자연 로그

자연 로그
자연 로그
	자연 로그 함수의 일부를 나타내는 그래프입니다.함수는 x가 증가함에 따라 서서히 양의 무한대로 커지고 x가 0에 가까워지면 천천히 음의 무한대로 이동합니다("x의 멱함수 법칙에 비해 느리게").
일반 정보
일반적인 정의
발명의 동기	분석 증거
적용 분야	순수 응용 수학
도메인, 코드메인 및 이미지
도메인
코도메인
이미지
특정 값
+ 에서의 값	+∞
e에서의 값	1
특정 기능
점근선
뿌리	1
역
파생상품
반파생적

숫자의 자연 로그는 $수학$ 상수 e의 밑변에 대한 로그로, 2 $.7182828459$ 와 거의 $동일$ 한 비합리적이고 초월적인 숫자입니다.x의 $자연$ 로그는 일반적으로 $ln$ x, $log e$ $x$ 로 쓰입니다. $기저수$ e가 암묵적인 경우에는 $단순히$ $log$ $[1] [2] x$ 로 쓰이기도 합니다. $명확성$ 을_e $위해$ 괄호를 추가할 수도 $있습니다.$ 이는 모호성을 방지하기 위해 특히 대수에 대한 인수가 단일 기호가 아닐 때 수행됩니다.

x의 $자연$ 로그는 e가 $x$ 와 같도록 올려야 $하는$ 거듭제곱입니다. $예$ 를 들어, $ln$ 7. $5$ 는 2 $.0149입니다.$ e $= 7.5$ 이기 $때문$ 입니다^2.0149....e 자체의 $자연$ 로그 $ln$ e는 e = $e$ 이기 $때문$ 에¹ $1$ 이고, 1의 $자연$ 로그는 e = $1$ 이기 $때문$ 에⁰ 0입니다.

자연 로그는 임의의 양의 $실수$ a에 대해 $1$ 에서 $a$ 까지의^[3] $곡선$ y = $1/ x$ 아래의 면적(0 < a < $1)$ 으로 정의할 수 있다 $.$ 자연 로그와 관련된 다른 많은 공식과 일치하는 이 정의의 단순성은 "자연"이라는 용어로 이어집니다.자연 로그의 정의는 음수 및 0이 아닌 모든 복소수에 대한 로그 값을 제공하도록 확장될 수 있지만, 이는 다중값 함수로 이어집니다. 자세한 내용은 복소수 로그를 참조하십시오.

자연 로그 함수는 실수 변수의 실수값 함수로 간주되는 경우 지수 함수의 역함수로, 다음과 같은 동일성으로 이어집니다.

{\ln x}&=x\qquad {displaystyle {\ln x}&=x\qquad {\ln e^{x}&quad {\ln x}가 실수입니다.}}\end {aligned}

모든 로그와 마찬가지로 자연 로그는 양의 곱셈을 덧셈에 매핑합니다.

\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}

^[4]

로그는 e뿐만 $아니라$ 1 이외의 임의의 양의 기수에 대해 정의할 수 있습니다.그러나 다른 기저의 로그는 자연 로그와 상수 승수로만 다르며, 후자의 관점에서 정의할 수 있습니다.예를 들어, 2진수 로그(이진수 로그라고도 함)는 ln( $2)$ 로 나눈 자연 로그, 2의 자연 로그 또는 log $(e)$ 로₂ 곱한 자연 로그와 같습니다.

로그는 미지수가 다른 양의 지수로 나타나는 방정식을 푸는 데 유용합니다.예를 들어, 지수 붕괴 문제에서 반감기, 붕괴 상수 또는 알 수 없는 시간을 해결하는 데 로그가 사용됩니다.그것들은 수학과 과학 분야의 많은 분야에서 중요하며, 복합 관심사와 관련된 문제들을 해결하기 위해 사용된다.

역사

자연 로그의 개념은 1649년 ^[5]이전에 Gregoire de Saint-Vincent와 Alphonse Antonio de Sarasa에 의해 고안되었다.그들의 연구는 쌍곡 섹터의 면적을 결정함으로써 $방정식$ $xy$ = 1과 쌍곡선의 직교체를 포함했다.그들의 해는 현재 자연 로그와 관련된 특성을 가진 필수 "과잉대수" 함수를 생성했다.

자연 로그의 초기 언급은 니콜라스 ^[6]^[7]메르카토르가 1668년에 발표한 그의 저서 로그모테키아에서 나왔지만, 수학 교사 존 스피델은 1619년에 사실상 자연 로그가 무엇이었는지에 대한 표를 이미 작성했다.스피델의 대수는 $밑수$ e에 해당한다고 알려져 있지만, 이는 ^[7]^{: 152}정수로 표현되는 값과의 합병증으로 인해 완전히 사실이 아니다.

