코프로덕트

범주 이론에서, 조합물 또는 범주형 합계는 집합과 위상학적 공간의 분리 결합, 집단의 자유로운 생산물, 그리고 모듈과 벡터 공간의 직접 합을 예로 포함하는 구성이다.개체군의 조합물은 본질적으로 가족 내의 각 개체가 형태론을 인정하는 "가장 작은" 개체다.범주형 제품에 대한 범주-이론적 이중 개념이며, 이는 정의가 제품과 동일하지만 모든 화살표가 반전됨을 의미한다.이러한 무해해 보이는 명칭과 표기법 변화에도 불구하고, 결합상품은 제품들과 극적으로 다를 수 있고 전형적으로 다르다.

정의

Let ${\displaystyle C}$ be a category and let ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ be objects of ${\displaystyle C.}$ An object is called the coproduct of ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2},}$ written ${\displaystyle X_$${1}\coprod X_{2},}$ or ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ or sometimes simply ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ if there exist morphisms ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\coprod X_{2}}$ and ${\displaystyle i_$${2}:X_{2}\to X_{1}\coprod X_{2}}$ satisfying the following universal property: for any object ${\displaystyle Y}$ and any morphisms ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ and ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ there exists a unique morphism ${\displaystyl$$e f:X_{1}\coprod X_{2}\Y}:$ $f$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$\circ i_{1},$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ ${\displaysty f_{2}=f\circirc i_{2}}}.$ 즉, 다음$$ 다이어그램이 통근된다.

The unique arrow ${\displaystyle f}$ making this diagram commute may be denoted ${\displaystyle f_{1}\coprod f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ or ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].$$}}$ morphism $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$모피즘을$$$$ 주사제나 단조주사라고 할 필요는$$ 없다.

The definition of a coproduct can be extended to an arbitrary family of objects indexed by a set ${\displaystyle J.}$ The coproduct of the family ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ is an object ${\displaystyle X}$ together with a collection of morphisms ${\display$$스타일 i_{j}:$$모든$ $개체$ Y ${\$$displaystyle Y}$과(와$)$ 모피즘 $f{\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle j_{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}$에 $대해$ X_${j}:$${\displaystyle {X\_}_{}}$${j}\to Y}$에는 $f{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circle i_{j}$와 같은$$ ${\displaystyle \mathrm{고유}}$한 $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\\\displaystyle f:X\to$ Y$}$가 존재한다.$}$ 즉$$, 다음 도표는 각 $j{\displaystyle \mathrm{for}}$ J ${\displaystyle j\in J}$에 대해 통근된다$.$

The coproduct ${\displaystyle X}$ of the family ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ is often denoted ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ or ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.$$}$

때때로 형태론 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$을${\displaystyle \underset{}{(}}$를)${\displaystyle \underset{\mathrm{개별}}{}}$ f ${\displaystyle j_{}}$ ${\$}$s$$}$로 표시하여$$ 개별 $f{\displaystyle {}_{}}$ j ${\$s}s}s에 대한 의존성을 나타낼 수 있다$$.

예

세트 카테고리의 조합물은 단순히 지도와 내가 포함 지도인 분리_j 결합이다.직접 생산물과는 달리, 다른 범주의 공동 생산물들은 확실히 집합에 대한 개념에 근거한 것은 아니다. 왜냐하면 조합은 보존 운영과 관련하여 잘 행동하지 않기 때문이다(예를 들어, 두 집단의 결합은 그룹이 될 필요가 없다). 따라서 서로 다른 범주의 공동 생산물은 서로 극적으로 다를 수 있기 때문이다.예를 들어, 프리 제품이라 불리는 그룹의 범주에 있는 공동효과는 상당히 복잡하다.한편, 아벨 그룹(및 벡터 공간의 경우 동등하게)의 범주에서, 다이렉트 합이라고 불리는 코프로덕트는 0이 아닌 항이 미세하게 많은 직접 생산물의 요소들로 구성된다. (따라서 그것은 정밀하게 많은 요인의 경우 직접 생산물과 정확히 일치한다.)

정류 링 R이 주어지면, 정류용 R-알게브라의 범주에 있는 결합재는 텐서 제품이다.(비확정) R-알제브라의 범주에서 조합물은 텐서 대수(연관 알제브라의 자유 제품 참조)의 몫이다.

위상학적 공간의 경우 공동 결합 토폴로지와 분리된 결합이다.즉, 그것은 기초 집합의 분리된 결합이며, 오픈 집합은 각각의 공간에 열려 있는 집합으로, 다소 분명한 의미로 볼 수 있다.호모토피 이론의 기본인 뾰족한 공간의 범주에서, 결합물은 쐐기 합이다(공통 베이스 포인트에 베이스 포인트가 있는 공간의 집합과 결합하는 것에 해당한다).

이 모든 차이에도 불구하고, 여전히 전체의 핵심에는, 분열된 결합이 있다: 아벨리아 집단의 직접적인 합은 벡터 공간과 유사하게, "거의" 분열된 결합에 의해 생성된 결합이다.그룹에 대한 uct는 서로 다른 세트의 두 요소가 통근할 수 없는 유사한 "동일한" 조합의 모든 문자 집합에 의해 생성된다.

포셋 범주의 조합물은 결합 작업이다.

