위너 공정

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

수학에서, 위너 과정은 1차원 브라운 운동의 수학적 특성에 대한 연구로 미국의 수학자 노르베르트 위너를 기리기 위해 명명된 실제 가치 있는 연속 시간 확률 과정이다.^[1] 스코틀랜드 식물학자 로버트 브라운이 원래 관찰한 동명의 물리적 과정과 역사적 연관성이 있어 흔히 브라운 운동이라고도 불린다. 가장 잘 알려진 레비 과정 중 하나이며(정지된 독립 증분을 갖는 카들라카그 확률적 과정) 순수 및 응용 수학, 경제학, 양적 금융, 진화 생물학, 물리학에서 자주 발생한다.

Wiener 과정은 순수수학과 응용수학 모두에서 중요한 역할을 한다. 순수 수학에서, 위너 과정은 지속적인 시간 마팅ales 연구를 낳았다. 그것은 더 복잡한 확률적 과정을 설명할 수 있는 중요한 과정이다. 이와 같이, 그것은 확률적 미적분학, 확산 과정 그리고 심지어 잠재 이론에 중요한 역할을 한다. 슈람-루너 진화의 추진 과정이다. 응용수학에서, Wiener 프로세스는 백색 노이즈 가우스 과정의 적분을 나타내기 위해 사용되며, 따라서 전자 공학에서의 소음 모델(브라운 노이즈 참조), 필터링 이론에서의 계측기 오류 및 제어 이론의 장애로 유용하다.

위너 과정은 수학적 과학 전반에 걸쳐 응용이 가능하다. 물리학에서는 포커-플랑크 및 랜지빈 방정식을 통해 브라운 운동, 유체에 매달린 미세 입자의 확산 및 다른 유형의 확산에 대해 연구하는데 사용된다. 또한 양자역학의 엄격한 경로 적분 공식화(Feynman-Kac 공식에 의해, 슈뢰딩거 방정식의 해법은 위너 공정에 의해 표현될 수 있다)와 물리적 우주론에서의 영원한 인플레이션에 대한 연구를 위한 기초를 형성한다. 수학적 재무 이론, 특히 블랙-숄즈 옵션 가격 책정 모델에서도 두드러진다.

위너 공정의 특성

Wener 프로세스 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 다음과 같은 속성으로 특징지어진다$$.^[2]

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$
2. ${\displaystyle W}$ has independent increments: for every ${\displaystyle t>0,}$ the future increments ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$ are independent of the past values ${\displaystyle W_{s}}$, ${\displaystyle s\leq t.}$
3. ${\displaystyle W}$ has Gaussian increments: ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ is normally distributed with mean ${\displaystyle 0}$ and variance ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).$$}$
4. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$에 연속 경로가 있음$$: $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 연속 경로임$.$

공정에 독립적인 증분이 있다는 것은 0 ≤ s₁ < t ≤ s₂ < t>이면_12t1 W - W와_s1 W - W는_t2s2 독립된 랜덤 변수이며 유사한 조건은 n 증분을 유지한다는 것을 의미한다.

Wiener 프로세스의 대체 특성화는 W = 0이고₀ 2차 변동의 [W_t, W_t] = t(W_t² - t도 마팅게일이라는 의미)를 가진 거의 확실한 연속 마팅게일이라고 하는 소위 레비 특성화다.

세 번째 특성 확인은 Wiener 프로세스가 계수가 독립 N(0, 1) 랜덤 변수인 사인 시리즈로서 스펙트럼 표현을 한다는 것이다. 이 표현은 카루넨-로이브 정리를 이용하여 얻을 수 있다.