표기법

$ln$ x $및 e$ $log$ x $표기법$ 은 모두 $x$ 의 자연대수를 명확하게 $나타내며$ , 명시적 밑수가 없는 $로그$ x도 자연대수를 나타낼 수 있습니다.이러한 용도는 수학, 그리고 여러 프로그래밍 ^{[nb 1]}언어에서 일부 과학적 맥락과 함께 일반적입니다.그러나 화학과 같은 다른 상황에서는 $로그$ x를 $사용$ 하여 공통(기본값 10) 로그를 나타낼 수 있습니다.컴퓨터 과학의 맥락에서, 특히 시간 복잡성의 맥락에서 이진수(기본값 2) 로그를 참조할 수도 있습니다.

정의들

자연 로그는 여러 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있습니다.

지수 역수

$\ln(x)$ 일반적인 정의는 $e^{x}$ $x(\$ e $^{x$ 의 역함수로서 $e^{\ln(x)}=x$ ln $（$ $e^{\ln(x)}=x$ ） $e^{\ln(x)}=x$ {\ $displaystyle$ e $^{x$ $}$ $=x$ 입니다. $e^{x}$ x {\ $displaystyle$ e $^{x$ $x$ }는 $e^{x}$ 임의의 $실제$ 입력 $x$ {\ $displaystyle$ $\ln(x)$ w(x)에 $\ln(x)$ 대해 정의이므로 $\ln(x)$ displaystyle $)$ 는 정의입니다 $.$ 임의의 양의 x에 대해 정의됩니다.복소수에서는 $e^{z}$ z { $displaystyle$ e $^{z}$ 는 $e^{z}$ 반전할 수 $\ln(z)$ ln $\ln(z)$ ( $\ln(z)$ ) $\ln(z)$ { $displaystyle \ln(z)}$ 은 $\ln(z)$ 다중값 함수입니다.따라서 ln $\ln(z)$ $\ln(z)$ ）\ $displaystyle \ln(z$ $\operatorname {Ln} (z)$ 을 $\ln(z)$ 적절한 단일 출력 함수로 $\ln(z)$ 위해서는 특정 주요 브랜치( $\operatorname {Ln} (z)$ Ln $\operatorname {Ln} (z)$ z $\ln(z)$ ）\ $displaystyle$ $\operatorname {Ln}($ $z$ $\operatorname {Ln} (z)$ 로 표시됨)로 제한해야 합니다. $이것$ 은 z $\ln(z)$ $displaystyle$ e $^{z$ $}$ 의 역함수입니다 $.$ $e^{z}$ 는 e $e^{z}$ 의 일반적인 정의를 반전하여 $정의$ 됩니다 $e^{z}$

\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to\infty}\left(1+{\frac {z}{n}}\오른쪽)^{n}}

이렇게 하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

\displaystyle \ln(z)=\lim _{n\to\infty}n\cdot({n}{z}}-1)

따라서 이 정의는 n번째 루트의 주요 분기에서 그 자체의 주요 분기를 도출한다.

적분 정의

a

에서

f

(x)

= 1에서

a

까지의

1/x 곡선 아래의 음영 영역의 면적.a가

1

보다 작을

경우

음으로 간주되는 영역입니다.

쌍곡선 아래의 영역이 로그 규칙을 만족합니다.

여기

서 A

(s, t)

는

s

와 t

사이

의 쌍곡선 아래의 영역을 나타낸다.

양의 실수 $a$ 의 자연 로그는 x = $1$ 과 x = $a$ $사이$ 의 $방정식$ y $= 1$ / $x$ 와 함께 쌍곡선의 그래프 아래 영역으로 정의될 수 있다.이것이 적분입니다^[3].

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}},flac.

a가 $1$ 보다 작을 $경우$ 이 영역은 음으로 간주됩니다.

이 함수는 ^[4]로그의 기본 곱셈 특성을 충족하기 때문에 로그입니다.

\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.

이는 $ln$ ab를 $정의$ 하는 적분을 두 부분으로 분할한 다음, 다음과 같이 두 $번째$ 부분에서 변수 $치환$ x = $at$ ( $so$ $dx$ = a dt)로 만들면 알 수 있습니다.

{{displaystyle {displaystyle} \ln ab= \int _ {1} {x} {\frac&=\int {1} {a} {\frac {1} {x} {\frac +\int {a} {{ab} {\frac {1} {x} {\f},\frac {x},\frac {x} &gt}=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x},frac+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}a,dt\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}},frac+\int _{1}^b}{\frac {1}{t},dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end { aligned}}

기본 용어로, 이것은 단순히 수평 방향으로 1 $/ a$ , 수직 방향으로 $a씩$ 스케일링하는 것입니다.이 변환에서는 영역은 변경되지 않지만 $a$ 와 ab $사이$ 의 영역은 재설정됩니다. $함수$ a $/(ax)$ 는 $함수$ 1/ $x$ 와 같기 때문에 $결과$ 면적은 정확히 $ln$ b입니다.

