즉, 스타인 다양체)입니다.또한, D는 그 자체로 스타인 다양체입니다.

그리고 나라심한은^[101][102] 리바이스 문제를 복잡한 다양체의 특이한 경우에 일반화된 복잡한 분석 공간으로 확장했습니다.

연속적으로 엄밀하게 복소하모닉 탈진 함수(즉, 강한 의사볼록)를 인정하는 복잡한 분석 공간은 스타인 공간입니다.^[4]

레비의 문제는 다음과 같은 경우에 해결되지 않았습니다.

X를 단수의 스타인 공간, $D$ ⊂⊂ X {\$displaystyle D\subset$ \$subset$ X}라고 가정하자. $U$∈ ∂ $D$ {\$displaystyle$ p\$in$\partial D}에 대하여 $열린$ 이웃 U(p) ${\$$displaystyle$ U($p{\displaystyle )\}}$가 스타인 공간이라고$$${\displaystyle \mathrm{가정}}$하자$.$D 그 자체가 스타인가요?^{[4][104][103]}

좀 더 일반화된

N을 스타인 공간 및 팬 주입형이라고 가정하고, 또한 $f$를${\displaystyle M}$ → N ${\displaystyle$ f:$M\to N}$은 맵 f가 국부적 의사 볼록 맵(즉, 스타인 모피즘)인 리만 비가지 도메인입니다.그럼 M 그 자체가 스타인거죠?^{[103][105]: 109}

그리고 또,

X가 스타인 공간이고 ${\displaystyle \underset{}{D}}$ = ⋃ n$$∈$N$ N {\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N}} D_{n} 슈타인 열린 집합의 증가하는 결합이라고 가정합니다.그럼 D 그 자체가 스타인 겁니까?

이것은 스타인 다양체를 지지하는 벤케-슈타인 정리가 스타인 공간에서 성립할 조건을 찾지 못했다는 것을 의미합니다.

케이컴플리트의

그라우어트는 리바이스 문제의 증명에 K-완전 개념을 도입했습니다.

Let X is complex manifold, X is K-complete if, to each point ${\displaystyle x_{0}\in X}$, there exist finitely many holomorphic map ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ of X into ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$, ${\displaystyle p=p(x_{0})}$, such that ${\displaystyle x_{0}}$ is an isolated point of the set ${\displaystyle A}$${\displaystyle =\{}$ ${\displaystyle {}^{}{\in }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{X}}^{}}$ ;${\displaystyle }$f - ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle x}$ 0 ) ( ${\displaystyle \mathrm{v}=}$ ${\displaystyle 1,}$ $…,$ k ) } {\displaystyle A${\displaystyle }$=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v${\displaystyle }$= 1,${\displaystyle \backslash dot}$s,k)\}. 이 개념은 복잡한 해석 공간에도 적용됩니다.

스타인 매니폴드의 특성 및 예시

• 표준^{[note 26]} 복소 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 스타인 다양체입니다.
• ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 동형의 도메인은 스타인$$ 다양체입니다.^[13]
• 스타인 다양체의 모든 닫힌 복소 하위 매니폴드도 스타인 다양체라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
• 스타인 다양체에 대한 내장 정리는 다음과 같이 말합니다.복소수 차원 n의 모든 스타인 다양체 X는 동형의 적절한 지도에 의해$$ ${\displaystyle {\mathrm{C2}}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 내장될 수 있습니다.^{[107][108][109]}

이러한 사실은 스타인 다양체가 주변 공간의 복잡한 구조인 복소 공간의 닫힌 복소 하위 매니폴드라는 것을 의미합니다(내장이 쌍동형이기 때문에).

