기본 대칭 다항식

수학에서, 특히 역대수학에서, 초등 대칭 다항식은 모든 대칭 다항식이 초등 대칭 다항식으로 표현될 수 있다는 점에서 대칭 다항식의 기본 구성 블록의 한 유형이다.즉, 모든 대칭 다항식 $P$ 는 상수와 기본적인 대칭 다항식의 추가와 곱셈만을 포함하는 표현식에 의해 주어진다. $각$ 양의 정수 $d$ ≤ $n$ 에 대해 n 변수에 $d$ 의 기본 대칭 다항식이 하나 있으며, $d$ 구별되는 변수의 모든 구별되는 산물을 합쳐서 형성된다.

정의

$n$ 변수 $X 1, ...,$ $X n$ , k = 1, $...,$ $n$ 에 대해 쓴 $e k (X 1,$ ..., $X n)$ 의 기본 대칭 다항식은 다음과 같이 정의된다.

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}

등으로 끝나다

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

일반적으로 $k$ ≥ $0$ 에 대해 정의한다.

e_{k}(X_{1},\ldots,X_{n}}}=\sum_{1\leq j_{1}}<j_{k}\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_}}}}{j_}}}\dotsm X_{j_{{k},},},},},},

따라서 $e k (X 1, ...,$ $X n)$ = $k$ > $n$ . ( $때로는$ 1 = $e 0 (X 1, ...,$ $X n)$ 가 기본 대칭 다항식 사이에 포함되지만, 이를 제외하면 일반적으로 결과 및 속성의 보다 간단한 공식화가 가능하다.)

따라서 $n$ 보다 작거나 같은 각 양의 정수 $k$ 에 대해 $n$ 변수에는 ° $k$ 의 기본 대칭 다항식이 정확히 한 개씩 존재한다. $도$ k를 갖는 것을 형성하기 위해서, $우리$ 는 n 변수의 k-subset의 모든 생산물의 합을 취한다.(대조적으로, 여러 변수, 즉 반복이 있는 변수를 사용하여 동일한 연산을 수행하면 완전한 동종 대칭 다항식에 도달한다.)

정수 파티션(즉, 양의 정수의 유한 비증가 시퀀스)이 $주어지면 λ 1$ = $(,,$ ..., $λ m)$ 은 다음과 같이 기초 대칭 다항식 $e λ (X 1, ...,$ $X n)$ 라고도 하는 대칭 다항식을 정의한다.

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

.

$때로는 k$ e 대신 $σ$ 이라는_k 표기법을 쓰기도 한다.

예

다음은 $n$ 의 처음 4개의 양수 값에 대한 $n개$ 의 기본 대칭 다항식을 나열한다.

$n$ = $1$ 인 경우:

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

$n$ = $2$ 인 경우:

{\begin}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{1}X_{2},\\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}

$n$ = $3$ 인 경우:

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

$n$ = $4$ 인 경우:

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

특성.

기본 대칭 다항식은 단일 다항식의 선형 인자화를 확장할 때 나타난다: 우리는 정체성을 가지고 있다.

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

즉, 변수 $X 1,$ $X 2$ , $...,$ $X$ 에_n 숫자 값을 대입하면 X, X, $...,$ $X$ 를_n 대체하는 값이 근본이고 계수가 $X 1$ , $X 2$ , ..., X 기호까지인 단일 다항식(변수 $λ$ )을 얻는다.다항식의 뿌리와 계수 사이의 이러한 관계를 비에타의 공식이라고 한다.

정사각형 행렬의 특징적인 다항식은 비에타의 공식을 응용한 예다.이 다항식의 뿌리는 행렬의 고유값이다.이러한 고유값을 기본 대칭 다항식으로 대체하면 행렬의 불변인 특성 다항식의 계수를 부호까지 얻는다.특히 추적(대각선 원소의 합)은 $e$ 의₁ 값이며, 따라서 고유값의 합이다.마찬가지로 결정요소는 부호까지 – 특성 다항식의 상수 항, 즉 $e$ 의_n 값이다.따라서 제곱 행렬의 결정 인자는 고유값의 산물이다.

$n$ 변수의 기본 대칭 다항식 집합은 $n$ 변수의 대칭 다항식 링을 생성한다.구체적으로는 정수 계수를 갖는 대칭 다항식의 링이 $적분$ 다항 $링 1 1,[$ e( $X n,$ ..., $X n), ...,$ e $(X 1,$ ..., $X n$ )]와 같다(더 일반적인 진술과 증거는 아래 참조).이 사실은 불변 이론의 기초 중 하나이다.같은 속성을 가진 다른 대칭 다항식 시스템의 경우 완전 동종 대칭 다항식을 참조하고, 유사하지만 약간 약한 속성을 가진 시스템의 경우 검정력 합 대칭 다항식을 참조하십시오.