$그런$ 다음 숫자 e는 $a$ = 1인 $고유$ 한 $실수$ a로 정의할 수 있습니다.

특성.

${\displaystyle\ln 1=0}$
${\displaystyle\ln e=1}$
$\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\displays { for }\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
$\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y}$
$\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\display {for}\;x>0}$
$\displaystyle \ln x <\ln y \text {for}}\; 0 <x < y }$
$\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac\ln(1+x)}{x}=1}$
$\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}=\ln x\display {for}\;x>0}$
$\displaystyle \frac {x-1} \leq x-1\leq \text {for} \timeout x > 0$
$\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha }}\leq \alpha x\language {for}\language x\geq 0\;{\text {and}}\;\alpha \geq 1)$

증명

이 문장은 x $x=0$ { $displaystyle$ x ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ $0$ } 에 $x=0$ 참입니다. ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ 서 ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ x ln ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ( ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ + $α$ ) ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ display ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ d ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ( $α$ x ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ) ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ display $ln$ { ( $1$ + x ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ^ { \ $alpha } }\leq$ { $frac$ { $d$ $x$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ 。그래서 저희가 보여드리고 싶은 건

{frac {d}\ln {(1+x^{\alpha}}} = frac {1+x^{\alpha}} \leq \alpha = frac {d} {frac {d} {\alpha }

(이 진술이 사실임을 아직 증명하지 않았습니다).이것이 사실이라면, 중간 문장에 양의 $(1+x^{\alpha })/\alpha$ (1 $(1+x^{\alpha })/\alpha$ + $(1+x^{\alpha })/\alpha$ α $(1+x^{\alpha })/\alpha$ ) / $(1+x^{\alpha })/\alpha$ ${\displaystyle$ (1 $+x^{\$ $alpha$ $})$ /\ $alpha}$ 를 $(1+x^\alpha) / \alpha$ 곱하고 $x^{\alpha }$ α {\ $display$ x $^{\$ alpha $}}$ 를 $x^{\alpha }$ 빼면 $x^{\alpha }$ 수 있다.

\displaystyle x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1}

\displaystyle x^{\alpha-1}(1-x)\leq 1}

이 문장은 왼쪽이 음수 또는 0이므로 x $x\geq 1$ 1 $($ 스타일 x $\geq$ 1)에 $x\geq 1$ 대해 거의 동일합니다.0 $0\leq x<1$ x < $0\leq x<1$ { $display style$ 0 \ $leq$ x < $1$ $\alpha \geq 1$ $0\leq x<1$ rec 、 $\alpha \geq 1$ { $displaystyle \alpha \geq$ 1 $\alpha \geq 1$ }을 $0 \le x < 1$ 호출하기 때문에 여전히 True입니다.따라서 이 마지막 문장은 참입니다.이 순서를 역순으로 반복하면 모든 $xstyle$ x에 ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ d ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ln ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ( $1$ + ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ α ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ( $α$ x $)\$ ln { ( 1 + x ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ^ { \ $alpha }$ )\ $leq$ \ $frac { d$ } { $dx$ } ( $alpha$ x )가 $\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \frac{d}{dx} ( \alpha x )$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ $x$ 이것으로 증명은 완료되었습니다.

또 하나의 증거는 주어진 $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ 에서 ( $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ + x $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ α) $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ + x $^{\$ alpha $}$ ( $1$ + x ^{\ $alpha$ })\ $leq ($ 1 $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ + $x)^{\alpha$ 을 $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ 관찰하는 것이다.이것은 예를 들어, 표준 불평등에 의해 입증될 수 있다.로그를 취하여 ln $\ln(1+x)\leq x$ ( $\ln(1+x)\leq x$ + $\ln(1+x)\leq x$ ) $\ln(1+x)\leq x$ { $displaystyle \ln ( 1$ + $x$ )\ $leq$ x} 를 $\ln(1+x)\leq x$ $\ln(1+x)\leq x$ 하면 증명은 완료됩니다.

파생상품

양의 실수에 대한 실수 함수로서의 자연 로그의 도함수는 다음과^[3] 같이 주어진다.

(\displaystyle {frac {d}}\ln x=frac {1}{x}).}

자연 로그의 이 도함수를 어떻게 정의하느냐는 그것이 어떻게 직접 정의되느냐에 달려있다.자연 로그가 적분으로 정의되는 경우

\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}},dt,}

그러면 미적분학의 기본정리의 첫 부분부터 바로 도함수가 뒤따른다.

