칼슨 대칭형

수학에서 칼슨 대칭 형태의 타원형 적분은 다른 모든 것이 감소될 수 있는 타원형 적분들의 작은 표준적 집합이다.그것들은 레전드르 형식에 대한 현대적인 대안이다.레전드르 형식은 칼슨 형식과 그 반대로 표현될 수 있다.

Carlson 타원형 통합은 다음과 같다.

{\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{1}{1}:{1}{0}^{0}{\inflt}{dt}{\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:

R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int_{0}^{0}{\frac {dt}{{(t+p){\sqrt{(t+x){(t+x)(t+z)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:

R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{1}:{1}{0^{\int }{\frac {d}{dt}{(t+y){\sqrt{(t+x)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:

{\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int_{0}^{0}{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).

Since $R_{C}$ and $R_{D}$ are special cases of $R_{F}$ and $R_{J}$ , all elliptic integrals can ultimately be evaluated in terms of just $R_{F}$ and $R_{J}$ .

대칭이라는 용어는 레전드르 형식과 대조적으로 이러한 함수는 그들 주장의 특정 하위 집합의 교환에 의해 변하지 않는다는 사실을 가리킨다. $R_{F}(x,y,z)$ , $R_{F}(x,y,z)$ , $R_{F}(x,y,z)$ ) $R_{F}(x,y,z)$ 값은 인수의 순열화에 대해 동일하며 $R_{F}(x,y,z)$ , $R_{J}(x,y,z,p)$ $R_{J}(x,y,z,p)$ $R_{J}(x,y,z,p)$ , $R_{J}(x,y,z,p)$ ) $R_{J}(x,y,z,p)$ {\ $displaystyle R_{J}(x,y,$ z, $p)$ 의 값은 처음 세 개의 인수의 순열에도 동일하다 $R_{J}(x,y,z,p)$ .

칼슨 타원형 적분자는 빌 C의 이름을 따서 명명되었다.칼슨(1924-2013).

Legendre 양식과의 관계

불완전한 타원형 적분

불완전한 타원 통합은 칼슨 대칭 형태를 사용하여 쉽게 계산할 수 있다.

F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\왼쪽(\coses ^{2}\pi,1-k^{2}\sin ^{2}\phi,1\오른쪽)

E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)

\Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)

(참고: 위의 내용은 $0\leq \phi \leq 2\pi$ ≤ $0\leq \phi \leq 2\pi$ $0\leq \phi \leq 2\pi$ $0\leq \phi \leq 2\pi$ 2 $0\leq \phi \leq 2\pi$ π { { { \ $displaystyle$ 0\ $leq \pi$ \pi $0\leq \phi \leq 2\pi$ } $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ 0 $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ k $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ { ${$ 1 { { { { { { 0 0 $\lq k^{2}\pi \leqi$ \ $leq$ \leqi 1 $}$ 에 대해서만 유효하다 $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$

완전한 타원형 적분

완전한 타원형 적분율은 φ =를 대체하여 계산할 수 있다.1⁄2π:

[\displaystyle K(k)=]R_{F}\왼쪽(0,1-k^{2},1\오른쪽)}

[\displaystyle E(k)=R_{F}\왼쪽(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{1}{3}{3}k^{2}R_{D}\왼쪽(0,1-k^{2},1\right)}}

\Pi(n,k)=R_{F}\좌측(0,1-k^{2},1\우측)+{\tfrac {1}{1}{1}nR_{J}\좌측(0,1-k^{2,1-n\우측)}

특례

$R_{F}$ $R_{F}$ ${\$ 의 두 개 또는 세 개의 인수 모두가 동일한 $R_{F}$ 경우 ${\sqrt {t+x}}=u$ + ${\sqrt {t+x}}=u$ = ${\sqrt {t+x}}=u$ ${\sqrt{t+x}=u$ 의 대체는 통합과 합리성을 렌더링한다 ${\sqrt {t+x}}=u$ .그러면 그 적분은 기초 초월 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

R_{C}(x, y)=R_ᆬ(x,y,y)={\frac{1}{2}}\int _{0}^{\infty}{\frac{dt}{{\sqrt{t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt{)}}^{\infty}{\frac{뒤}{u^{2}-x+y}}={\begin{경우}{\frac{\arccos{\sqrt{{)}{y}}}}{\sqrt{y-x}}},&, x<, y\\{\frac{1}{\sqrt{y}}},&, x=y\\{\frac{\operatorname{arcosh}{\sqrt{{)}{y}}}}{\sqrt{x-y}}},&, x>, y\\\end{cas.에스}}

마찬가지로, $R_{J}$ $R_{J}$ ${\$ 의 처음 세 개의 인수 중 적어도 두 개가 동일할 $R_{J}$ 때,

R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt{x}^{\not}{\frac {du}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}

특성.

