담즙 최적화

담즙 최적화는 한 문제가 다른 문제 안에 내재(내포)되는 특별한 종류의 최적화를 말한다. 외부최적화과제는 일반적으로 상위최적화과제로, 내부최적화과제는 하위최적화과제로 통칭된다. 이러한 문제에는 두 가지 종류의 변수가 포함되는데, 이는 상위 수준 변수와 하위 수준 변수라고 한다.^[1]

문제의 수학적 공식화

담즙 최적화 문제의 일반적인 공식은 다음과 같이 작성할 수 있다.

$\min \limits _{x\in X,y\in Y}\;\;F(x,y)$

대상: $G_{i}(x,y)\leq 0$ , $G_{i}(x,y)\leq 0$ ) $G_{i}(x,y)\leq 0$ $G_{i}(x,y)\leq 0$ {\ $displaystyle G_{i}($ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $,$ y)\ $leq$ 0 $},$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ { $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ , 2 $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots,I\}$ 에 대해

$y\in \arg \min \limits _{z\{z\in Y}\{z}g_{j}(x,z)\leq 0,j\in \{1,2,\ldots,J\}\}}}$

어디에

F,f:R^{n_{x}}\time R^{n_{y}}\to R}

G_{i}g_{j:R^{n_{x}}\time R^{n_{y}}\to R

X\subseteq R^{n_{x}

Y\subseteq R^{n_{y}}.

위의 공식에서 $F$ $F$ 은(는) 상위 수준의 목표 함수를 나타내고 $F$ , $f$ $f$ 은 하위 수준의 목표 함수를 나타낸다 $f$ . 마찬가지로 $x$ $x$ 은(는) 상위 수준의 의사결정 벡터를 나타내고 $x$ $y$ $y$ 은 하위 수준의 의사결정 벡터를 나타낸다 $y$ . $G_{i}$ $G_{i}$ ${\$ 와 $G_i$ $g_{j}$ j ${\$ 는 각각 상한 및 하한 수준의 불평등 구속조건 기능을 나타낸다 $g_{j}$ . 어떤 객관적 기능을 극대화하려면 음을 최소화하는 것과 같다. The formulation above is also capable of representing equality constraints, as these can be easily rewritten in terms of inequality constraints: for instance, $h(x)=0$ can be translated as $\{h(x)\leq 0,\ -h(x)\leq 0\}$ . However, it is usually worthwhile to t평등 제약조건을 별도로 분리하여, 헌신적인 방식으로 보다 효율적으로 다루기 위해, 위의 표현에서, 그것들은 간결함을 위해 생략되었다.

스트라텔베르크 대회

독일 경제학자 하인리히 프레이허르 폰 스트라텔베르그가 1934년 이 계층적 문제를 기술한 마켓 구조와 평형(Marktform und Gleicgewicht)을 펴냄으로써 게임 이론 분야에서 처음으로 빌리벨 최적화가 실현되었다. 그의 책에 묘사된 전략 게임은 리더와 추종자로 구성된 Stackelberg 게임으로 알려지게 되었다. 리더는 보통 Stackelberg 리더로, 팔로워는 Stackelberg 추종자로 통칭된다. 스트라텔베르크 경기에서는 리더가 먼저 움직인 뒤 팔로워가 리더의 행동에 최적으로 반응하는 등 플레이어가 서로 경쟁한다. 이런 종류의 위계적 게임은 본질적으로 비대칭적이어서 리더와 팔로워를 상호 교환할 수 없다. 리더는 최적의 방식으로 대응하기 전에 추종자가 자신의 행동을 관찰한다는 것을 알고 있다. 따라서 리더가 목표를 최적화하려면 추종자의 최적 대응을 예상할 필요가 있다. 이 설정에서 리더의 최적화 문제는 추종자의 최적화 문제에 해당하는 중첩된 최적화 과제를 포함한다. Stackelberg 게임에서는 상위 레벨 최적화 문제를 리더의 문제로, 하위 레벨 최적화 문제를 일반적으로 추종자의 문제로 언급한다.