Wiener 공정의 또 다른 특성은 0 평균, 단위 분산, 델타 상관("흰색") 가우스 공정의 확실한 적분(시간 0에서 시간 t)이다.^[3]

Wiener 프로세스는 무작위 보행의 스케일링 한계 또는 정지 독립 증분을 갖는 다른 이산 시간 확률적 공정으로 구성될 수 있다. 이것은 돈스커의 정리라고 알려져 있다. 무작위 보행과 마찬가지로 위너 과정은 1차원이나 2차원(원지의 어떤 고정된 이웃으로 거의 확실히 무한히 자주 되돌아온다는 의미)에서 재발하는 반면, 3차원 이상에서는 재발하지 않는다.^[4] 무작위 보행과는 달리 스케일 불변성이며, 그 의미는 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$

0이 아닌 상수 α에 대한 Wiener 공정이다. Wiener 측정은 연속 함수 g의 공간에 대한 확률 법칙이며, Wiener 프로세스에 의해 유도된 g(0) = 0이다. Wiener 측정에 기초한 적분은 Wiener 적분이라고 할 수 있다.

무작위 보행의 한계로서 Wiener 프로세스

$\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle \xi \{1},\xi _{2},\ldots }$을(를) 평균 0과 분산 1을 갖는 i.i.d. 랜덤 변수가 되도록$$ 한다. 각 n에 대해 연속 시간 확률적 프로세스를 정의한다.

${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\\sqrt{n}}\sum \limits _{1\1\1\leq k\leq\leq \lploor nt\}\ci _{k},\qquad t\in [0,1]}$

이것은 무작위 스텝 함수다. $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 증분은 ${\displaystyle {independent}_{}}$ k ${\$이 독립적이기$$ 때문에 독립적이다$$. large n의 경우 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$- ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$은(는) 중심 한계 정리 기준으로$$ $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ t${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle N (0,t-s)$에 가깝다$$. 돈스커의 정리는 $n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to \infit$ $\},$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$가 위너 공정에 접근함에 따라 브라운$$ 운동의 편재성을 설명한다고 주장한다.^[5]

1차원 Wiener 공정의 특성

기본 속성

일정한 시간 t에서 평균 = 0, 분산 = t를 갖는 정규 분포를 따르는 무조건적인 확률 밀도 함수:

${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}e^{-x^{2}/(2t)}.}$

기대치는 0:

$[\displaystyle E[W_{t}]=0.}$

계산식을 사용하는 분산은 t:

${\displaystyle \operatorname {Var}(W_{t})=t.}$

이러한 결과는 증분이 0을 중심으로 하는 정규 분포를 갖는다는 정의에서 즉시 나타난다. 그러므로

${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t)}$

공분산 및 상관 관계

공분산 및 상관 관계($$여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\leq$ t$}):$

${\displaystyle \operatorname {cov}(W_{s},W_{t})=s,}$

${\displaystyle \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.}$

이러한 결과는 겹치지 않는 증분이 독립적이라는 정의에서 따르며, 그 중 상관관계가 없는 속성만 사용된다. $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ .

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\오른쪽].}$

대체

${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}1}:{1})+W_{t_{1}}$

도착지:

${\displaystyle {\begin}\operatorname {E}[W_{t_{1}:{1}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[]W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1})++W_{t_{1})\오른쪽]\\&=\operatorname {E} \left[왼쪽]W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}}\오른쪽]+\operatorname {E} \left[]W_{t_{1}^{2}\오른쪽].\end{정렬}}}$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$= W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}{{}_{}}_{}}$- W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0{}_{}}_{}}$ ${\$}:{1$}=W_{1}-{1$}-$W_{0}}$ 및$$ $W{\displaystyle {}_{}}$ 2 -${\displaystyle {{}_{}}_{}{{W\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$}}-$W_{t_{1}}}$는 독립적이므로$$,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[왼쪽]W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}}\right]=\operatorname {E}[W_{t_{1}]\cdot \operatorname {E}[W_{2}}-{t_{1}]=0.}$

그러므로

${\displaystyle \operatorname {cov}(W_{t_{1},W_{t_{2})=\operatorname {E}\left[]W_{t_{1}^{2}\오른쪽]=t_{1}.}$

시뮬레이션에₂ 유용한 코롤러리는 t₁ < t:

${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}+{\sqrt{t_{2}-t_{1}}\cdot Z}$

여기서 Z는 독립적인 표준 정규 변수다.