한편, 자연대수가 (자연) 지수함수의 역함수로 정의되면, (x > 0의 경우) 도함수는 로그의 특성과 지수함수의 정의를 사용하여 구할 수 있습니다. $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ ( $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ + $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ ) $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ / $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ u , ${$ $display e$ $=$ \ $lim$ _ ${u\to$ 0} $(1$ $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ )^ $1/$ $u$ }의 $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ 정의에 따라 지수 함수는 e $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ 0 ( $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ ) $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ / { $style$ 로 $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ 할 수 있습니다. $u=hx,h=u/x.$ $u=hx,h=u/x.$ 파생상품은 제1원칙에서 찾을 수 있다.

{\frac {d}{\frac {d}}\ln x&=\lim {ln(x+h)-\ln x}{h}{h}\left[\frac {1}\ln \frac {+h}\ln x}{h}}{오른쪽}}}\&, =\lim _ᆪ\left[\ln \left(\left(1+{\frac{h}{x}}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right]\quad&&{\text{모두 로그 함수 속성, 상기}}\\&, =\ln \left[\lim_{h\to 0}일 경우 \left(1+{\frac{h}{x}}\right)^{\frac{1}{h}}\right]\quad&&{그 logarithm의 연속성 \text{에}}\\&, =\ln e^{1/x}\quad&&defin을{\text{.}의 Ition}e^{)}=\lim _{h\to 0}(1+hx.)^{1/h}\&=ln을 역함수로서 정의하기 위해 {1}{x}\lnfrac&{\text{.}}\end {aligned}

또, 다음과 같은 것이 있습니다.

{frac}\ln ax=frac {d}{frac}(\ln a+\ln x)=frac {d}{frac}\ln a+{frac {d}{frac}}\ln x=frac {1}{x}}}.

따라서 $e^{ax}$ $e^{ax}$ 와 달리 x $(\$ e $^{ax$ 의 상수는 차분을 변화시키지 않습니다.

시리즈

ln(1 + x)에 대한 Taylor 다항식은 -1 < x 1 1 범위의 정확한 근사치만 제공합니다.일부 x > 1을 넘어서, 높은 차수의 테일러 다항식은 점점 더 나쁜 근사치이다.

자연 로그는 0으로 정의되어 있지 않기 때문에 $\ln(x)$ 많은 기본 함수와 달리 ln $\ln(x)$ ( $\ln(x)$ ) \ $displaystyle \ln$ ( $x)$ 자체에는 $\ln(x)$ Maclaurin 급수가 없습니다.대신 다른 점 주변의 Taylor 확장을 찾습니다.예를 들어 $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ x - $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ 및 x $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ 일 $,$ \ $displaystyle \vert x-1\vert$ \ $leq$ 1 ${\text{ and$ }} $x\neq$ 0 $,}$ 은 $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ ^[8] 다음과 같습니다.

{t}\ln x&=\int _{1}{x}{t},dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u},du\&={x-1}{x-1}{x-1},du\int _{0}{x-1}{x-1}{x-1}{x-1}{\cdu}{\\int}{du}{du}{du}{du}{du}{du}{du}{du}{du}{du\end { aligned}

이것은 ln x around 1에 대한 Taylor 시리즈입니다.변수를 변경하면 Mercator 시리즈가 생성됩니다.

\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}-\cdots}

x 1 1 및 x - -1에 유효합니다.

그럼에도 불구하고 Leonhard ^[9] $Oiler$ 는 x $x\neq -1$ δ - $1$ 을 $x\neq -1$ 하고 이 열을 x = -1에 적용했다. 이는 조화 $급수$ 가 1/(1 - 1)의 (자연) 로그, 즉 무한대의 로그와 같다는 것을 보여주기 위해서이다.오늘날, 더 공식적으로, 사람들은 N에서 잘린 조화 급수가 N의 대수에 가깝고, N이 클 때, 차이가 오일러-마셰로니 상수로 수렴된다는 것을 증명할 수 있다.

오른쪽은 ln(1 + x)과 그 테일러 다항식의 0 주변 그림이다.이러한 근사치는 영역 -1 < x 1 1에서만 함수에 수렴된다. 이 영역 밖에서는 고차 테일러 다항식이 함수에 대해 더 나쁜 근사치로 진화한다.

x $x={\tfrac {1}{n}}$ $({$ x $=sqtfrac {1}{n$ 을 취하는 양의 정수 n에 대한 유용한 특수 사례는 다음과 같습니다.

