바이프로덕트

범주 이론과 수학에 대한 그것의 적용에서, 0개의 개체가 있는 범주에서 유한한 개체 집합의 바이프로덕트는 제품이며 결합물이다. 부가성 이전의 범주에서 제품과 공동효과의 개념은 유한한 개체 집합에 대해 일치한다.^[1] 바이프로덕트는 유한 다이렉트 합계의 일반화다.

정의

C를 형태론이 0인 범주로 하자. 물체 A₁, ..., C에서 A의_n 유한(비었을 가능성이 있음) 집합이 주어졌을 때, 이들의 바이프로덕트는 형태론과 함께 C에서 ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ⊕ ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ⋯ ⋯ ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ⊕ ⊕ ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ { { { { { { { { { { ${$ $\1}\oplus \oplus \oplus A_{n}}}}}}}}}}}}$ 이다.

$textstyle p_{k}\!:$ A_ ${1}\oplus \dots \oplus$ \oplus $A_{n}\to A_{k}$ in ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$ C(투영 형태)
${\$ $A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}($ 내장 형태) ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$

만족스러운

${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ = ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$ ${\$ $A_{k},$ ${A_{k$ A $A_{k},$ , ${\displaystyle A_{k}},$ 그리고 $A_{k},$
${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ $k\neq l,$ k ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ = ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0$ $k\neq l,$ $k\neq l,$ l $k\neq l,$ ${\displaystyle A_{k}\to A_{l}},$ ${\displaystyk$ k\ $neq$ l $,}$ 에 $A_{k}\to A_{l},$ 대한 영점 $A_{k}\to A_{l},$ A k → $A_{k}\to A_{l},$

등등

${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ ⋯ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ A n , ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ ) ${\$ \oplus \oplus \oplus \plus \oplus \ $opplus$ \ $plus$ ${\textstyle A_{k},}$ $oplus A_{$ $n}},$ { $k}}},$ ${\textstyle A_{k},}$
${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ⋯ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ , ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ k ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ ) ${\$ oplus $\dots \oplus$ \oplus $\oplus$ \opplus A_{ $n},i_{k}\right)$ 는 ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ A k . ${\\textstylease coproduct이다.$ $}$

If C is preadditive and the first two conditions hold, then each of the last two conditions is equivalent to ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$ when n > 0.^[2] 빈 제품 또는 무효 제품은 항상 범주의 터미널 개체로, 빈 코프로덕트는 항상 범주의 초기 개체로 한다. 따라서 비어 있거나 무효인 바이프로덕트는 항상 0개 객체다.

예

아벨 그룹의 범주에서, 바이프로덕트는 항상 존재하며 직접 합에 의해 주어진다.^[3] 제로 오브젝트는 사소한 그룹이다.

마찬가지로, 바이프로덕트는 필드 위의 벡터 공간의 범주에 존재한다. 바이프로덕트는 다시 직접 합이고, 제로 오브젝트는 사소한 벡터 공간이다.

보다 일반적으로, 바이프로덕트는 링 위에 있는 모듈의 범주에 존재한다.

반면, 바이프로덕트는 그룹의 범주에 존재하지 않는다.^[4] 여기서 제품은 직접제품이지만, 공동제작물은 무료제품이다.

또한, 바이프로덕트는 집합의 범주에 존재하지 않는다. 단, 제품은 데카르트 제품이 주는 반면, 화합물은 분리 유니온에 의해 주어진다. 이 범주는 0개의 객체를 가지고 있지 않다.

블록 행렬 대수학은 행렬의 범주에서 2중 유도체에 의존한다.^[5]

특성.

범주 C의 모든 개체 A와 B 쌍에 대해 바이프로덕트 ${\textstyle A\oplus B}$ B ${\textstyle A\oplus B}$ 이 ${\textstyle A\oplus B}$ (가) 존재하며, C가 0개의 개체를 가지고 있다면, 모든 유한 바이프로덕트가 존재하여 C가 데카르트 단면체 범주 및 공동 카르테시안 단면체 범주가 된다.

If the product ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ and coproduct ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ both exist for some pair of objects A₁, A₂ then there is a unique morphism ${\textstyle f:$ $A_$ }}:

$p_{k}\circle i_{k}=1_{A_{k},\(k=1,2)$
$p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ ${\textstyle k\neq l.}$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ = $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ $p_{l}\f\displaystyle i_{k}=0$ k $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ ${\textstyle k\neq l.}$ ${\textstyle k\neq l.}$ . ${\textstyle k\neq l.}$

${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$ 뒤에 f가 이소모르프인 ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$ 에만 2 ${\$ }}개가 존재하는 ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$ 것이다.

C가 사전 첨가 범주라면 모든 유한 제품은 바이프로덕트, 모든 유한 결합물은 바이프로덕트다. 예를 들어, ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ 1 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ × ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ {\ $textstyle A_{1}\time A_{2$ }}개가 존재하는 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ 경우, 고유한 형태변수 ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ : ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ → ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ ${\$ $A_$

$p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\(k=1,2)$
$p_{l}\circ i_{k}=0$ ${\textstyle k\neq l.}$ $p_{l}\circ i_{k}=0$ $p_{l}\circ i_{k}=0$ ${\textstyle k\neq l.}$ $p_{l}\circ i_{k}=0$ = 0 ${\displaystyle p_{l}\displaystyle i_{$ k}= $0}$ k $p_{l}\circ i_{k}=0$ ${\textstyle k\neq l.}$ l ${\textstyle k\neq l.}$ . ${\textstyle k\neq l.}$

${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ 2 ${\$ 2}} $회$ 도 이제 합체이고, 따라서 바이프로덕트(biproduct)가 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ 되려면, ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ f ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ : ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ → X ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ = ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ , ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ 2 ${\textstyle f_{k}:$ $A_{k}\to X,\ k=1,2}$ for some object ${\textstyle X}$ . Define ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$ Then ${\textstyle f}$ is a morphism from ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ to ${\textstyle X}$ , and ${\textst$ $yle$ f ${\textstyle k=1,2}$ property i_{ $k}=$ $f_{k}}}$ 의 ${\textstyle k=1,2}$ ${\textstyle k=1,2}$ ${\textstyle$ k $=1,2}$ .

이 경우에 우리는 항상

${\textstyle i_{1}\put p_{1}+i_{2}\circle p_{2}=1_{A_{1}\time A_{2}}.}$

첨가제 범주는 모든 유한 양각류가 존재하는 첨가제 범주를 말한다. 특히, 바이프로덕트는 항상 아벨의 범주에 존재한다.

참조

^ 보르쇠스, 4-5
^ Sunders Mac Lane - 194페이지의 워킹 수학자 카테고리.
^ 보르쇠스, 8
^ 보르쇠스, 7
^ H.D. 마케도니아, J.N. 올리베이라, 타이핑 선형대수학: 바이프로덕트 지향 접근법, 컴퓨터 프로그래밍의 과학, 78권, 이슈 11, 2013년 11월 1일, 페이지 2160-2191, ISSN 0167-6423, doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.

Borceux, Francis (2008). Handbook of Categorical Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06122-3.

[1] 보르쇠스, 4-5

[2] Sunders Mac Lane - 194페이지의 워킹 수학자 카테고리.

[3] 보르쇠스, 8

[4] 보르쇠스, 7

[5] H.D. 마케도니아, J.N. 올리베이라, 타이핑 선형대수학: 바이프로덕트 지향 접근법, 컴퓨터 프로그래밍의 과학, 78권, 이슈 11, 2013년 11월 1일, 페이지 2160-2191, ISSN 0167-6423, doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.

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