위너 표현

비너(1923년)도 무작위 푸리에 시리즈라는 측면에서 브라운의 경로를 표현했다. ${\displaystyle {\xi n}_{}}$ ${\$이(가) 평균 0과 분산 1을 갖는 독립 가우스 변수인 경우

${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt{2}}\sum _{n=1}^{\inflac {\pint}{\pin}}}}}$

그리고

${\displaystyle W_{t}={\sqrt{2}}\sum _{n=1}^{n}\xi _{n}{n}{\pin \left(n-{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)}}}{\pi}}}}}}}{{{n-{{{{{{1}}}}pi}pi}}}}pi}}}}}}}}}}}}}}}pi}}}}}}pi}pi.$

$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$에 대한 브라운 운동을 나타낸다$.$ 크기 조정 과정

${\displaystyle {\sqrt{c}\,W\왼쪽({\frac {t}{c}\오른쪽)}$

$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ c ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,c]}($cf)에 대한 브라운 운동이다. 카루넨-로이브 정리).

실행 최대값

최대 가동률의 공동 분포

${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}}}$

그리고_t W는

${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2m-w)}{t{\sqrt{2\pi t}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}:{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {t_{}}_{}}$ ${\$의 무조건적인 분포를 얻으려면$$-mit < w ≤ m :

${\displaystyle {\begin}f_{M_{t}}(m)&=\int_{-\int_{-\int_{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$

반 정규 분포의 확률 밀도 함수 기대는^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 W ${\displaystyle t_{}}$ ${\$을(를) 갖는 경우$,$ [0 , t ] {\$displaystyle [0,t]}($cf)$$에서 최대값의 조건부 확률 분포를 계산할 수 있다. Wiener 확률적 공정의 극한 지점의 확률 분포). 알려진 값 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$$t}$에 의해 조건화된 최대 값의 누적 확률 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \,F_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}}=\max_{0\leq s\leq t}W(s)\leq mid W(t)=\leq modd W(t)=W_{t}\오른쪽)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t}}}{t}}{t}}}{{t}}}{{t}}}\}\m>\max(0,W_{t}})}$

자기 유사성

브라운 스케일링

c > 0마다 프로세스 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ( (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$/${\displaystyle c\sqrt{}}$ ) ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$$W_{ct}}$는 또 다른 Wiener 과정이다$$.

시간역전

0 ≤ t ≤ 1에 대한$$ ${\displaystyle V_{}}$t = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- t ${\$ 공정은 0 ≤ t ≤ 1에 대해_t W처럼 분포한다.

시간 역행

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle t}$ W ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 공정은 또 다른 Wiener 공정이다$$.

브라운 마팅칼레스의 일종

다항식 p(x, t)가 PDE를 만족하는 경우

${\displaystyle \left\frac {\reft t}+{\frac {1}{1}:{2}}:{\frac {\fract ^{\2}}:{\frac x^{2}}}\오른쪽)p(x,t)=0}$

그 다음 확률적 과정

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t}t)}$

마팅게일이다.

예: ${\displaystyle W}$ t ${\displaystyle {}_{}^{}}$- t ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$는 마팅게일로, [0, t]에서 W의 2차 변이가 t와 같다는 것을 보여준다. W가 (-c, c)에서 첫 번째 출구의 예상 시간은² c와 같다.

보다 일반적으로 모든 다항 p(x, t)에 대해 다음과 같은 확률적 과정이 마팅게일이다.

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t}t)-\int _{0}^{t}a(W_{s}s)\,\mathrm {d}s,}$

여기서 a는 다항식이다.

${\displaystyle a(x,t)=\left\frac{\precent t}{\preck{1}{1}{1}:{\frac{1}{1}2}}:{\frac{\pecific x^{2}}}\오른쪽)p(x,t).}$

예: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- ${\displaystyle t{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},}$ $a$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= 4 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaysty a(x,t)=4x^{2$};} 프로세스$$$:}$

${\displaystyle (W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int_{0}^{t}{W_{s}^{2}\,\mathrm {d}s}$

마팅게일(Martingale)은 [0, t]에서$$ 마팅게일 $W{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- t ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$의 2차 변형이 다음과 같음을 보여준다.

