최대함수

최대 함수는 조화 분석(수학의 영역)에서 여러 형태로 나타난다.이것들 중 가장 중요한 것 중 하나는 하디-리틀우드 최대 기능이다.예를 들어, 기능, 단수 통합 및 부분 미분 방정식의 차별성 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.그들은 종종 다른 방법보다 이러한 영역의 문제를 이해하기 위한 더 깊고 단순한 접근법을 제공한다.

하디-리틀우드 최대 기능

G.H. 하디와 J.E. 리틀우드는 원본 논문에서 크리켓 평균 언어의 최대 불평등을 설명했다.R에ⁿ 정의된 함수 f에 따라 f의 중심되지 않은 Hardy-Littlewood 최대함수 Mf는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{B}\int _{B}f }$

R의ⁿ 각 x에여기서 우월감은 점 x를 포함하는ⁿ R의 B볼을 인수하고 B는 B의 측정치를 나타낸다(이 경우 파워 n으로 상승된 볼의 반지름의 배수).또한 중심 X가 있는 B볼 바로 위에 우월감이 있는 중심 최대 기능을 연구할 수 있다.실제로 그 둘 사이에는 거의 차이가 없다.

기본 속성

다음 진술은 하디-리틀우드 최대 운용자의 효용성에 핵심적이다.^[1]

• (a) f ∈ L^p(Rⁿ) (1 ≤ p ≤ ∞)의 경우, Mf는 거의 모든 곳에서 유한하다.
• (b) f f L¹(Rⁿ)이면 모든 α > 0에 대해 c가 존재한다.

${\displaystyle \{x\ :\(Mf)(x)\alpha \}\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}f .}$

• (c) f ∈ L^p(Rⁿ) (1 < p ≤ ∞))이면 Mf ∈ L^p(Rⁿ) 및

${\displaystyle \Mf\ _{L^{p}\leq A\f\ _{L^{p},}$

여기서 A는 p와 c에만 의존한다.

속성 (b)은 Mf의 약한 바운드로 불린다. 통합 가능한 기능의 경우, 기본적인 마르코프 불평등에 해당하지만, Mf는 거의 모든 곳에서 f = 0이 아닌 한, 결코 통합할 수 없기 때문에, Mf에 대한 약한 바운트 (b)의 증명은 비탈리를 덮는 보조마처럼 기하학적 측정 이론으로부터 덜 기초적인 주장을 필요로 한다.속성(c)은 연산자 M이 L^p(Rⁿ)에 경계되어 있다고 말하는데, 경계함수의 평균을 취할 수 없고 함수의 최대값보다 큰 값을 얻을 수 없기 때문에 p = ∞일 때 분명히 사실이다.p의 다른 모든 값에 대한 속성(c)은 보간 인수에 의해 이 두 가지 사실에서 추론할 수 있다.

(c)가 p = 1을 지탱하지 못한다는 것은 주목할 필요가 있다.이것은 Mχ을 계산하면 쉽게 증명할 수 있는데, 여기서 χ은 원점에서 중심이 되는 단위 공의 특징적인 기능이다.

적용들

하디-리틀우드 맥심 연산자는 많은 곳에 나타나지만, 그것의 가장 주목할 만한 용도의 일부는 르베그 분화 정리 및 파투의 정리 증명과 단일한 적분 연산자의 이론에 있다.

비접전성 최대함수

비 접선 최대 함수는 상부 하프 평면에 정의된 F 함수를 취한다.

${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\좌측\{(x,t)\\\\in \mathbf {R}^{n},t_0\right\}}}}$

그리고 다음 식을 통해 R에ⁿ 정의된 F* 함수를 생성한다.

$F^{\displaystyle F^{*(x)=\supp_{x-y <t}F(y,t).}$

고정 x의 경우 세트{(, t): x- < ${\displaystyle \{(y,t)\\\ x-y <t\}}}$은$($는) $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$+ n${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$의 원뿔이고 $\$}에 정점이 (xⁿ,)이고 R의 경계에 수직인 것을 관찰한다.따라서, 비 접선적 최대 연산자는 R의ⁿ 경계에서 꼭지점이 있는 원뿔 위로 F 함수의 우월성을 단순히 취한다.

아이덴티티 근사치

비당전적 최대함수의 연구가 중요한 기능 F의 한 가지 특별히 중요한 형태는 아이덴티티에 대한 근사치에서 형성된다.즉, R에ⁿ 통합이 가능한 매끄러운 기능 fix을 고정하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}\Phi =1}$

세트

${\displaystyle \Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi({\tfrac {x}{t}}})}$

t > 0의 경우.그런 다음 정의하십시오.