\ln \frac {n+1}{n}}=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{kn}}=blac {1}{n}-{\frac {1}+{n}}{\frac {3}}}=blac {n}{n}{{n}}}}{\frac {\frac {n}}}}}}}}{n}}}}{n}}}}}}}}}}{\frac {\frac}}}}

Re $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ ( $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ ) $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ 1 $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ / $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ 、 { $displaystyle \operatorname$ { $Re$ } ( $x$ ) \ $geq$ 1/2 $,$ }인 $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$

{{displaystyle {displaystyle}\ln(x)&=\ln \left\frac {1}{x}{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}{k}{k}}}=_{k={x}{x}{\fty}^{\fty}{\ty}{-in}^{\ty}{\ty}}{-}}{\ty}{\time}}}{-}}}{-}}{\time}}}}{-}}}}

양의 정수 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 에 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ $x={\tfrac {n+1}{n}}$ $=$ n + 1 n {\ $displaystyle$ x $=tfrac {n+1}{n}}}$ 을 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 구하면 다음과 같이 됩니다.

\ln \frac {n+1}{n}}\오른쪽)=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {k(n+1)^{k}}}=flac {1}{n+1}+{\flac {1}{2(n+1)^2}}+{\frac {1}{3(n+1)^3}}+{\frac {1}{4(n+1)^4}}+\cdots

Re $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ ) $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ 0 、 $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ 0 $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ 、 { $displaystyle \operatorname$ { $Re$ } ( $x$ ) \ $geq$ 0 { \ $text$ { $}x$ \ $neq$ 0 , $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ }인 $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$

\displaystyle \ln(x)=\ln \left\frac {2x}{\right}=\ln \frac {1+1}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\right}=\ln \left\frac {1+{\frac {x-1}}{x-1}}}{x-1}}}}}}}{\right}}}}}{\ln\ln }}

부터

{{displaystyle {displaysty}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{infty}{\frac {1}{i}\left(-1)^{i-1}-(-y)^{i}-(i}-(오른쪽)=_sumfty^{i}\&=y_{i=1}^{\infty}{\frac {y^{i-1}{i}}\left(-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}\;2y\sum _{k=0}^{\infty}{\fracy}{k^2}}{k^2}{k}}{k}}}{k^2}}}}}}{\fracy+}}}}{i-1}}}}}}{i-1}}}}}

도착하다

{displaystyle}\ln(x)&=sum _{k=0}^{\infty}{\frac {1}{{\left\frac {(x-1)^2}}{(x+1)^2}}}}\right)}^{k}\\&=frac {2(x-1)}{x+1}}\left\frac {1}{1}+{\frac {(x-1)^2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}{\leftflac\frac {(x-1)^2}}{(x+1)^2)}}}\오른쪽)}^{2}+\cdots\right).\end { aligned}

양의 정수 n에 대해 다시 x $x={\tfrac {n+1}{n}}$ + $x={\tfrac {n+1}{n}}$ {\ $displaystyle$ x $=sqtfrac {n+1}{n}}}$ $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 을 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 사용하면 다음과 같이 됩니다.

({displaystyle {displaystyle \ln \left frac {n+1}{n}\right)&=sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{k}{k}\&=2\frac {nfrac}{n}{nfrac}{nfrac}{n}{n}{nfrac}{n}{n}{nfrac}{nfrac}{n}{nfrac}{n}{nfr}{n}}}}}}}}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}+\cdots\right).\end { aligned}}

이는 여기서 설명하는 시리즈 중 가장 빠른 컨버전스입니다.

자연 로그는 무한 ^[10]곱으로도 표현할 수 있습니다.

\ln(x)=(x-1)\display_{k=1}^{\infty}\lefts\frac {2}{1+{\displayrt[{2^{k}}}}}}\right}

다음 두 가지 예를 들 수 있습니다.

\displaystyle \ln(2)=\leftfrac {2}{1+{\flacrt {2}}}\오른쪽)\flac {1+{\flac{4}{2}}}\right)\flac {2}{1+{\flac}}\flac{\fright}\frac {1+{\fright}}}}\frac {1}}}}}

\displaystyle \pi = (2i+2)\frac {1+{\flacrt {i}}}\오른쪽)\flac {1+{\flacrt[{4}{i}}}}\right)\flac {2}{1+{1+{\flac{8}}}}\flight}\flight)\frac {1}\flight}\frac {1}\fright}\frac {1}}

이 아이덴티티에서 쉽게 얻을 수 있는 것은 다음과 같습니다.

{1}{\ln(x)}=flac {x}{x-1}-\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {2^{-k}}}{1+x^{-k}}}}

예를 들어 다음과 같습니다.

{1}{\ln(2)}=2-{\frac {2}{\frac {2+fracrt {2}}-{\frac {4}{4}{2}}-{\frac {rt[8}}}-{frac {4}{4}{4}}}}}-{\frac {8

적분의 자연 로그

자연 로그는 g(x) = f '(x)/f(x) 형식의 함수를 간단히 통합할 수 있게 한다: g(x)의 역도함수는 ln(f(x))로 주어진다.이는 체인 규칙과 다음 사실에 기인합니다.