$_{0}^{t}{W_{s}^{2}\,\mathrm {d}s.}$

다항식보다 일반적인 함수 p(xa, t)에 대해서는 로컬 마팅ales를 참조하십시오.

샘플 경로의 일부 속성

이러한 속성과 함께 모든 기능들의 집합은 완전한 Wiener 측정이다. 즉, Wiener 프로세스의 경로(샘플 함수)는 거의 확실히 이러한 모든 속성을 가지고 있다.

질적 특성

• 매 > > 0에 대해 함수 w는 (0, on)에 (강력) 양의 값과 (강력) 음의 값을 모두 취한다.
• w 기능은 어디에서나 계속되지만 어디에서도 다를 수 있다(Weierstrass 함수처럼).
• 함수 w의 로컬 최대 점수는 계산 가능한 고밀도 집합이며, 최대 값은 쌍으로 서로 다르며, 각 로컬 최대 점수는 다음 뜻으로 예리하다: w가 t에서 로컬 최대값을 갖는 경우

${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {w(s)-w(t)}{{s-t }}\to \inflt.}$

지역 미니마도 마찬가지다.

• 함수 w는 국소 증가 지점이 없다. 즉, t > 0은 (0, t)의 일부 for에 대해 다음을 만족한다. 첫째, w(s) w w(t), 둘째(t - ε, t)의 모든 s에 대해 w(s) t w(t) w(t, t + ε)를 만족한다. (국소증가는 w가 증가하는 조건(t - -, t + ε)보다 약한 조건이다.) 지역적 감소도 마찬가지다.
• 함수 w는 매 간격마다 무한 변동을 가진다.
• [0,t] 이상의 w의 2차 변동은 t이다.
• 함수 w의 0은 어디에서도 볼 수 없는 조밀한 Lebesgue 측정치 0과 Hausdorff 치수 1/2(따라서, 계산할 수 없음)의 완전 집합이다.

양적 특성

반복 로그의 법칙

${\displaystyle \limsup _{t\to +\inflit }{\frac {w(t)}{\sqrt {2t\log t}}}=1,\text{texture}}}}.}$

연속성계수

국부적 연속성 계수:

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {w(\varepsilon )}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{resure}}}.}$

전지구적 연속성 계수(Lévy):

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac { w(s)-w(t) }{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$

현지 시간

지도 w(pushforward measure) 아래의 [0, t]에 대한 르베그 측정의 이미지는 밀도_t L(·)을 가진다. 그러므로

${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w)\,\mathrm {d}s=\int _{-\nf(x)L_{t(x)\,\mathrm {d}x}x}$

광범위한 기능 f(계속: 모든 연속 기능, 모든 국소 통합 기능, 모든 비 음의 측정 가능한 기능)에 대해. 밀도 L은_t (더 정확히 말하면, 선택될 수 있고 선택될 것이다) 연속적이다. 숫자_t L(x)은 [0, t]에서 w의 x에서 local time이라고 불린다. 각각 [0, t]에서 a와 b가 최소값이고 w의 최대값인 구간(a, b)의 모든 x에 대해 엄격히 긍정적이다. (이 구간을 벗어난 x의 경우 현지 시간은 명백히 사라진다.) 두 변수 x와 t의 함수로 처리되며, 현지 시간은 여전히 연속적이다. t의 함수(x가 고정되어 있는 동안)로 처리되는 로컬 시간은 w의 0 집합에 대한 비원자 측정에 해당하는 단수함수다.

이러한 연속성 속성은 상당히 비독점적이다. 원활한 기능을 위해 (푸시포워드 측정의 밀도로) 현지 시간도 정의할 수 있다고 간주한다. 그러나 주어진 기능이 단조롭지 않은 한 밀도는 불연속적이다. 즉, 함수의 선한 행동과 현지 시간의 선한 행동 사이에 갈등이 있다. 이런 의미에서 위너 공정의 현지 시간의 연속성은 궤도의 부드러움이 아닌 또 하나의 발현이다.