추종자가 리더의 특정 선택에 대해 둘 이상의 최적 응답을 가지고 있는 경우, 두 가지 가능한 옵션이 있다. 즉, 리더의 객관적 기능에 관한 최고 또는 최악의 추종자의 해결책이 가정된다. 즉, 추종자는 협력적 또는 공격적으로 행동한다고 가정한다. 그 결과 발생하는 담즙 문제를 각각 낙관적인 담즙 프로그래밍 문제 또는 비관적인 담즙 프로그래밍 문제라고 한다.

적용들

담즙 최적화 문제는 많은 실제 문제에서 흔히 발견된다. 여기에는 교통, 경제, 의사결정 과학, 사업, 공학, 환경 경제 등의 분야의 문제가 포함된다. 문헌에서 연구된 실제적인 담즙 문제들 중 몇 가지는 간략하게 논의된다.^[2]

통행료 설정 문제

교통 분야에서는 담즙 최적화가 일반적으로 통행료 설정 문제에서 나타난다. 정부가 운영하는 고속도로망을 생각해 보라. 정부는 고속도로에 대한 최적의 통행료 설정을 선택함으로써 수익을 극대화하고자 한다. 하지만 정부는 고속도로 이용자들의 문제를 고려해야 수익을 극대화할 수 있다. 주어진 조세 구조에서 고속도로 사용자는 고속도로를 이용하는 것과 대체 경로를 이용하는 것 중 하나를 결정함으로써 여행 비용을 최소화하는 그들 자신의 최적화 문제를 해결한다. 이런 상황에서 정부의 문제는 담즙 최적화 문제로 공식화할 필요가 있다. 상위 수준은 정부의 목표와 제약으로 구성되며, 하위 수준은 주어진 조세 구조에 대한 고속도로 사용자의 목표와 제약으로 구성된다. 어느 정도 고속도로를 이용하느냐를 결정하는 하위권 문제만 해결하면 특정 세구조가 창출하는 수익을 파악할 수 있을지 주목된다.

구조 최적화

구조 최적화 문제는 두 가지 수준의 최적화 작업으로 구성되며 일반적으로 평형 구속조건(MPEC)이 있는 수학적 프로그래밍 문제로 언급된다. 이러한 문제에서 상위 수준의 목표는 비용 최소화 또는 무게 최소화를 수반할 수 있으며, 이는 변위, 응력 및 접촉력에 대한 한계에 따라 달라질 수 있다. 상위 수준에서 결정 변수는 대개 구조물의 형상, 재료 선택, 재료 양 등이다. 단, 특정 상위 수준 변수의 집합에 대해 상태 변수(변위, 스트레스 및 접촉력)는 평형만족도 제약조건으로 나타나는 잠재적 에너지 최소화 문제 또는 상위 수준 문제에 대한 하위 수준 최소화 과제를 해결해야만 파악할 수 있다.

방위 애플리케이션

담즙 최적화는 전략적인 공격과 방어력 구조 설계, 전략 폭격기 전력 구조, 임무에 전술 항공기의 할당과 같이 방어에 여러 가지 응용이 있다. 이 경우 공격적 실체는 리더로 간주될 수 있고 이 경우 방어적 실체는 추종자로 간주될 수 있다. 리더가 상대방에게 끼친 피해를 극대화하려면 리더가 팔로워의 반응을 고려해야 비로소 이룰 수 있다. 합리적인 추종자는 리더들의 공격에 항상 최적으로 반응할 것이다. 따라서 리더의 문제는 상위 레벨 최적화 과제로 나타나며, 리더의 행동에 대한 팔로워의 최적 대응은 하위 레벨 최적화 과제를 해결함으로써 결정된다.