(\displaystyle\frac {d}\ln \left x\right = flac {1}{x}).}

즉 $,$ x(\ $displaystyle x$ 가 $x$ x ${\$ 실수일 $경우$

\displaystyle \int \frac {1} {x}, flac=\ln x +C}

^[11]

그리고.

\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}},filn}=\ln f(x) +C.}

g(x) = tan(x)의 예를 다음에 나타냅니다.

(*displaystyle\displaystyle\int\tan x,cos x,cos =\int\frac {-{\frac {d}{\cos x},cos x},cos x},cos x,cos },clac int,cs ） 。\end { aligned}}

f(x) = cos(x):

\displaystyle \int \tan x,sn=-\ln \left \cos x\right +C}

\int \tan x,filen=\ln \left \sec x\right +C

여기서 C는 적분의 임의의 상수입니다.

자연 로그는 부품별 적분을 사용하여 적분할 수 있습니다.

\displaystyle \int \ln x,syslog=x\ln x-x+C.}

다음 중 하나를 선택해주세요.

u=\ln x\rightarrow du=syslogfrac {syslog}{x}

dv=param\오른쪽 화살표 v=x

그 후, 다음과 같이 합니다.

(\displaystyle\displaystyle\ln x,display\ln x,x\int {x},\&=x\ln x-\int 1,displaystyle\n x-x+C\end {aligned})

효율적인 계산

여기서 x > 1인 ln(x)의 경우 x 값이 1에 가까울수록 1을 중심으로 한 Taylor 시리즈의 수렴 속도가 빨라집니다.로그와 관련된 ID는 이를 이용하기 위해 사용할 수 있습니다.

(\displaystyle {signed}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2}\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\& 약 1.23456+2\cdot 23025851).\end { aligned}}

이러한 기법은 계산기 이전에 수치 표를 참조하고 위와 같은 조작을 수행함으로써 사용되었다.

자연 로그 10

10의 자연 로그는 10의 거듭제곱을 곱한 가수로서, 예를 들어 2.30258509...^[12]의 소수 확장을 가지고 있으며, 과학적 표기법으로 표현되는 숫자의 자연 로그를 계산하는 데 역할을 한다.

\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}

$즉, [$ 1, 10 $]$ 범위의 비교적 작은 소수 집합의 대수를 사용하여 매우 크거나 매우 작은 크기의 숫자의 대수를 효과적으로 계산할 수 있습니다.

고정밀

많은 정밀도를 가진 자연 로그를 계산하기 위해, Taylor 급수 접근법은 수렴 속도가 느리기 때문에 효율적이지 않습니다.특히 x가 1에 가까울 $경우$ , 일련의 지수 함수가 더 빨리 수렴되기 때문에 좋은 대안은 핼리 방법이나 뉴턴 방법을 사용하여 지수 함수를 반전시키는 것입니다.핼리법을 사용하여 exp $(y$ $)$ - $x$ = $0을 구하거나$ 뉴턴법을 사용하여 exp $(y/2$ ) - x $expyy/2$ ) = 0을 $구하려면$ , 반복은 다음과 같이 단순화된다.

{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n}}}}

이 값은 ln( $x)$ 에 대한 입방정 수렴을 가집니다.

초고정밀 계산의 또 다른 대안은 다음^[13]^[14] 공식이다.

(\displaystyle\ln x\approx\frac{2M(1,4/s)}-m\ln 2,}

$여기$ 서 M은 $1$ 과 4 $/ s$ 의 산술-기하 평균을 나타낸다.

(\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2})

p비트의 정밀도를 얻을 수 $있도록$ m을 $선택$ 합니다.(대부분의 경우 m의 경우 8의 값으로 충분합니다.)실제로 이 방법을 사용하면 자연대수의 뉴턴 반전을 사용하여 지수함수를 효율적으로 계산할 수 있습니다(ln 2와 θ의 상수는 알려진 몇 가지 빠른 수렴 급수를 사용하여 원하는 정밀도로 미리 계산할 수 있습니다).또는 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

\ln x=pi }{M\left(\theta _{2}^2}(1/x),\theta _{3}^2}(1/x)\right)},\display x\in(1,\infty)}

어디에

\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z}}x^{(n+1/2)^{2}},\sum \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z}}x^{n^{2}}

Jacobi Theta ^[15]함수입니다.