정보율

오차 거리 제곱에 관한 Wiener 프로세스의 정보 비율(즉, 2차 비율 분산 기능)은 다음과 같다.

${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi^{2}\ln 2D}\약 0.29D^{-1}.}$

Therefore, it is impossible to encode ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ using a binary code of less than ${\displaystyle TR(D)}$ bits and recover it with expected mean squared error less than ${\displaystyle D}$. On the other hand, for any ${\displaystyle \varepsilon >0}$, there exists ${\displaystyle T}$ large enough and a binary code of no more than ${\displaystyle 2^{TR(D)}}$ distinct elements such that the expected mean squared error in recovering ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ from this code is at most ${\displaystyle D-\va$$repsilon }$.

위너 공정을 먼저 시료 채취하지 않고는 인코딩이 불가능한 경우가 많다. 이러한 표본을 나타내기 위해 이진 코드를 적용하기 전에$$ Wiener 공정을 ${\displaystyle T_{}}$ s$${\$displaystyle T_{s}$ 간격으로 샘플링하는 경우, 코드 $레이트{\displaystyle }$ R${\displaystyle (T_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle$ R$(T_{s}D)$과 기대 평균 제곱 오차 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}($연속 시간 Wiener 공정 추정 시) 사이의 최적 트레이드오프)파라메트릭 표현을 줄이다.

${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$

${\displaystyle D_{\theta}={\frac {T_{s}}{6}}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \}d\varphi ,}$

where ${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$ and ${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$. In particular, ${\displaystyle T_{s}/6}$ is the mean squared error associated only with the sampling operation (인코딩 없이).

관련 프로세스

에 의해 정의된 확률적 프로세스

${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$

표류 μ 및 최소 분산을 갖는² Wiener 공정이라고 한다. 이 공정들은 연속적인 레비 공정을^{[clarification needed]} 소모한다.

[0, 1] 시간 간격의 무작위 프로세스 두 개가 나타나는데, 대략적으로 말하면, [0,1]의 양쪽 끝에서 Wiener 프로세스가 사라지도록 조절할 때 나타난다. 더 이상의 조건화 없이, 이 과정은 [0, 1]에서 양수 값과 음수 값을 모두 취하며, 브라운 브리지라고 불린다. 또한 (0, 1)에 긍정적인 상태를 유지하기 위해 이 과정을 브라운 여행이라고 한다.^[9] 두 경우 모두 P(B) = P(A ∩ B) = P(A = B)/P(B) 공식은 P(B) = 0일 때 적용되지 않기 때문에 엄격한 치료는 제한 절차를 수반한다.

기하학적 브라운 운동은 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+\sigma W_{t}}}.}$

주식의 가치 등 결코 부정적 가치를 떠맡을 수 없는 공정을 모형화하는 데 쓰이는 확률적 공정이다.

확률적 과정

${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}}$

오른슈타인처럼 분포되어 있다.$parameters{\displaystyle }$ =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta =1},$${\displaystyle \mathrm{\mu }}$= 0 ${\displaystyle \mu =0},$$\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$인 Uhlenbeck 공정$.$

위너 공정에 의해 단일점 x > 0을 치는 시간은 레비 분포를 갖는 랜덤 변수다. 이러한 임의 변수의 집합(모든 양의 숫자 x로 색인화됨)은 레비 공정을 좌연속적으로 수정하는 것이다. 이 프로세스의 오른쪽 연속 수정은 닫힌 간격에서 첫 번째 출구 시간[0, x]에 의해 주어진다.

Brownian 운동의 현지 시간 L = (L^x_t)_{x ∈ R, t ≥ 0}은 프로세스가 x 지점에서 소비하는 시간을 기술한다. 공식적으로

${\displaystyle L^{x}(t)=\int_{0}^{t}\delta(x-B_{t})\,ds}$

여기서 Δ는 디락 델타 함수다. 현지 시간의 행동은 Ray-Knight 이론에 의해 특징지어진다.

