칼레슨의 정리

칼레슨의 정리는 레나트 칼레슨(1966년)이 입증한 푸리에 시리즈 L² 함수의 거의 모든 곳에서 포인트와이즈(레베그)를 확립하는 수학적인 분석의 근본적인 결과물이다.이 명칭은 리차드 헌트(1968년)가 p ∈ (1, ∞) (Carleson–이라고도 함)에 대해^p L 함수로 결과를 확장한 것을 가리키는 데에도 자주 사용된다.헌트 정리) 및 푸리에 통합의 거의 모든 곳에서 점근법적으로 유사한 결과들이 나타나며, 이는 전이 방법에 의해 동등하다고 보여질 수 있다.

정리명세서

그 결과는 Hunt에 의해 연장된 형태로 다음과 같이 공식적으로 진술할 수 있다.

일부 p ∈ (1, ∞), Fourier 계수 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\hat{f}(n)}$에 대해^p periodic을 L 주기 함수로 한다$.$ 그런 다음

${\displaystyle \lim _{N\오른쪽 화살표 \infit }\sum _{n \leq N}{\f}(n)^{inx}=f(x)}$

거의 모든 x에 대해

푸리에 통합에 대한 유사한 결과는 다음과 같이 공식적으로 진술할 수 있다.

일부 p ∈ (1, 2)의 경우 ƒ ∈ L^p(R)에 푸리에 변환 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ($){\displaystyle {\f}(\xi )}$을(를) 두십시오$.$그러면

${\displaystyle \lim_{R\rightarrow \infit }\int_{\xi \leq R}{\f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$

거의 모든 X X X R에 대해.

역사

19세기 초 푸리에 자신이 직접 질문한 푸리에 시리즈에 대한 근본적인 질문은 연속함수의 푸리에 시리즈가 그 기능에 점근적으로 수렴되는가 하는 것이다.

연속성 가정을 약간 강화하면 푸리에 시리즈가 어디에서나 수렴한다는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.예를 들어, 함수의 변동에 한계가 있는 경우, 함수의 푸리에 시리즈는 함수의 로컬 평균으로 어디에서나 수렴된다.특히, 기능이 지속적으로 다를 경우, 그것의 푸리에 시리즈는 어디에서나 그 기능으로 수렴된다.이것은 디리클레에 의해 증명되었는데, 디리클레는 곧 자신의 결과를 모든 연속적인 기능을 커버할 수 있도록 확장할 수 있을 것이라는 믿음을 표현했다.모든 곳에서 융합을 얻는 또 다른 방법은 합계 방법을 바꾸는 것이다.예를 들어, Fejér의 정리는 만약 어떤 것이 세사로 합성에 의한 통상적인 합산을 대체한다면, 어떤 연속함수의 푸리에 시리즈는 그 함수에 균일하게 수렴된다는 것을 보여준다.또한 L² 함수의 푸리에 시리즈가 L² 규범에서 그것에 수렴한다는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

디리클레의 결과 이후, 디리클레트, 리만, 위어스트라스, 데데킨드를 포함한 몇몇 전문가들은 어떤 연속적인 기능의 푸리에 시리즈가 모든 곳에 모일 것이라고 그들의 믿음을 말했다.이는 1876년 푸리에 시리즈가 한 지점에서 분기하는 연속 기능이 있다는 것을 보여준 폴 뒤 보이스 레이몬드에 의해 반증되었다.

L 기능을² 위한 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에 융합된 것은 N. N. Luzin(1915년)에 의해 가정되었고, 문제는 Luzin의 추측으로 알려져 있었다(1966년 칼레슨(1966)에 의해 증명되기 전까지).콜모고로프(1923년)는 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 분산되는 그런 기능(1926년 약간 개선되어 사방으로 분산되는 것)을 발견함으로써 Carleson의 L¹ 결과의 아날로그가 거짓임을 보여주었다.칼레슨의 결과 이전에 L에서^p 함수의 푸리에 시리즈 부분 합계에_n 대해 가장 잘 알려진 추정치는 다음과 같았다.