솔루션 방법론

담즙 최적화 문제는 해결하기 어렵다. 한 가지 솔루션 방법은 담즙 최적화 문제를 강력한 솔루션 알고리즘이 이용 가능한 최적화 문제로 개편하는 것이다. EMP(Extended Mathematical Programming)는 담즙 최적화 문제에 대한 여러 키워드를 제공하는 수학 프로그래밍 언어의 확장이다. 이러한 주석은 성숙한 해결사 기술이 존재하는 수학 프로그램(MPEC)에 대한 자동 재조정을 촉진한다. EMP는 GAMS 내에서 이용할 수 있다.

한국KT 개혁

특정 담즙 프로그램, 특히 볼록 하한 및 정규성 조건(예: 슬레이터 조건)을 만족하는 프로그램은 카루시-쿤-터커 조건의 하위 문제를 대체하여 한 레벨로 재구성할 수 있다. 이것은 보완성 제약, 즉 엠펙과 같은 단일 수준의 수학 프로그램을 산출한다. 낮은 수준의 문제가 볼록하지 않은 경우, 이 접근방식과 함께 가능한 일련의 담즙 최적화 문제는 국소 최적 해결책과 낮은 수준의 정지 지점에 의해 확대되며, 이는 얻어진 단일 수준의 문제가 원래 담즙 문제의 완화라는 것을 의미한다.

최적가치재조정

표시자

$\phi(x)=\min \limits _{z\in Y}\{f(x,z):g_{j}(x,z)\leq 0,j\in \{1,2,\ldots,J\}\}}}$

소위 최적의 가치함수, 담즙의 문제의 가능한 단단계적 개혁이다.

$\min \limits _{x\in X,y\in Y}\;\;F(x,y)$

대상: $G_{i}(x,y)\leq 0$ , $G_{i}(x,y)\leq 0$ ) $G_{i}(x,y)\leq 0$ $G_{i}(x,y)\leq 0$ {\ $displaystyle G_{i}($ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $,$ y)\ $leq$ 0 $},$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ { $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ , 2 $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots,I\}$ 에 대해

$g_{j}(x,y)\leq 0,j\in \{1,2,\ldots,J\}$

$\displaystyle f(x,y)\leq \phi(x).}$

이는 하위 수준 문제의 모든 제약조건 기능과 객관적 기능이 부드럽더라도 최적값 함수는 일반적으로 다를 수 없기 때문에 원활하지 않은 최적화 문제다.^[3]

진화 담즙 최적화

복잡한 담즙증 문제의 경우, 고전적 방법은 비선형성, 부식성, 비차별성, 비원형성 등과 같은 어려움으로 인해 실패한다. 그러한 상황에서, 진화적 방법은 계산적으로 요구되기는 하지만, 이러한 어려움의 일부를 상쇄하고 대략적인 최적 해결책으로 이끌 수 있는 대안적 도구가 될 수 있다.^[4]

다목적 담즙 최적화

담즙 최적화 문제는 한 수준 또는 두 수준 모두에서 복수의 목표를 갖는 다목적 담즙 최적화 문제로 일반화될 수 있다. 일반적인 다목적 담즙 최적화 문제는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

$\min \limits _{x\in X,y\in Y}\;\;F(x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y),\ldots ,F_{p}(x,y))$ $F_{2}(x,y),\ldots ,F_{p}(x,y)}}$ Stackelberg 게임에서 $\min \limits _{x\in X,y\in Y}\;\;F(x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y),\ldots ,F_{p}(x,y))$ : 리더 문제

대상: $G_{i}(x,y)\leq 0$ , y $G_{i}(x,y)\leq 0$ ) $G_{i}(x,y)\leq 0$ $G_{i}(x,y)\leq 0$ {\ $displaystyle G_{i}(x,$ y)\ $leq$ 0 $G_{i}(x,y)\leq 0$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ { $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ , $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ , $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ $i\in \{1,2,\ldots ,I\}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots,I$

$y\in \arg \min \limits _{z\in Y}\{f(x,z)=(f_{1}(x,z),f_{2}(x,z),\ldots ,f_{q}(x,z)):g_{j}(x,z)\leq 0,j\in \{1,2,\ldots ,J\}\}$ In the Stackelberg games: 추종자 문제

어디에

(\displaystyle F:R^{n_{x}}\time R^{n_{y}}\to R^{p}}}

f:R^{n_{x}}\time R^{n_{y}}\to R^{q}}

G_{i}g_{j:R^{n_{x}}\time R^{n_{y}}\to R

X\subseteq R^{n_{x}

Y\subseteq R^{n_{y}}.

