카메론-마틴 정리

수학에서 카메론-마틴 정리 또는 카메론-마틴 공식(로버트 호튼 캐머런과 W. T. 마틴의 이름)은 카메론-마틴 힐버트 공간의 특정 요소들에 의한 번역에 의해 비에너 측정이 어떻게 변하는지 설명하는 측정 이론의 정리다.

동기

n차원 유클리드 공간 R에ⁿ 대한 가우스 표준 측정 γ은ⁿ 번역-불변환성이 아니다. (사실, 하르의 정리대로 스케일 업에 이르는 독특한 번역 불변 라돈 측정: 여기에서 dx로 표기된 n차원 레베그 측정) 대신, 측정 가능한 부분 집합 A는 가우스 측정이 있다.

${\displaystyle \gamma _{n}(A)={\frac {1}{n/2}}\int_{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{1}2}}\langle x,x\rangele _{\mathbf{{{n}}}}\dx.}}}}}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ n ${\$ x$,x\rangele _{\mathbf {R} ^n}}$은 R의ⁿ 표준 유클리드 도트 제품을 가리킨다$$. 벡터 h ∈ R에ⁿ 의한 A의 번역에 대한 가우스 측도는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\gamma _ᆯ(A-h)&, ={\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}}\int _{A}\exp \leftᆫ\,dx\\[4pt]&, ={\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac{2\langle x,h\rangle_{\mathbf{R}^{n}}-\langle h,h\rangle_{\mathbf{R}^{n}}}{2}}\right)\exp \left({2-{\tfrac{1}.}}\langle x,x\rangele _{\mathbf {R}^{n}\right)\,dx.\end{aigned}}}$

따라서 h를 통한 번역에서 가우스 측정은 마지막 디스플레이에 나타나는 분포 함수에 의해 척도를 측정한다.

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\ h\ _{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

숫자 γ_n(A-h)을 A 집합과 연관시키는 척도는 푸시포워드 척도(T_h)(_∗γⁿ)이다. 여기서 T_h : Rⁿ → R은ⁿ 번역지도 T_h(x) = x + h를 가리킨다. 위의 계산은 원래 가우스 측정에 관한 푸시포워드 조치의 라돈-니코디엠 파생상품이 다음과 같이 제시되어 있음을 보여준다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\ h\ _{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

분리 가능한 바나흐 공간 E에 대한 추상적인 위너 측정 γ도, 여기서 i : H → E는 추상적인 위너 공간이며, 적절한 의미에서의 "가우스적 측정"이기도 하다. 번역하면 어떻게 바뀌나? 밀집된 아공간 i(H) ⊆ E의 요소별 번역만 고려한다면 위의 것과 유사한 공식이 유지된다는 것이 밝혀졌다.

정리명세서

Let i : H → E는 추상적인 Wiener 측정값 abstract : 보렐(E) → [0, 1]이 있는 추상적인 Wiener 공간이다. h ∈ H에 대해서는 T_h : E → E by T_h(x) = x + i(h)를 정의한다. 그 다음_h (T)(_∗γ)는 라돈-니코디엠 파생상품으로 γ에 해당한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}(T_{h})_{*}(\gamma ){d} \d} \gamma }}}}}}}}=\ex\rangle ^{\langle \langle \{\langle }-{1}-{{{{{{{{{{{{{{{{H}}}}}}}}}}}}\rigfrac}\오른쪽}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \langle h,x\angle ^{\\sim }=I(h)(x)}$

팰리-위너 적분을 나타낸다.

카메론-마틴 공식은 카메론-마틴 공간이라 불리는 밀도가 높은 하위 공간 i(H) ⊆ E의 요소별 번역에만 유효하며, E의 임의적 요소별 번역에는 유효하지 않다. 만약 카메론-마틴 공식에 임의의 번역이 포함되었다면, 그것은 다음의 결과와 모순될 것이다.

만약 E가 분리 가능한 바나흐 공간이고 μ는 어떤 번역에서도 자신의 추진력과 동등한 국소적으로 유한한 E에 대한 보렐 측정치라면, E는 유한 치수 또는 μ를 갖는 것이 사소한 (0) 측정치일 것이다. (반항변량 측정 참조)

실제로 v v i(H)가 v ( i(H)인 경우에만 v 요소에 의해 번역되는 준불변형이다. i(H)의 벡터는 때때로 카메론-마틴의 지시로 알려져 있다.

부품별 통합

카메론-마틴 공식은 E에 대한 부품 공식에 의한 통합을 야기한다: F : E → R이 Frechet 파생상품 DF : E → Lin(E; R) = E^∗. 양쪽의 Wiener 측정에 관한 카메론-마틴 공식의 통합은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\ h\ _{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)}$

어떤 t ∈ R에 대해서도. t = 0에서 평가 및 t에 대해 공식적으로 차별화하면 부품 공식에 의한 통합 제공

${\d}표시 스타일 \int_{E}\mathrm {D}F(x)(i(h)\,\matrm {d} \gamma(x)=\int_{E}F(x)\langle h,x\rangele ^{\sim }\matrmatrma(x)\d}}$

벡터 미적분학의 발산 정리와의 비교는 시사한다.

${\displaystyle \mathop {\mathrm {div}} {V_{h}(x)=-\langle h,x\rangele ^{\sim }}}$

여기서 V_h : E → E는 모든 x ∈ E에 대한 상수 "벡터 필드" V_h(x) = i(h)이다. 좀 더 일반적인 벡터장을 고려하고 확률적 통합을 "다이버겐"으로 생각하는 바램은 확률적 과정과 말리아빈 미적분학, 특히 클라크-오콘 정리 및 부품 공식에 의한 관련 통합에 대한 연구로 이어진다.

응용 프로그램.

Cameron-Martin의 정리를 사용하여 q × q 대칭 비 음의 확정 행렬 H(t_j,k)가 연속적이고 조건을 만족하는 것을 확립할 수 있다(Lipser and Shiryev 1977, 페이지 280 참조).

${\displaystyle \int _{0}^{1}\sum _{j,k=1}^{q}H_{j,k(t) \,dt<\infit ,}$

그것은 다음의 q차원 Wiener 과정을 유지한다.

${\displaystyle E\left[\exp \int_{0}^{1}w'(t)H(t)w(t)\,dt\right]=\exp \[{\tfrac {1}{1}2}}\int _{0}^{1}\operatorname {tr}(G(t)\rig),dt\rig),dt\}, 오른쪽],dt\}),$

여기서 G(t)는 매트릭스 값 Riccati 미분 방정식의 고유한 해법인 × q 비양성 유한 행렬이다.

${\displaystyle {\frac {dG(t)}{dt}=2H(t)-G^{2}(t).}$

참고 항목

• 기르사노프 정리

참조