이산군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
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이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
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수학에서 G와 같은 위상학 집단은 그 안에 한계점이 없으면 이산집단(즉, G의 각 원소에는 그 원소만을 포함하는 이웃이 있다)이라고 한다. 마찬가지로 G 그룹은 그 정체성이 분리된 경우에만 이산형이다.^[1]; 즉, G에서 H의 아공간 위상은 이산 위상이다. 예를 들어, 정수 Z는 R(표준 메트릭 위상)의 이산형 부분군을 형성하지만, 합리적인 숫자 Q는 그렇지 않다. 이산 그룹은 이산 위상이 장착된 위상 그룹 G이다.

모든 그룹에는 개별 위상이 주어질 수 있다. 이산 공간으로부터의 모든 지도는 연속적이기 때문에 이산 그룹들 사이의 위상학적 동형성은 정확히 기초 그룹들 사이의 집단 동형성이다. 따라서, 집단의 범주와 이산집단의 범주 사이에는 이형성이 있다. 따라서 이산형 그룹은 그 기본(비토폴로지) 그룹으로 식별할 수 있다.

위상 그룹이나 Lie 그룹이 유용하게 이산 위상인 '자연 반대'를 부여받는 경우가 있다. 이것은 예를 들어 보어 콤팩트화 이론과 리 그룹의 집단 코호몰로지 이론에서 일어난다.

이산 등각도 그룹은 미터법 공간의 모든 점에 대해 등각도 아래 점의 이미지 세트가 이산 집합이 되도록 등각도 그룹이다. 이산대칭군은 이산대칭군인 이산대칭군이다.

특성.

위상학 집단은 동질적이기 때문에 위상학 집단이 별개인지 여부를 판단하기 위해 한 점만 바라볼 필요가 있다. 특히 위상학 그룹은 그 정체성을 포함하는 싱글톤이 오픈 세트인 경우에만 이산형이다.

이산형 집단은 0차원 리 집단과 같은 것이다(불가산성 이산 집단은 2차 계수가 아니므로 이 공리를 만족시키기 위해 거짓말 집단을 요구하는 작가들은 이러한 집단을 리 집단으로 보지 않는다). 이산형 그룹의 아이덴티티 컴포넌트는 사소한 서브그룹에 불과하지만, 구성 요소 그룹은 그룹 자체에 이형성이 있다.

유한 집합의 하우스도르프 위상만이 이산 위상이기 때문에 유한한 하우스도르프 위상학 그룹은 반드시 이산해야 한다. 그것은 하우스도르프 그룹의 모든 유한한 부분군은 별개라는 것을 따른다.

G의 이산형 부분군 H는 HK = G와 같은 G의 소형 부분군 K가 있으면 cocompact이다.

이산 정상 하위 그룹은 그룹과 국소 이형 집단을 포괄하는 이론에서 중요한 역할을 한다. 연결된 그룹 G의 이산 정상 부분군은 반드시 G의 중심에 있으므로 아벨리안이다.

기타 속성:

• 별개의 모든 집단은 완전히 단절되어 있다.
• 개별 그룹의 모든 하위 그룹은 개별적이다.
• 별개의 집단의 모든 지수는 별개의 것이다.
• 유한한 수의 이산 그룹의 산물은 이산적이다.
• 이산형 집단은 유한한 경우에만 콤팩트하다.
• 모든 분리된 그룹들은 지역적으로 밀집되어 있다.
• Hausdorff 그룹의 모든 이산 하위 그룹은 닫힌다.
• 컴팩트 하우스도르프 그룹의 모든 이산 하위 그룹은 유한하다.

예

• 프리제 그룹과 벽지 그룹은 유클리드 평면의 등위계 그룹의 이산 하위 그룹이다. 벽지 그룹은 cocompact이지만 Frieze 그룹은 그렇지 않다.
• 결정체는 보통 일부 유클리드 공간의 등각류 중 코콤팩트, 이산형 부분군을 의미한다. 그러나 때때로 결정체 그룹은 nilpotent 또는 해결 가능한 Lie 그룹의 cocompact 이산 하위 그룹이 될 수 있다.
• 모든 삼각형 그룹 T는 구(T가 유한할 때), 유클리드 평면(T가 유한 지수의 Z + Z 부분군을 가질 때) 또는 쌍곡면의 이산형 부분군이다.
• 후치안 그룹은, 정의상 쌍곡면의 등축 그룹의 이산 하위 그룹이다.
  • 쌍곡면 상부 반면 모델에 대해 방향성을 보존하고 작용하는 푸치안 그룹은 쌍곡면 상부 반면 모델의 등위를 보존하는 방향 그룹인 Lie 그룹 PSL(2,R)의 이산 하위 그룹이다.
  • 푸치안 그룹은 쌍곡선 평면을 등축적으로 3차원 쌍곡선 공간에 내장하고 평면의 집단 행동을 전체 공간으로 확장함으로써 클라인 그룹의 특수한 사례로 간주되기도 한다.
  • 모듈형 그룹 PSL(2,Z)은 PSL(2,R)의 이산 하위 그룹으로 생각된다. 모듈러 그룹은 PSL(2,R)의 격자이지만 cocompact는 아니다.
• 클라인 그룹은 정의상 쌍곡선 3-공간의 등축계 그룹의 이산형 부분군이다. 여기에는 준후치안 집단이 포함된다.
  • 쌍곡선 3-공간 모델의 위쪽 절반에 대한 방향을 보존하고 작용하는 클라인 그룹은 쌍곡선 3-공간 모델의 위쪽 절반에 해당하는 등위를 보존하는 방향 그룹인 Lie 그룹 PSL(2,C)의 이산 하위그룹이다.
• Lie 그룹의 격자는 소수 공간의 Har 측정치가 유한한 이산형 부분군이다.

참고 항목

• 결정학적 점군
• 일치 부분군
• 산수군
• 기하학적 집단 이론
• 연산군 이론
• 자유 불연속인
• 프리 레귤러 세트

인용구

참조