윌리엄 Kahan의 제안을에 처음으로 휴렛 패커드 HP-41C 계산기에 1979년(아래"LN1"화면에서 언급), 어떤 계산기, 운영 체제(예를 들어 버클리 유닉스 4.3에서 구현된 기초를 둔다.BSD[16]), 컴퓨터 대수학 시스템과 프로그래밍 언어 특별한 자연 로그의+1function,을 제공하(예 C99[17]에).또는 lnP1 ^[18]^[19]또는 log1p라는^[17] 이름을 사용하여 0에 가까운 인수 x를 함수 ln(1+x)에 전달함으로써 ln(y)^[17]^[18]^[19]을 반환하는 함수에 y에 가까운 값을 전달하는 대신 ln(1+x)을 반환함으로써 0에 가까운 로그의 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.함수 log1p는 부동소수점 산술에서 ln의 Taylor 확장에서 두 번째 항으로 절대항 1이 거의 취소되는 것을 방지합니다.이것에 의해, 인수, 결과, 및 중간 스텝은 모두, 부동 소수점 ^[18]^[19]수치로서 가장 정확하게 표현될 수 있는 제로에 가까워집니다.

IEEE 754-2008 표준에서는 $base$ e 외에 2진수 및 10진수 대수에 대해 log $(1 + x$ ) $및 10$ log( $1$ + $x)$ 와₂ 같은 유사한 로그 함수를 1 부근에 정의합니다.

$expm1$ (x) ^[18]^[19] $= exp$ ( $x)$ - ^{[nb 2]} $1$ 의 의미를 갖는 "expm1 $", [17]$ "expm" 또는 "exp1m"이라는 유사한 역함수도 존재한다.

역 쌍곡선 탄젠트의 항등식

\displaystyle \mathrm {log1p}(x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh}\lefts\frac {x}{2+x}\right,},

는 $log1p(x)$ 를 실장하지 않은 시스템의 작은 $값$ x에 대한 고정밀 값을 나타냅니다.

계산의 복잡성

(위 두 방법 모두) 산술 기하 평균을 사용하여 자연 로그를 계산하는 계산 복잡도는 O(M(n) in n이다.여기서 n은 자연대수가 평가되는 정밀도 자릿수이며, M(n)은 두 n자리 숫자를 곱하는 계산 복잡도이다.

연속 분수

단순 연속 분수는 사용할 수 없지만, 다음과 같은 몇 가지 일반화 연속 분수는 다음과 같다.

{displaystyle}\ln(1+x)&=displayfrac {x^{1}{1}-{\frac {x^{2}}{2}+{\frac {x^{3}}-{4}+{\frac {x^{5}}\cdots={1}{1}

\displaystyle \ln \left(1+{\frac {x}{y}}\오른쪽)&=sysac {x}{y+{\sysac {1x}{2+{\sysac {3x}{\sysac {2x}{\sysac {2x}}}}}}}}}}}}}}:\5ptac {1x}{\sysac {1x}{3x}}}}}}}}}}}}}}}}}}:\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\xptac {\sysac {\sysac {\sysac

이러한 연속 분율(특히 마지막 분율)은 1에 가까운 값에 대해 빠르게 수렴된다.그러나 더 큰 수의 자연대수는 더 작은 수의 자연대수를 반복적으로 더함으로써 비슷하게 빠른 수렴으로 쉽게 계산할 수 있다.

예를 들어, 2 = 1.25³ × 1.024이므로, 2의 자연 로그는 다음과 같이 계산할 수 있다.

\displaystyle \ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\오른쪽)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}\오른쪽)\\[8pt]&=glamac {6}{9-{\glamac {1^{2}}{27-{\glamac {2^2}}{45-{\glamac {3^{2}}}}}}}+{\glamac {6}{253-{\glamac {3}}}{9^{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{\glamplamplamplamplamplamac{{{{\glamblamac}}}}}}}{\end { aligned}}

또한 10 = 1.25¹⁰ × 1.024이므로³ 10의 자연 로그도 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\오른쪽)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\오른쪽)\\[10pt]&=glamac {20}{9-{\glamac {1^{2}}{27-{\glamac {2^2}}{45-{\glamac {3^{2}}}}}}}+{\glamac {18}{253-{\glamac {3^{2}}}}}{\glamac {759-{12}}}{12}}}}}}}{12}}}}}}}}}}{{{\glamblamblamblamblamblamblam\end { aligned}}

자연 로그의 역수는 다음과 같은 방법으로도 쓸 수 있습니다.

{{displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}=blac {2x}{x}{x}{\frac {1}{2}+{4x}}{\flacrt {\frac {1}{\frac {2}{\frac}{2}}{\frac}}{\frac}}{\frac {\frac}}{{{\frac}}}}}}}{{\frclac {\frac}}}}}}

예를 들어 다음과 같습니다.

