2학년 꿈

수학에서 2학년의 꿈은 정체성의 쌍(특히 첫 번째)이다.

${\displaystyle {\n}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{n^{-n}\end}}}}}}$

${\displaystyle {\n}\inter _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{n1}^{n+1}-n1}={n1}=1}^{n=1}{n=1}^{n=1}{n}^{-n}}^{n}}}}}}}}}}}}}}}.$

1697년 요한 베르누이에 의해 발견되었다.

이 상수의 숫자 값은 대략 1.291285997...각각 0.7834305107...

'소포모어의 꿈'^[1]이라는 이름은 잘못된^{[note 1]} 정체성(x + y)ⁿ = xⁿ + y에ⁿ 붙여진 '프레쉬맨의 꿈'이라는 이름과 대조적이다.2학년의 꿈은 너무 좋은 느낌이 비슷하지만 사실이다.

증명

두 정체성의 증거는 완전히 유사하기 때문에, 여기서는 두 번째 정체성의 증거만 제시된다.입증의 핵심 요소는 다음과 같다.

• x^x = exp(x log x)를 쓰는 방법(자연 로그의 경우 표기 로그 사용 및 지수 함수의 경우 exp 사용;
• exp에 대한 파워 시리즈를 사용하여 exp(x log x)를 확장하려면
• 대체에 의한 통합을 사용하여 용어 통합.

상세하게 보면 x를^x as로 확장한다.

${\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\inflit }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}}{n!}}.}$

Therefore, ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!$$}}}\,dx.}$

전력 시리즈의 균일한 수렴에 의해, 종합과 통합을 양보와 교환할 수 있다.

${\displaystyle \int \{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{n}^{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}}\,dx.}$

위의 통합을 평가하기 위해 $대체{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle u\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$.${\displaystyle$ x$=\exp \left(-{\frac$ {$u}{n+1}\right$)를 통해 적분 내 변수를 변경할 수 있다$.$$}}$ 이 치환으로$$ 통합의 한계는 < < , ${\displaystyle 0 <u<\inful ,}}$로 변형되어 정체성을 부여한다.

${\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx=(-1)^{n}^{n+1)^{-(n+1)^{0}^{0}{n^{n}e^{-u}\du.}$

감마함수에 대한 오일러의 적분(integrity)에 의해, 사람은

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{n^{n}e^{-u}\,du=n!,}$

하도록

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n}}{n!}}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$

이를 종합하면(그리고 색인을 변경하여 n = 0이 아닌 n = 1로 시작) 공식이 산출된다.

역사적 증거

는 위에서 어떻게termwise 적분∫ 01)n(로그 ⁡))nd){\displaystyle \int_{0}(\log))^{n}\,dx}았지만, 다른 면에서는 동일하다고 termwise( 같은 조치들을 정당화하기 위해 기술적인 세부 사항을 생략하는 것은 계산된다 원래 증명, Bernoulli,[2]에 현대화된 형태로 Dunham,[3]에 제시된 다르다. integration. (아직 알려지지 않은) 감마 함수를 산출하는 대체에 의한 통합보다는, 베르누이는 이러한 용어들을 반복적으로 계산하기 위해 부분별 통합을 사용했다.

부품별 통합은 다음과 같이 진행되며, 두 지수를 독립적으로 변화시켜 재귀성을 얻는다.무기한 적분은 처음에 계산되며, 이는 역사적으로 이루어졌기 때문에, 그리고$$ 확실한 적분을 계산할 때 탈락하기 때문에 통합의 상수${\displaystyle }$+$C$를 생략한다$.$u = (log x)ⁿ와 dv = x dx를^m 취함으로써$$ $∆{\displaystyle }$ x ${\displaystyle {}^{}\log }$ ${\displaystyle x{}^{}}$) n ${\displaystyle d{}^{}}$ ${\$d ${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ $스타일 \int$ x$^{m}(\log x)^{n}\,dx}$을(를) 통합할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\log x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac{x^{m+1}:{m+1}(\log x)^{n}-{n}-{n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad{{{m\neq -1\text{}}}}}}\end{정렬}}$

(로그 함수의 통합 목록에도 있음).이렇게 하면 적분 및 적분에서 로그의 전원이 1($n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$}에서${\displaystyle }$n - $(\displaystyle n-1$ 감소하므로 다음과 같이 적분 인덕턴트를 계산할 수 있다.

${\displaystyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx={x^{x^{m+1}:{m+1}:{i=0}-1)^{{{i}{\frac {(n)_{i}}}}{{i}}}}}{n-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{n-{{{{n-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 (n) _i은 하강하는 인자를 나타내며, n은 정수이기 때문에 유도가 0에서 멈추기 때문에 유한 합이 있다.

이 경우 m = n이고, 정수가므로

${\displaystyle \int x^{n}(\log x)^{n}\,dx={n1}{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n={n1}-1}^ \sum _{i}{\frac {(n)_{i}}}{n+1}^{i}}}}{n-}}}}}.}$

0에서 1까지 통합하면 마지막 항을 제외한 모든 항이 1에서 사라지며,^{[note 2]} 이는 다음과 같은 결과를 낳는다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n}}{n!}}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac{1^{n+1}{n+1}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{n1}:{n}}={n1}^{n1}(n+1)^{n1}^{n+1){-(n+1)}.}$

이는 오일러의 적분 ${\displaystyle \backslash (n}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \Gamma(n+1)=n!$을 계산하는 것과 같다.오일러의 정체성 자체는 부품별 유사 통합을 통해서도 계산할 수 있기 때문에 (대체에 의한 변수에 대응$)$ 다른 영역의 감마함수의 경우$$(대체에 의한 변수에 대응함)

참고 항목

• 시리즈(수학)

메모들

참조

공식

함수

각주