브라우니안마틴과목

A 되는 이벤트를 위너 과정(좀 더 공식적으로:기능의 공간에 나타난 일련 위너 조치에 관해서 주목할 만한)과 관련된, 그리고 특정은 위너 과정의 시간 간격[0t]에 Xt은 조건부 확률(좀 더 공식적으로:궤도의 집합의 위너 치수를 재 봅시다 지정된 부분 traj을 보유한 형태입니다.e[0, t]의 ctory는 A)에 속한다. 그렇다면 공정 X는_t 연속 마팅게일이다. 그것의 마팅게일 특성은 정의에서 바로 따오지만, 그것의 지속성은 매우 특별한 사실이며, 모든 브라운 마팅게일은 연속적이라는 일반적인 정리의 특별한 경우다. 브라운 마팅게일은 정의상 브라운 여과에 적응한 마팅게일이고, 브라운 여과물은 정의상 위너 공정에 의해 생성되는 여과물이다.

통합 브라운 운동

Wiener 프로세스의 시간적 통합

${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W\,ds}$

통합 브라운 운동 또는 통합 위너 과정이라고 불린다. 많은 애플리케이션에서 발생하며, Wiener 프로세스의 공분산이 t${\displaystyle }t{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ =${\displaystyle min(t}$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle t=\min(t,s)}$이라는 사실을 사용하여 계산된 분포 N(0, t³/3)을 가질 수 있다$.$^[10][11]

정의한 프로세스의 일반적인 경우

${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f's(s)W\,ds=\int _{0}^{t(t)-f(s)\,dW_{s}}}$

그런 다음 > ${\displaystyle a>0}$에 대해

${\displaystyle \operatorname {Var}(V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$

${\displaystyle \operatorname {cov}(V_{f}(t+a),V_{f}(t)=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s)\,ds}$

사실 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle V_{f}(t)}$은(는) 항상 0의 평균 정규 랜덤 변수다$$. $이렇게{\displaystyle {}_{}}$ 하면 V ${\displaystyle f_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$+ a${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle V_{f}(t+a)}$을(를) 사용하여 V$$ ${\displaystyle f_{}}$${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) {\$displaystyle V_{$f}($t)}$을(를) 시뮬레이션할 수 있다.

${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$

여기서 Z는 표준 정규 변수로서

${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov}(V_{f}(t+a),V_{f}(t)}{\operatorname {Var}(V_{f}(t))}}}$

${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var}(V_{f}(t+a)--A^{2}\operatorname {Var}(V_{f})(t)}$

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle V_{f}(t)=$의 경우$W^{(-1)}(t)}$은 $f{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle f(t)=t$}에 해당한다$.$ 이 모든$$ 결과는 It results isometry의 직접적인 결과로 볼 수 있다$.$ n-time-integrated Wiener 공정은 분산 $t{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2n}}{}}$+ 1 (${\displaystyle {\frac{{}^{}}{}}^{}\frac{}{}{}^{}}$n !${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$)${\displaystyle {\frac{}{}}^{\mathrm{}}}$ ${\$ {$t}{2n+1}}\좌측({\frac$ {$t^{$t^{n}}}{n$){$$n$!$}}}\오른쪽)^{2$ 반복적인 통합을 위해 코우치 공식에 의해 주어진다.

시간 변화

모든 연속 마팅게일(원점에서 출발)은 시간 변화된 Wiener 과정이다.

예: 2W_t = V(4t) 여기서 V는 또 다른 Wiener 프로세스(W와 다르지만 W와 같이 분포함)이다.

예. ${\displaystyle {}_{}^{}W}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- t${\displaystyle }$= ${\displaystyle V_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$여기$서 A${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle 4{}_{0\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s{}_{}^{}\mathrm{}}${\$displaystyle$ A$(t)=4\int _{0}^{$0}{t}{$t$}$}{W_{s}^{2}\,\mathrm {d}s}$과(와) V는 또 다른 Wiener 프로세스다.

일반적으로 M이 연속적인 $마팅게일$이라면 ${\displaystyle M_{}}$t - ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {}_A}$( ${\displaystyle t_{}}$ )$${\$displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}}},$ 여기서 A(t)는 [0, t]에서 M의 2차 변동이고 V는 Wiener 공정이다.