위의 공식에서 $F$ $F$ 은 $p$ $p$ 목표를 $p$ 가진 상위 수준의 목표 벡터를 나타내고 $F$ , $f$ $f$ 은 $q$ $q$ 목표를 $q$ 가진 하위 수준의 목표 벡터를 나타낸다 $f$ . 마찬가지로 $x$ $x$ 은(는) 상위 수준의 의사결정 벡터를 나타내고 $x$ $y$ $y$ 은 하위 수준의 의사결정 벡터를 나타낸다 $y$ . $G_{i}$ $G_{i}$ ${\$ 와 $G_i$ $g_{j}$ j ${\$ 는 각각 상한 및 하한 수준의 불평등 구속조건 기능을 나타낸다 $g_{j}$ . 평등 제약은 담즙 프로그램에서도 존재할 수 있지만 간결함을 위해 생략되었다.

참조

^
* Dempe, Stephan (2002). Foundations of Bilevel Programming. Springer, Boston, MA. doi:10.1007/b101970.
- Vicente, L.N.; Calamai, P.H. (1994). "Bilevel and multilevel programming: A bibliography review". Journal of Global Optimization. 5 (3): 291–306. doi:10.1007/BF01096458.
- Colson, Benoit; Marcotte, Patrice; Savard, Gilles (2005). "Bilevel programming: A survey". 4OR. 3 (2): 87–107. doi:10.1007/s10288-005-0071-0.
^ "Scope: Evolutionary Bilevel Optimization". www.bilevel.org. Retrieved 6 October 2013.
^ Dempe, Stephan; Kalashnikov, Vyacheslav; Prez-Valds, Gerardo A.; Kalashnykova, Nataliya (2015). Bilevel Programming Problems: Theory, Algorithms and Applications to Energy Networks. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-45827-3.
^ 신하, A; 말로, P.; 뎁, K. 담즙 최적화에 대한 검토: 고전적 접근법에서 진화적 접근법 및 적용에 이르기까지. IEEE 진화 연산 거래량: 22, 발행: 2, 2018년 4월

외부 링크

[1] * Dempe, Stephan (2002). Foundations of Bilevel Programming. Springer, Boston, MA. doi:10.1007/b101970.
Vicente, L.N.; Calamai, P.H. (1994). "Bilevel and multilevel programming: A bibliography review". Journal of Global Optimization. 5 (3): 291–306. doi:10.1007/BF01096458.

Colson, Benoit; Marcotte, Patrice; Savard, Gilles (2005). "Bilevel programming: A survey". 4OR. 3 (2): 87–107. doi:10.1007/s10288-005-0071-0.

[2] Vicente, L.N.; Calamai, P.H. (1994). "Bilevel and multilevel programming: A bibliography review". Journal of Global Optimization. 5 (3): 291–306. doi:10.1007/BF01096458.

[3] Colson, Benoit; Marcotte, Patrice; Savard, Gilles (2005). "Bilevel programming: A survey". 4OR. 3 (2): 87–107. doi:10.1007/s10288-005-0071-0.

[2] "Scope: Evolutionary Bilevel Optimization". www.bilevel.org. Retrieved 6 October 2013.

[3] Dempe, Stephan; Kalashnikov, Vyacheslav; Prez-Valds, Gerardo A.; Kalashnykova, Nataliya (2015). Bilevel Programming Problems: Theory, Algorithms and Applications to Energy Networks. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-45827-3.

[4] 신하, A; 말로, P.; 뎁, K. 담즙 최적화에 대한 검토: 고전적 접근법에서 진화적 접근법 및 적용에 이르기까지. IEEE 진화 연산 거래량: 22, 발행: 2, 2018년 4월

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