${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}{\text{ 거의 모든 곳에서},\,}$

콜모고로프-세이버스토프-플레스너가 p = 2를, G. H. 하디가 p = 1을, 리틀우드-팔리가 p > 1을 증명했다(Zygmund 2002).이 결과는 수십 년 동안 개선되지 않아 일부 전문가들은 이것이 최선의 방법이며 루진의 추측이 거짓이라고 의심하게 되었다.L에서의¹ 콜모고로프의 백작샘플은 어떤 간격에서도 한이 맺혀 있지 않았지만, 연속 백작샘플이 발견되는 것은 시간문제라고 생각되었다.칼레손은 라우센&스카우(2007)와의 인터뷰에서 "지속적인 counterrexample을 찾으려는 노력에서 출발했고 어느 순간엔가 construction을 할 수 있는 방법이 있다고 생각했지만 결국 자신의 접근법이 먹힐 수 없다는 것을 깨달았다"고 말했다.그리고 나서 그는 대신 루진의 추측을 증명하려고 노력했다. 그의 백작 샘플의 실패가 그것이 아마도 사실일 것이라는 것을 그에게 확신시켰기 때문이다.

칼레슨의 원본 증명서는 유난히 읽기 어려우며, 비록 몇몇 저자들이 논쟁을 단순화시켰지만, 그의 정리에 대한 쉬운 증거는 아직 없다.원본 논문 카를레손(1966)의 엑스포에는 카하네(1995), 모조치(1971), 요르스보엔 메일브로(1982), 아리아스 데 레이나(2002) 등이 있다.찰스 페퍼먼(1973)은 최대 운영자를 경계로 진행했던 헌트의 연장선상에 대한 새로운 증거를 발표했다.이는 결국 레이시(2004)에서 더 자세히 설명한 마이클 레이시와 크리스토프 티에레(2000년)의² L 결과의 훨씬 단순한 증거에 영감을 주었다.프렘린(2003)과 그라파코스(2009) 하프텍스트 오류: 대상 없음: CITREFG라파코스2009(도움말)도 칼레슨의 정리를 증명한다.

Katznelson(1966)은 어떤 측정값 0 집합에 대해서도 푸리에 시리즈가 집합의 모든 지점(아마도 다른 곳)에서 분산되는 연속 주기 함수가 있다는 것을 보여주었다.칼레슨의 정리와 결합했을 때, 이것은 퓨리에 시리즈가 만약 0을 가지고 있다면 그리고 만약 집합이 0을 가지고 있다면, 주어진 일련의 리얼들의 모든 지점에서 분산되는 연속적인 함수가 있다는 것을 보여준다.

Carleson의 정리를 L로^p p > 1로 확장한 것은 Carleson의 논문에서 사례 p = 2의 "거의 명백한" 확장이라고 명시되었고, Hunt(1968년)에 의해 증명되었다.Carleson's result was improved further by Sjölin (1971) to the space Llog₊(L)log₊log₊(L) and by Antonov (1996) to the space Llog₊(L)log₊log₊log₊(L). (Here log₊(L) is log(L) if L>1 and 0 otherwise, and if φ is a function then φ(L) stands for the space of functions f such that φ( f(x) ) is integrable.)

코냐긴(2000년)은 Llog₊(L)보다 약간 큰 공간에서 사방팔방 푸리에 시리즈로 기능을 찾아 콜모고로프의 백범례를 개선했다.^1/2어떤 의미에서 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 모이는 가장 큰 자연적인 기능의 공간이 있는지 물어볼 수 있다.안토노프와 코냐긴의 결과와 일치하는 그런 공간의 가장 단순한 후보는 Llog₊(L)이다.

칼레손의 정리를 푸리에 시리즈와 통합으로 확장하는 것은 계수를 합칠 수 있는 여러 가지 방법이 있기 때문에 더욱 복잡하게 된다. 예를 들어, 공의 증가나 직사각형의 증가를 합칠 수 있다.직사각형 부분 합금(그리고 실제로 일반 다각형 부분 합금)은 1차원 사례에서 따르지만, 구면 합계 문제는 여전히 L에² 개방되어 있다.

칼레슨 오퍼레이터

칼레슨 연산자 C는 다음과 같이 정의된 비선형 연산자다.

${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\왼쪽 \int _{-N}^{N}{\f}}{{f}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right }}$

칼레손-칼레손-을 비교적 쉽게 보여줄 수 있다.헌트 정리는 1 < p < ∞> 동안 L^p(R)에서 칼레손 연산자의 경계로부터 저절로 그 경계가 된다.하지만, 그것이 경계선이라는 것을 증명하는 것은 어려운 일이며, 사실 이것이 칼레슨이 증명해낸 것이었다.

참고 항목

• 푸리에 시리즈의 융합

참조

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