코롤라리. (두브의 마팅게일 융합 이론도 참조) M을_t 지속적인 마팅게일이 되게 하고,

${\displaystyle M_{\infit }^{-}=\liminf _{t\to \infit \infit }M_{t}}}}$

${\displaystyle M_{\infit }^{+}=\limsup _{t\to \infit }M_{t}.}$

그러면 다음 두 가지 사례만 가능하다.

${\displaystyle -\fty <M_{\ft }^{-}=M_{\ft }^{+}<+\ft ,}$

${\displaystyle -\infit =M_{\infit }^{-}<M_{\infit }^{+}=+\infit ;}$

other cases (such as ${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$ etc.) are of probability 0.

특히 음이 아닌 연속 마팅게일은 거의 확실히 한계가 있다(t → ∞).

마팅 판매에 대해 명시된 모든 사항(이 하위섹션에서)은 지역 마팅 판매에도 적용된다.

척도변경

광범위한 종류의 연속 세미마팅ales(특히, 확산 과정의)는 시간 변화와 측정의 변화를 통한 Wiener 프로세스와 관련이 있다.

이 사실을 이용하여 위너 공정에 대해 위에서 기술한 질적 성질을 다양한 종류의 연속 반마르팅ales로 일반화할 수 있다.^[12][13]

복합 값 Wiener 프로세스

복합 값 Wiener 프로세스는 $X{\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ = ${\displaystyle X_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{$t}}+{$t}}$ 형식의 복합 값 무작위 프로세스로 정의할 수 있으며, $여기$서 X ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ $X_{t}$ 및 $Y\_${t}}는 독립적인 Wiener 프로세스(실제 값)이다$$.^[14]

자기 유사성

브라운 스케일링, 시간 반전, 시간 반전: 실제 가치 사례에서와 동일하다.

회전 불변도: ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c =1}$과 $같은{\displaystyle }$ 모든 복잡한 $수{\displaystyle }$ c${\$displaystyle c =1}에 대해 공정$$ c ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은 또 다른 복합 값 Wiener 공정이다$$.

시간 변화

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 전체 함수인 경우 프로세스 $f{\displaystyle (\mathrm{Z}}$ ${\displaystyle t_{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(Z_{t}-f(0)}$은 시간 변경 복합 값 Wiener 프로세스다$$.

예: $Z{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$( X ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$)${\displaystyle }$+ 2 ${\displaystyle \mathrm{X}}$ ${\displaystyle t_{}}$ Y ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle U_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle {}_{}}$) ${\$Y_{t}^{$2}+2X_{t}$$Y_{t}i=U_{A(t)}}}}}:$ 여기서$$

${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t} Z_{s} ^{2}\\\mathrm {d}s}$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$은(는) 또 다른 복합 가치의 Wiener 과정이다$$.

실제 가치의 경우와 대조적으로, 복합 가치의 마팅게일은 일반적으로 시간 변화된 복합 가치의 위너 과정이 아니다. 예를 들어 마팅게일 2 ${\displaystyle {}_{}}$ t +${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(여기서 ${\displaystyle X_{}}$ t ${\$ ${\displaystyle Y_{}}$ t ${\$는 전과 같이 독립적인 Wiener 공정이다$$.)

참고 항목

메모들

참조

• Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4. (온라인으로도 사용 가능: PDF 파일)
• Stark, Henry; Woods, John (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd ed.). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Continuous martingales and Brownian motion (Second ed.). Springer-Verlag.

외부 링크

• 취학 아동을 위한 기사
• 브라운 모션, "다양한 우주와 굴곡"
• 비디오로 브라운의 원래 관찰에 대한 역사, 식물학 및 물리학에 대해 논의
• "아인슈타인의 예언은 마침내 1세기 후에 목격되었다.": 브라운 운동 속도를 관찰하기 위한 시험
• "Interactive Web Application: Stochastic Processes used in Quantitative Finance".