• (복잡한) 차원 n의 모든 스타인 다양체는 n 차원 CW-Complex의 호모토피 유형을 갖습니다.^[110]
• 하나의 복잡한 차원에서 스타인 조건은 단순화될 수 있습니다. 연결된 리만 표면은 콤팩트하지 않은 경우에만 스타인 다양체입니다.이는 벤케와 스타인으로 인해 리만 표면에 대한 룬지 정리의^[111] 버전을 사용하여 증명할 수 있습니다.^{[note 27][88]}
• 모든 스타인 다양체 X는 정칙적으로 퍼질 수 있습니다. 즉, $모든$ $x$∈ X {\$displaystyle$ x\in X}에 대해 x의 일부 열린 이웃으로 제한될 때 로컬 좌표계를 형성하는 모든 X에 정의된 정칙 함수는 없습니다.
• 첫 번째 사촌 문제는 항상 스타인 다양체에서 해결할 수 있습니다.
• 스타인 다양체가 되는 것은 (복잡한) 강한 의사볼록 다양체가 되는 것과 같습니다.후자는 강한 의사볼록(또는 플러리 서브하모닉)의 완전 함수, 즉 ∂ ∂ ¯ ψ > $0인$ X모스 로 가정할 수 있는)의 매끄러운 실수 함수 ψ {\displaystyle $\$psi },부분 집합$${ ${\displaystyle z}$ ∈ ${\displaystyle X}$ ∣ ψ ( z ) ≤ c } ${\$displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}가 모든 실수 c에 대해 X 내에서 압축되도록 합니다.이것은 E. E. Levi(1911)의 이름을 딴 이른바 ^[112]Levi 문제에 대한 해결책입니다.함수$$ψ {\displaystyle$$\psi}는 스타인 다양체의 일반화를 스타인 도메인이라고 불리는 경계를 가진 컴팩트한 복합 다양체의 해당 클래스 아이디어로 초대합니다.스타인 도메인은 전상$${ ${\displaystyle z}$ ∣ -${\displaystyle }$∞ ≤ ψ ( z ) ≤ c } ${\$displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z))\leq c\}입니다. 따라서 일부 저자들은 이러한 다양체를 엄밀하게 유사 볼록 다양체라고 부릅니다.
• 이전 항목과 관련하여 복소 차원 2에서 또 다른 동등하고 위상학적인 정의는 다음과 같습니다. 스타인 표면은 임계점 f에서 벗어나 역상 X c = f - 1 (${\displaystyle c_{})}$ ${\$displaystyle X_{${\displaystyle {\mathrm{c}}^{}}$}=${\displaystyle f}$^{-1}(${\displaystyle c}$)}인 X에 대한 실제 값 모스 함수 f를 갖는 복소 표면 X입니다.$f$ -${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle }$∞,$c$ ) . {\$displaystyle$f^{-1} $(-\infty$, c) 의 경계로서 통상적인 방향과 일치하는 X 에 방향을 유도하는 접촉 구조.$}$즉, $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( -$$$∞$, c ) {\$displaystyle$f^{-$1}(-\infty$,c)}은 X의 스타인 채우기입니다.

특히 복소수에서 값을 취하는 "많은" 동형 함수를 갖는 속성을 포착하는 등, 이러한 다양체의 추가적인 특성화가 많이 존재합니다.예를 들어, Cartan의 정리 A와 B를 참조하십시오.

GAGA 유사체 집합에서 스타인 다양체는 아핀 품종에 해당합니다.^[114]

슈타인 다양체는 복소수에서 자신으로 "많은" 동형 함수를 인정하는 복소수 분석에서 타원 다양체에 이중적입니다.슈타인 다양체는 이른바 "동형 호모토피 이론"의 의미에서 섬유질일 경우에만 타원형이라고 알려져 있습니다.

복합 투영 품종(콤팩트 복합 다양체)

