부스필드 현지화

범주 이론에서, 수학의 한 분야인 모델 범주의 (왼쪽) 부스필드 국산화(Bousfield localization)는 모델 구조를 동일하지만 동등성이 더 약한 다른 모델 구조로 대체한다.

부스필드 국산화란 위상학적 공간과 스펙트럼의 국산화라는 맥락에서 이 기법을 처음 도입한 알드리지 부스필드(Aldridge Bousfield)의 이름을 딴 것이다.^[1][2]

부스필드 현지화 모델 카테고리 구조

모델 카테고리 M에서 형태론의 클래스 C를 주어진 왼쪽 부스필드 현지화는 이전과 동일한 카테고리의 새로운 모델 구조다.그것의 등가성, 코파이브와 섬유는 각각 다음과 같다.

• 지방균등성.
• M의 독창적인 조합.

그리고 (일반적으로, 공변 및 약한 동등성이 섬유질을 결정하므로)

• C-로컬 동등성인 M의 조합에 관한 올바른 리프팅 특성을 가진 지도.

이 정의에서 C-로컬 동등성은 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이며, 대략적으로$$ C-로컬 객체에 매핑할 때 차이가 없다.보다 정확하게 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle \mathrm{map}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (Y}$, ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{map}}$ (${\displaystyle X}$, W )${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {map} (Y,W)\to \operatorname {map} (X,W)}$은 어떤 C-local 개체 W에 대해서도 약한 동등성이 요구된다$$.물체 W는 섬유질(M)인 경우 C-local이라고 부른다.

${\displaystyle s^{*}\colon \operatorname {map}(B,W)\to \operatorname {map}(A,W)}(으)로$

C의 모든 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f\colon A\to B}$에 대한 약한 등가성.표기법 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {map}(-,-)$은 일반 모델 범주의 경우(단순 세트보다 반드시 농축된 것은 아님) 경로 구성요소 세트가 M: 호모토피 범주의 형태에 동의하는 특정 단순 집합이다$$.

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {map})(X,Y)=\operatorname {Hom} _{Ho(M)}(X,Y)).}$

M이 단순한 모델 범주(예: 단순 세트 또는 위상 공간)인 경우 위의 "맵"은 M의 파생된 단순화된 매핑 공간으로 간주할 수 있다.

이 설명은 이 모델 구조의 존재에 대해 어떠한 주장도 하지 않는다. 단, 아래를 참조한다.

다달리 오른쪽 부스필드 국산화 개념이 있는데, 그 정의는 섬유(그리고 모든 화살표의 방향을 반대로 하는 것)로 교체를 함으로써 얻어진다.

존재

C가 세트인 경우, 위에서 설명한 바와 같이 왼쪽 부스필드 현지화 모델 구조는 다양한 상황에 존재하는 것으로 알려져 있다.

• M은 적절한 상태로 유지된다(즉, 교정을 따라 약한 동등성을 밀어내는 것은 다시 약한 동등성) 및 결합체
• M은 적절하고 세포가 있다.

모델 카테고리의 조합성 및 세포성, 특히 M의 조합에 대한 강력한 제어.

마찬가지로 M이 올바르고 세포나 결합체, C가 세트라면 오른쪽 부스필드 국산화도 존재한다.

보편적 재산

$형태론$의 등급 W에 대한 지역화 C${\displaystyle }$[ W${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C[W^{-1}]$는 다음과 같은 보편적 특성을 만족시킨다.

• Functor $C{\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ C$\to C[W^{-1}]$가 있어$$ W의 모든 형태변형을 이소모형으로 보낸다.
• 앞에서 언급한 펑터 C → ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C\to$D}에서 고유하게 D 인자의 이형성에 W를 보내는 모든$$ 펑터 $C{\displaystyle }$→ D {\displaystyle C\to D$}$

부스필드 국산화란 모델 카테고리에 적합한 유사 개념으로, 일반 카테고리 이론의 이형성은 약한 동등성으로 대체된다는 점을 유념한다.즉, (왼쪽) 부스필드 $현지화{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C M ${\displaystyle L_{C$}M}이$($가$$) 다음과 같다.

• 왼쪽에서 파생된 펑터가 C의 모든 형태변형을 약한 동등성으로 보내는 왼쪽$$ 퀼렌 펑터 $M{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M\to L_{C}M}$이 있다.
• 왼쪽에서$$ 파생된 펑터가 $C$를 ${\displaystyle {}_{}}$ → L${\displaystyle C_{}}$을 통해 고유하게 약한 동등성 인수에 보내는 왼쪽 Quillen $펑터{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \to }$ N$${\$displaystyle$$M$\$to L_${$C$$}M$ .

예

스펙트럼의 국산화 및 완성

소수 p에서 스펙트럼의 국산화 및 완성은 모두 부스필드 국산화 예로서 국부 스펙트럼이 발생한다.예를 들어 p에서 구체 스펙트럼 S를 국소화하면 국소 구 $){\$를 얻는다$.$

스펙트럼상 안정적인 모델 구조

안정적 호모토피 범주는 안정적인 모델 구조가 부여된 스펙트럼의 호모토피 범주(모델 범주의 관점에서)이다.안정적 모델 구조는 스펙트럼에 대한 수준(또는 투영적) 모델 구조의 왼쪽 부스필드 국산화로서, 약한 동등성(비교)은 모든 수준에서 각각 약한 동등성(비교)인 맵이다.^[3]

dg 범주의 Morita 모델 구조

소형 dg 카테고리의 모리타 모델 구조는 표준 모델 구조(약칭성이 준균형인 모델 구조)의 부스필드 국산화다.

참고 항목

• 위상학적 공간의 국산화

참조

• Hirschhorn, 모델 카테고리 및 해당 지역화, AMS 2002
• p-local과 q-local 스펙트럼 사이의 지도 부재

외부 링크

• nlab의 부스필드 현지화.
• J. Lurie, Chromatic Homotophy 이론 (252x)에서 20번 강의한다.