동질성

$\kappa$ $t=\kappa u$ ${\$ $displaystyle t=\kappa u}$ 에 대한 정수 정의 t = for $t=\kappa u$ =\ $displaystyle$ t $=\kappa }$ 을 $t=\kappa u$ (를) 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다 $\kappa$

R_{F}\왼쪽(\kappa x,\kappa y,\kappa z\오른쪽)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)

R_{J}\왼쪽(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\오른쪽)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)

중복정리

R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),

여기서 $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ = $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ + $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ + z $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ $\\$ sqrt ${y}}}{\sqrt{z}}}{\sqrt{\sqrt{x$

{\reasoned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2},d^{x(p-y)(p-z)).\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}

^[1]

where $d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})$ and $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$

시리즈 확장

$R_{F}$ ${\$ 또는 $R_{F}$ $R_{J}$ ${\$ 에 대한 Taylor 시리즈 확장을 얻으려면 여러 인수의 평균 값에 대해 확장하는 것이 편리함을 입증한다 $R_{J}$ .So for $R_{F}$ , letting the mean value of the arguments be $A=(x+y+z)/3$ , and using homogeneity, define $\Delta x$ , $\Delta y$ and $\Delta z$ by

{\reasoned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x), A(1-\Delta y), A(1-\Delta z)\\&={\frac {1}{\sqrt{A}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aign}}

즉, $\Delta x=1-x/A$ $\Delta x=1-x/A$ = $\Delta x=1-x/A$ - x $\Delta x=1-x/A$ / A $\Delta x=1-x/A$ 등이 $\Delta x=1-x/A$ $\Delta x=1-x/A$ 된다. $\Delta x$ $\Delta x$ ${\displaystyle \Delta x},$ $\Delta y$ {\ $displaystyle \Delta y}$ 및 $\Delta y$ $\Delta z$ $\Delta z$ $\Delta z$ 의 차이는 칼슨의 논문과 일치하기 위해 이 부호로 정의된다 $\Delta z$ .Since $R_{F}(x,y,z)$ is symmetric under permutation of $x$ , $y$ and $z$ , it is also symmetric in the quantities $\Delta x$ , $\Delta y$ and $\Delta z$ . It f $R_{F}$ $R_{F}$ ${\$ 의 $R_{F}$ 통합과 그 통합은 모두 $\Delta z$ $\Delta x$ x ${\displaystyle \Delta$ x $\Delta x$ $\Delta y$ $\Delta y$ $\Delta y$ 및 $\Delta y$ $\Delta z$ ${\displaysty \Delta z}$ 에서 기본 대칭 다항식의 함수로 표현될 수 있음을 시사한다.

E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0

E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta z+\Delta z\Delta x

E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z

이러한 다항식, 다차원 테일러 확장 수행, 기간별 통합...

{\reasoned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt{A}}}\int _{0}^{0}{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&, ={\frac{1}{2{\sqrt{A}}}}\int _ᆳ^ᆴ\left({\frac{1}{())^{\frac{3}{2}}}}-{\frac{E_{2}}{2(t+1)^{\frac{7}{2}}}}+{\frac{E_{3}}{2(t+1)^{\frac{9}{2}}}}+{\frac{3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac{11}{2}}}}-{\frac{3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac{13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&, ={\frac{1}{\sqrt{A}}}\left(1-{\f.rac{1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{14}E_{24}}{1}{1}{1}{1}}^{2}-{3}{44}}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\델타 ^6}\right}\{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

인수의 평균 값에 대해 확장하는 이점은 이제 $E_{1}$ 하다. $E_{1}$ 1 ${\$ }를 0으로 $E_{1}$ 동일하게 감소시키고, 따라서 그렇지 않으면 가장 많을 E $E_{1}$ ${\$ 1}와 관련된 모든 용어를 제거한다. $E_{1}$

$R_{J}$ $R_{J}$ ${\$ 의 오름차순 시리즈도 이와 유사한 방법으로 찾을 수 있다 $R_{J}$ . $R_{J}$ ${\$ 이 $R_{J}$ (가) 완전히 대칭적이지 않기 때문에 약간의 어려움이 있다. 네 번째 주장인 $p$ ${\displaystyle$ $p$ $p$ 에 대한 의존도는 x ${\displaystyle$ x $x$ $y$ ${\displaysty$ $y$ $},$ z $y$ ${\$ $displaystystyl$ $)$ 에 대한 의존도와 다르다 $z$ $R_{J}$ 은 $R_{J}$ ${\$ $e R_{J}}$ 은(는) 5개의 인수의 완전 $R_{J}$ 대칭 함수로서, 그 중 2개는 같은 $값$ p $p$ 을(를) 갖는다 $p$ 따라서 인수의 평균값은 다음과 같다.