일변수 복소함수에서의 메로모형 함수는 콤팩트한(닫힌) 리만 표면에서 연구되었습니다.왜냐하면 리만-로흐 정리(리만의 부등식)가 콤팩트 리만 표면을 유지하기 때문입니다(따라서 콤팩트 리만 표면 이론은 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 (평활한(단일이 아닌) 대수 곡선 이론으로 간주될 수 있습니다).$$^[115][116]사실, 콤팩트 리만 표면은 일정하지 않은 단일 값 메로형 함수를^[87] 가졌고, 콤팩트 리만 표면은 메로형 함수를 충분히 가졌습니다.콤팩트한 1차원 복소 다양체는 ${\displaystyle {}^{}}$ 구 $C$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ≅ CP 1${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C}}}\cong \mathbb {CP$ ^{1} 였습니다. 그러나 콤팩트한 리만 면의 추상적인 개념은 항상 대수적으로 가능합니다(리만의 존재 정리, 코다이라 임베딩 정리).그러나 어떤 콤팩트 복소해석공간이 대수화 가능한지를 확인하는 것은 쉽지 않습니다.^[117]사실, Hopf는 일정하지 않은 형함수가 없는 콤팩트한 복소수 다양체 종류를 발견했습니다.^[58]그러나 콤팩트 복소 다양체가 대수적이 되기 위한 필요조건을 제공하는 시겔 결과가 있습니다.^[118] 리만-로흐 정리를 여러 복잡한 변수로 일반화하는 것은 먼저 코다이라에 의해 콤팩트 분석 표면으로 확장되었고,^[119] 코다이라는 또한 이 정리를 3차원 및 ^[120]n차원 켈러 품종으로 확장했습니다.^[121]세레는 리만-로흐 정리를 일관성 있는 치프 코호몰로지 차원의 문제로 공식화했고,^[6] 세레는 세레 이중성을 증명했습니다.^[122]카르탕-세레는 다음과 같은 성질을 증명했습니다.^[123] 코호몰로지 군은 콤팩트 복소 다양체 M의 일관성 있는 면에 대해 유한 차원입니다.^[124]벡터 다발에 대한 리만 표면의 리만-로흐는 1938년 웨일에 의해 증명되었습니다.^[125]히르제브루흐는 1994년에^[126] 이 정리를 콤팩트 복소수 다양체로 일반화했고, 그로텐디크는 상대적인 버전(형태론에 대한 상대적인 진술)으로 일반화했습니다.^[127][128] 다음으로, 콤팩트 리만 표면이 투영적이라는 결과를 고차원의 경우에 일반화하고, 특히 콤팩트 복합 서브매니폴드 X를 복잡한 투영 공간 ${\displaystyle {\mathbb{CP}}^{}}$ ${\$에 임베딩할 때 조건을 고려합니다.$$즉,콤팩트 복소 다양체가 투영될 때의 조건을 제공합니다.고다이라 소실 정리(1954)와 그 일반화 나카노 소실 정리 등은 세프 코호몰로지 군이 소실될 때의 조건을 부여하고, 조건은 일종의 양을 만족시키는 것입니다.이 정리에 의해 주어진 예로서, 코다이라 임베딩 정리는^[129] 호지메트릭을 가진 콤팩트 켈러 다양체 M에 충분한 고차원 N의 복잡한 투영 공간에 M의 복잡한 해석적 임베딩이 있다고 말합니다.차우의 정리는^[130] 닫힌 복소 사영공간의 복소해석적 부분공간(하위다양성)이 대수적인 것을 보여주며, 따라서 이는 일부 동차 다항식의 공통영도이며, 그러한 관계는 세레의 GAGA 원리라고 불리는 것의 한 예입니다.^[8]복소 사영공간의 복소 분석적 부분공간(다양성)은 대수적 성질과 분석적 성질을 모두 갖습니다.그리고 코다이라의 결과와 결합하여, 대수적 다양성으로서 콤팩트한 켈러 다양체 Membeds.이것은 충분한 형함수를 갖는 복잡한 다양체의 예를 제공합니다.복잡한 투영 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$^{$n}}$에 대한 레비 문제의 유사성은 예를 들어 타케우치에 의해 일부 패턴에서 증명되었습니다$.$^{[4][131][132][133]}전반적으로 GAGA 원리는 투영 복소 분석 공간(또는 다양체)의 기하학이 투영 복소 품종의 기하학과 동일하다고 말합니다.복잡한 사영형에 대한 분석적 방법과 대수적 방법의 조합은 호지 이론과 같은 영역으로 이어집니다.또한 콤팩트 복소 다양체의 변형 이론은 코다이라-스펜서 이론으로 발전했습니다.그러나, 콤팩트한 복합 다양체임에도 불구하고, 투영 공간에 내장될 수 없고 대수적이지 않은 반례가 있습니다.^[134]

참고 항목

• 바이콤플렉스수
• 복소기하학
• CR 다양체
• 돌보 코호몰로지
• 고조파 지도
• 하모닉 모피즘
• 무한차원정형
• 오카-웨일 정리

주석

참고문헌

인라인 인용

교재

수학 백과사전

추가열람

외부 링크

• 몇 가지 복잡한 변수의 맛있는 조각들 지 ř이 르블의 오픈 소스 북
• 복소해석학 및 미분기하학 (오픈콘텐츠북 B2 참조)
• "Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables" (PDF). 2012. S2CID 216151050. {{cite journal}}:저널 요구사항 인용 journal=(도움말)
• Victor Guillemin. 18.117 몇 가지 복잡한 변수의 주제2005년 봄.매사추세츠 공과대학교: MIT 오픈코스웨어, https://ocw.mit.edu .라이센스:크리에이티브 커먼즈 BY-NC-SA.
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