토론

위에 제시된 합금 구조는 실제로 범주 이론상 콜리밋의 특별한 경우다.The coproduct in a category ${\displaystyle C}$ can be defined as the colimit of any functor from a discrete category ${\displaystyle J}$ into ${\displaystyle C}$. Not every family ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ will have a coproduct in general, but if it does, then the coproduct is unique in a st룽 감각: $i{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$j → X ${\$ $스타일$ i_${j}:$$X_{j}\오른쪽$ 화살표 $X}$ 및$$ ${\displaystyle k_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$→ Y ${\displaystyle k_{j}:$$X_{j}\rightarrow Y}$ are two coproducts of the family ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$, then (by the definition of coproducts) there exists a unique isomorphism ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ such that ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ for each ${\displaystyle j$$\in J}$.

어떤 보편적 특성과 마찬가지로, 공동효과는 보편적 형태론이라고 이해할 수 있다.Let ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ be the diagonal functor which assigns to each object ${\displaystyle X}$ the ordered pair ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ and to each morphism ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ the pair ${\displaystyle \left(f$$,$$f\right)}$Then the coproduct ${\displaystyle X+Y}$ in ${\displaystyle C}$ is given by a universal morphism to the functor ${\displaystyle \Delta }$ from the object ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ in ${\displaystyle C\times C}$.

$빈{\displaystyle }$ 집합(즉, 빈 조합물)에 의해 색인화된 조합물은 C ${\displaystyle$ C$}$의 초기 개체와 동일하다$.$

$J{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle J}$과(와$)$ 인덱싱된 패밀리의 모든 컴퍼덕트가 존재할$$ 수 있는 집합인$$ 경우, 컴퍼덕트가 $펑터{\displaystyle {}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}{J}^{}}$ → C$${\$displaysty$C^{$J}\오른쪽 화살표$ C$}$로 전환되도록 호환 가능한 방식으로 제품을 선택할 수 있다$.$$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ 계열의 조합물은 종종 다음과 같이 표시된다$$.

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}}}$

그리고 지도 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 자연 주사라고 알려져$$ 있다.

Letting ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ denote the set of all morphisms from ${\displaystyle U}$ to ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle C}$ (that is, a hom-set in ${\displaystyle C}$), we have a natural isomorphism

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\wrig)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j}Y)}$

형태론의 모든 튜플을 지도화하는 편견에 의해 주어진다.

${\displaystyle (f_{j}_{j\in J}\in \prod_{j\in J}\opername {Hom}(X_{j},Y)}}$

(세트에 있는 제품, 세트의 범주, 이것은 카르테시안 제품이기 때문에 형태론의 튜플이다) 모피즘에 대한

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \좌측(\coprod _{j\in J}X_{j})Y\right.}$

이 지도가 추측이라는 것은 다이어그램의 공통성에서 따온 것이다: 모든 형태론 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 튜플의 결합물이다.

${\displaystyle(f\circ i_{j}_{j}_{j\in J}).}$

그것이 주사라는 것은 그러한 지도들의 고유성을 규정하는 보편적인 건설에서 따온 것이다.이소모형의 자연성도 도표의 결과물이다.따라서 반대편 홈 펑터는 결합재를 제품으로 바꾼다.다른 방법으로, 반대 범주 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ C$^{\operatorname{op}}}$의 functor로 간주되는 홈 펑터는 연속적이다. 한계를 보존한다($C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$의 cooproduct는 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{op}}^{}}$ ${\$ C$^{\op}}}}).$

If ${\displaystyle J}$ is a finite set, say ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$, then the coproduct of objects ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ is often denoted by ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$. Suppose all finite coproductsC에 존재하며, 위와 같이 coproduct functors가 선택되었으며, 0은 빈 coproduct에 해당하는 C의 초기 물체를 의미한다.그리고 나서 우리는 자연 이형성을 갖게 된다.

$[\displaystyle X\oplus(Y\oplus Z)\cong(X\oplus Y)\oplus X\oplus Y\oplus Z}$

$X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

$X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

이러한 특성은 공식적으로 역행성 단면체의 특성과 유사하다. 유한 조합물이 있는 범주는 대칭 단면체 범주의 예다.

If the category has a zero object ${\displaystyle Z}$, then we have a unique morphism ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ (since ${\displaystyle Z}$ is terminal) and thus a morphism ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$. Since ${\displaystyle Z}$ is also initial, we have a canonical i전항과 같이$$ 소모피즘 $Z{\displaystyle }$⊕ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z$\oplus$ Y$\cong Y}$We thus have morphisms ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ and ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$, by which we infer a canonical morphism ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$. This may be extended by induction to a canonical morphism from any finite coproduct to the corre스폰딩 제품이 형태론은 일반적으로 이형성일 필요는 없다; Grp에서는 적절한 인식론인 반면, Set에서는_* 적절한 단형론이다(포인트 집합의 범주).어떤 부가성 이전의 범주에서, 이 형태론은 이형성이며, 대응하는 물체를 바이프로덕트라고 한다.모든 유한한 바이프로덕트를 가진 범주를 반가법 범주라고 한다.

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 인덱싱한 개체의 모든 패밀리가 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에 복사물을 가지고$$ 있는 경우$,$ 복사물은 $펑터{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\오른쪽 화살표$ C$}$로 구성된다$.$ 제품과 마찬가지로 이 펑터는 공변성이라는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 제품
• 한계 및 콜리미트
• 코이퀄라이저
• 직접한도

참조

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.

외부 링크

• 유한 집합 범주에 있는 공동 유도 예제를 생성하는 대화형 웹 페이지조슬린 페인이 썼어