${\displaystyle F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}f(x-y)\파이 _{t}(y)\, dy.}$

는 것을 보여줄^[1] 수 있다.

${\displaystyle \sup _{t}0}f\ast \Phi _{t}(x) \leq(x)\int _{\mathbf {R}^{n}\}\파이 }$

그리고 $결과적$으로 f ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\ast \Phi _{t}(x)}$이(가) L^p(Rⁿ)에서 f로 수렴되어$$ 모든 1 p p < ∞)을 얻는다.이러한 결과는 상부 하프 평면에 대한^p L(Rⁿ) 함수의 고조파 확장이 비 접선적으로 그 함수에 수렴한다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.라플라시안이 유사한 기법을 통해 타원 연산자로 대체되는 경우 보다 일반적인 결과를 얻을 수 있다.

$게다가{\displaystyle \mathrm{}}$, {$${\$displaystyle \Phi$}에 대한 적절한 조건들을 가지고$,$ 사람들은 그것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {}^{}F{}^{}{\ast }^{}}$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle F^{*(x)}\leq C(Mf)(x)}$.

첨예한 최대 기능

R에서ⁿ 로컬로 통합 가능한 함수 f의 경우, 날카로운 최대 $함수{\displaystyle {}^{}}$ f$♯{\$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle f^{\sharp }}(x)=\super _{x\in B}{\frac {1}{{1}{B} f(y)-f_{B}int _{B} \dy}$

R의ⁿ 각 x에 대해, $모든{\displaystyle {}_{}}$ 볼(${\displaystyle {nice}_{}}$) B와 f {\displaystyle $f_{B}}$은(는) 볼 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 위에$$ $있는{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 정수 평균이다$.$^[2]

날카로운 함수는 단일 통합에 관한 점-현상 불평등을 얻기 위해 사용될 수 있다.L²(Rⁿ)을 경계로 하는 연산자 T가 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \ T(f)\ _{L^{2}}\leq C\f\ _{L^{2}},}$

매끄럽고 빽빽하게 지지되는 모든 f에 대하여.또한 f와 g가 매끄럽고 공동 지원이 끊어질 때마다 우리가 K 커널에 대한 콘볼루션으로 T를 실현할 수 있다고 가정하자.

${\displaystyle \int g(x)T(x)\,dx=\iint g(x)K(x-y)f(y)\,dy\,dx.}$

마지막으로 커널 K:의 크기와 부드러움 조건을 가정한다.

${\displaystyle K(x-y)-K(x) \leq C{\frac { y ^{\gamma}}{x ^{n+\gamma}}}}$

x ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle y}$ $displaystyle$x$\geq$2$y$$}.$ 그러면 고정 r > 1은

${\displaystyle (T(f)^{\sharp }(x)\leq C(M(f ^{r}))^{\frac {1}{r}(x)}$

R의ⁿ 모든 x에 대해.^[1]

에고다이얼 이론의 최대 기능

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle B}$, $){\displaystyle (X,{\mathcal{B}},m)}$은 확률공간이고$$, T : X → X는 측정보존적 내형성이다.f ∈ L¹(X,m)의 최대 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}f(T^{i})(x) .}$

f의 최대 함수는 하디-리틀우드 최대 불평등과 유사한 약한 한계를 검증한다.

${\displaystyle m\left(\{x\in X\ :\f^{*(x)}\alpha \}\오른쪽)\leq {\frac {\\\\\1}{1}{\alpha },}$

그것은 최대 에고딕적 정리의 재작성이다.

마팅게일 최대함수

If ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ is a martingale, we can define the martingale maximal function by ${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n} f_{n}(x) }$. If ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$ exists, many results that$고전적$인 경우(: L ,1 ∞ { { ${\displaystyle$ L$^{p},1$$<p\leq \infit },$ 약한 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ $L$$^{1}$불평등$$)를 f ${\displaysty$ f$}$ 및$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$에 대해 유지한다$.$^[3]

참조

• L. Grafakos, Classic and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., New Jersey, 2004
• E.M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, 1993년
• E.M. Stein, Princeton University Press, 1971년 기능별 특이적 통합 및 차별성 특성
• E.M. Stein, Littlewood-Paley 이론과 관련된 조화 분석의 주제, 프린스턴 대학교 출판부, 1970년

메모들