A={\frac {x+y+z+2p}{5}}

$\Delta x$ $\Delta x$ ${\displaystyle \Delta x},$ $\Delta y$ y $\Delta y$ $\Delta z$ z $\Delta z$ 및 $\Delta z$ $\Delta p$ $\Delta p$ ${\displaystyle \Delta$ p $}$ 의 차이 정의 $\Delta p$

{\reasoned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p)\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aigned}}}

$\Delta x$ $\Delta x$ ${\displaystyle \Delta$ $x$ $},$ $\Delta x$ $\Delta y$ $\Delta y$ ${\displaystyle \Delta$ y $},$ $\Delta z$ $\Delta z$ ${\displaystyle \Delta z},$ $\Delta p$ $\Delta p$ ${\displaystyle \Delta$ $p$ $},$ (again) $\Delta p$ $\Delta p$ ${\displaystylease$ $\data$ .

E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0

E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y+\Delta z+2\Delta z\Delta z\Delta z+2\Delta p^{2}\Delta p\Delta x+\Delta z+2\Delta\Delta\Delta p

E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p

E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta x\Delta z\Delta p

E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}

However, it is possible to simplify the formulae for $E_{2}$ , $E_{3}$ and $E_{4}$ using the fact that $E_{1}=0$ . Expressing the integrand in terms of these polynomials, performing a multidimensional Taylor expansion and integr...전처럼 임기제로.

{\reasoned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac{3}{2}}\int _{0}^{0}^{\inflit }{1}{\frac {1}{\sqrt{(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}dt\\&={\frac {3}{2}A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{{2}+{6}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}{9}}^{2}-{2}-{22}E_{4}-{4}-{\frac {9}{52)E_{2}+{2}{3}{26}}}}}}}}}}{26}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6}\오른쪽)\end{arged}}

$R_{J}$ ${\$ 와 마찬가지로 $R_{J}$ 인수의 평균 값에 대해 확장함으로써 ( $E_{1}$ 1 ${\$ 1}를 포함하는 용어 $E_{1}$ 의 절반 이상이 제거된다.

부정 인수

일반적으로 칼슨의 통합에 대한 x, y, z의 주장은 현실과 음이 아닐 수 있는데, 이는 통합의 길에 지점이 놓이게 되어 통합의 길을 모호하게 만들 것이기 때문이다.그러나 R $R_{C}$ ${\$ 의 두 번째 인수 또는 R $R_{J}$ ${\$ 의 네 번째 인수인 p가 $R_{J}$ 음수라면 이는 통합의 경로에 단순한 극이 된다.이러한 경우 통합의 Cauchy 기본 값(마인드 부분)이 관심사가 될 수 있다. 이는 다음과 같다.

\mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\x}{x+y}}\,R_{C}(x+y,y),

그리고

{\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac{(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{{F}(x,y,z)+3{\sqrt{\xyz}{xz+pq}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

어디에

q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}.

$R_{J}(x,y,z,q)$ $R_{J}(x,y,z,q)$ , $R_{J}(x,y,z,q)$ , $R_{J}(x,y,z,q)$ , $R_{J}(x,y,z,q)$ ) $R_{J}(x,y,z,q)$ 을(를) 평가하려면 $R_{J}(x,y,z,q)$ 0보다 커야 한다.이것은 x, y, z의 값을 x와 z의 값 사이에 오도록 허용함으로써 배열될 수 있다.

수치평가

중복 정리는 타원형 적분들의 칼슨 대칭 형태의 빠르고 강력한 평가와 타원형 적분들의 레전드르 형태의 평가에 사용될 수 있다. $x_{0}=x$ $R_{F}(x,y,z)$ $R_{F}(x,y,z)$ $R_{F}(x,y,z)$ , $R_{F}(x,y,z)$ ) $R_{F}(x,y,z)$ : 먼저 $x_{0}=x$ 0 = $x_{0}=x$ $R_{F}(x,y,z)$ $displaystyle x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $y_{0}=y$ = $y_{0}=y$ ${\displaystyle y_{0}=y$ $z_{0}=z$ 0 $z_{0}=z$ = $z_{0}=z$ ${\displaystysty_{0}=z}}$ 을 정의하십시오 $z_{0}=z$ 그런 다음 시리즈를 반복하십시오.