{{displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}=blac {4}{3}}{\frac {}+{\frac {5}}}{\frac {1}{2}}+{\flac {{1}}{5}}}}{\flac rt {\frac {{1}{\frac {\frac {{1}}{2}}{5}}{\frac}}}}{{\frac}}}{{\frac}}}{{\frac}}}}}}}{{\frac}

복소수 로그

지수 함수는 임의의 $복소수$ z에 대해 복소수를 $e$ 로^z 제공하는 함수로 확장할 수 있습니다. 단순히 x=z 복소의 $무한$ 급수를 사용하십시오.이 지수함수는 보통 로그의 대부분의 속성을 나타내는 복소수 로그를 형성하기 위해 반전될 수 있습니다.관련된 두 가지 어려움이 있습니다. 즉, $no$ $x$ 는 e = $0$ 이고^x e = $10$ = $e$ 입니다^2iπ.곱셈 특성은 모든 $복소수$ z 및 $정수$ k에 대해 복소수 $함수 z$ e = $e$ 에^z+2kiπ 여전히 적용되기 때문이다.

따라서 전체 복소 평면에 대해 대수를 정의할 수 없고, 그렇다고 해도 다중값이다.복소수 대수는 임의의 $2iµ$ 의 정수 배수를 더하면 "등가" 대수로 바뀔 수 있다.복소수 로그는 절단면에서만 단일 값을 지정할 수 있습니다.예를 들어, ln 나는.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 정도씩 생겨나고 있다. 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}iπ/2 또는 5iπ/2 또는 -3iπ/2 등, 비록i4=1,4ln 나는 될 수 있어 정의된 2iπ, 또는 10iπ 또는 −6iπ, 그리고 기타 등등.

복소 평면에서의 자연 로그 함수 그림(주가지)
$z = Re(ln(x + yi))$
$z = (Im(ln(x + yi)))$
$z = (ln(x + yi))$
이전 세 그래프의 중첩

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran 및 일부 기본 방언 포함
^ 특정 입력 값에 대한 계산의 반올림 오류를 줄이기 위한 유사한 접근방식은 베르신, 베르코신, 커버신, 커버신, 하베르신, 하베르신, 하베르신, 하코버신, 엑소센트와 같은 삼각 함수를 참조하십시오.

레퍼런스

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[8] C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran 및 일부 기본 방언 포함

[Alternative_funcs-21] 특정 입력 값에 대한 계산의 반올림 오류를 줄이기 위한 유사한 접근방식은 베르신, 베르코신, 커버신, 커버신, 하베르신, 하베르신, 하베르신, 하코버신, 엑소센트와 같은 삼각 함수를 참조하십시오.

[1] G.H. 하디와 E.M.라이트, 1975년 옥스퍼드 제4판 숫자론 입문 1.7항의 각주: "log x는 당연히 기저 e에 대한 '네퍼리언' 로그이다. '공통' 로그는 수학적 관심이 없다."

[2] Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd ed.). Academic Press. p. 9. ISBN 0-12-508347-5. 9페이지 발췌

[:1-3] Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.

[:2-4] "Rules, Examples, & Formulas". Logarithm. Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-29.

[5] Burn, R.P. (2001). Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms. Historia Mathematica. pp. 28:1–17.

[6] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 2001). "The number e". The MacTutor History of Mathematics archive. Retrieved 2009-02-02.

[Cajori-7] Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics (5th ed.). AMS Bookstore. p. 152. ISBN 0-8218-2102-4.

[9] ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".

[10] 레온하르트 오일러, Analysisin Infinitorum의 입문.토머스 프리머스부스케, 로잔 1748번지예시 1, 페이지 228; Quoque in: 오페라 옴니아, 시리즈 프리마, 오페라 매스매티카, 볼멘 옥타붐, 튜브너 1922

[11] RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Retrieved 2022-02-27. (3654페이지, 등식 2.6)

[12] 상세한 증명에 대해서는, 예를 들면 다음을 참조해 주세요.조지 B.토마스 주니어와 로스 L.피니, 미적분과 해석 기하학, 제5판, 애디슨-웨슬리 1979, 섹션 6-5 페이지 305-306.

[13] OEIS: A002392

[14] Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982). "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)". Journal of Information Processing. 5 (4): 247–250. Retrieved 2011-03-30.

[15] Ahrendt, Timm (1999). "Fast Computations of the Exponential Function". Stacs 99. Lecture Notes in Computer Science. 1564: 302–312. doi:10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN 978-3-540-65691-3.

[16] Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. 225페이지

[Beebe_2017-17] Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter 10.4. Logarithm near one". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. pp. 290–292. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721. In 1987, Berkeley UNIX 4.3BSD introduced the log1p() function

[Beebe_2002-18] Beebe, Nelson H. F. (2002-07-09). "Computation of expm1 = exp(x)−1" (PDF). 1.00. Salt Lake City, Utah, USA: Department of Mathematics, Center for Scientific Computing, University of Utah. Retrieved 2015-11-02.

[HP48_AUR-19] HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR) (4 ed.). Hewlett-Packard. December 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. Retrieved 2015-09-06.

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[nb 2]

v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 이차 도함수 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러의 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

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