나비 정리

나비정리는 유클리드 기하학의 고전적 결과로서 다음과 같이 진술할 수 있다.^{[1]: p. 78}

M은 원의 현 PQ의 중간점이 되게 하고, 그 사이로 다른 두 개의 현 AB와 CD가 그려진다; AD와 BC는 이에 상응하여 X와 Y에서 현 PQ를 교차시킨다. 그렇다면 M은 XY의 중간점이다.

증명

정리의 형식적인 증거는 다음과 같다. 직선의 XX′과 XX″을 각각 AM과 DM의 X 지점에서 떨어뜨린다. 마찬가지로 YY′과 YY″을 각각 직선 BM과 CM에 수직인 Y 지점에서 떨어뜨린다.

이후

$\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MY,}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}}}$

$\displaystyle \triangle MXX"\sim \triangle MY",}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX" \over YY"}}}$

$\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY",}$

${\displaystyle {XX' \over YY"}={AX \over CY}}}$

$\displaystyle \triangle DXX"\sim \triangle BYY",}$

${\displaystyle {XX" \over YY'}={DX \over BY}.}$

앞의 방정식과 교차하는 화음 정리로부터 보면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \left({MX \over MY}\오른쪽)^{2}={XX' \over YY'}{XX" \over YY'}}}}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY}}}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY}}}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot(MQ+XM) \over(PM+MY)\cdot(QM-MY)}}}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over(PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

PM = MQ 이후.

그렇게

${\displaystyle {(MX)^{2} \over(MY)^{2}}={{(PM)^{2} \over(PM)^{2} \over(PM)^{2}-(MY)^{2}}}.}$

후자 방정식에서 교차 다중화,

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot(PM)^{2}-(MX)^{2}={2}}={(MY)^{2}-(MX)^{2}\cdot(MY)^{2}^{2}\cdot(MY)^{2}.}$

공통 용어 취소

${\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot(MY)^{2}}}$

결과 방정식의 양쪽에서부터

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot(PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot(PM)^{2}},}$

따라서 MX = MY, MY, PM은 모두 양수이므로 실수는 MX = MY이다.

따라서 M은 XY의 중간점이다.

투영 기하학을 사용하는 것을 포함하여 ^[2]다른 증거들이 존재한다.^[3]

역사

나비 정리를 증명하는 것은 '신사의 수학 동반자' (1803)에서 윌리엄 월리스에 의해 문제로 제기되었다. 1804년에 세 가지 해결책이 발표되었고, 1805년에 윌리엄 허셜 경이 월리스에게 보낸 편지에서 이 문제를 다시 제기하였다. 토마스 스쿠르 목사는 1814년 신사의 일기 또는 수학 저장소에서 같은 질문을 다시 했다.^[4]

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 나비 정리 관련 미디어가 있다.

• '나비 정리
• 더 나은 나비 정리
• 플래닛매트릭스의 나비 정리 증명
• Wolfram 데모 프로젝트인 Jay Wrendorff의 나비 정리.
• Weisstein, Eric W. "Butterfly Theorem". MathWorld.