대칭 다항식의 기본 정리

모든 정류 링 $A$ 의 경우 $X 1$ , $...,$ $X n$ 변수에서 대칭 다항식의 링과 $A [X 1, ...,$ X $] S n$ 의_n 계수를 $나타낸다$ . $k$ = 1, $...,$ $n$ 에 대한 n개의 초등 대칭 다항식 $e k (X 1, ...,$ X $)$ 에_n 있는 다항식 링이다.

이는 모든 대칭 다항식 $P (X 1, ...,$ $X n)$ ∈ $A [X 1, ...,$ X $] S n$ 가_n 고유한 표현을 가지고 있다는 것을 의미한다.

P(X_{1},\ldots,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}{n})}}}}}

일부 다항식 $Q$ ∈ $A [Y 1, ...,$ $Y n]$ 의 경우. $같은$ 말을 하는 또 다른 방법은 k = 1, $...$ 에 대해 $Y$ 를_k $e k (X 1, ...,$ $X n)$ 로 보내는 고리 동형성이 $A [Y 1, ...,$ $Y n]$ 와 $A [X 1, ...,$ $X n] S n$ 사이의 이형성을 정의하는 것이다.

교정 스케치

대칭 동종 다항식의 경우 변수 $n$ 의 수와 고정 $n$ 의 경우 동종 다항식의 정도에 대해 이중 유도를 통해 정리가 증명될 수 있다.그런 다음, 일반적인 경우는 임의의 대칭 다항식을 동질 성분(다시 대칭)으로 분할하는 것이다.

사례 $n$ = $1$ 의 경우, 한 변수의 모든 다항식이 자동으로 대칭되기 때문에 결과는 사소한 것이다.

이제 $m$ < $n$ 변수에 대한 모든 다항식 및 n 변수에 대한 모든 대칭 다항식에 대해 정도 < $d$ 가 있는 $모든$ 대칭 다항식에 대해 정리가 증명되었다고 가정한다. $A [X 1, ...,$ $X n] S n$ 의 모든 동종 대칭 다항식 $P$ 는 동종 대칭 다항식의 합으로 분해될 수 있다.

P(X_{1},\ldots,X_{n}=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdots Q(X_{1},\ldots,X_{n}).

여기서 "후퇴부" $P$ 는_lacunary N $변수$ $X 1, ...,$ $X n$ , 즉 최소한 하나의 변수 $X$ 가_j 누락된 경우 적절한 부분 집합만 포함하는 $P$ 의 모든 단항 합으로 정의된다.

$P$ 가 대칭이기 때문에 열문 부분은 X, $...,$ $X n - 1$ , 즉 $X$ 를_n 포함하지 않는 $변수만$ 을₁ 포함하는 항에 의해 결정된다.더 정확히 말하자면: $만약$ A와 $B$ 가 $X 1, ...,$ $X$ 의_n 동질 대칭 다항식 2개이고, $X$ 와₁ X의 정도가 같으며, $X n - 1, ...$ 변수만을 포함하는 $각$ 단항 앞에 있는 A의 계수가 $B$ 의 해당 $계수$ 라면, $A$ 와 B는 같은 열문형 부분을 가진다.(열문 부분에서 나타날 수 있는 모든 모노미알은 최소한 하나의 변수가 부족해야 하므로 변수를 $X 1$ , $...,$ X $변수만 n - 1$ 포함하는 모노미알로 순열화함으로써 변환될 수 있기 때문이다.

그러나 변수 $X 1, ...,$ $X$ 만을_{n − 1} 포함하는 $P$ 의 항은 정확하게 $X$ 를_n 0으로 설정하는 작용에서 살아남는 항이므로, 그 합은 $변수 1$ X, ..., $X$ 에서_{n − 1}_{n − 1} 우리가 $P̃($ X, $...,$ $X n - 1$ )로 나타낼 대칭 다항식인 $P ($ $X 1 1$ $,$ ..., X)와 같다 $.$ 귀납 가설에 의해 이 다항식은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

{\displaystyle {\tilde{P}}(X_{1},\ldots, X_{n-1})={\tilde{Q}(\sigma _{1,n-1},\ldots,\sigma _{n-1}).

$얼마간$ 여기서 이중 색인화된 $σ$ 은_{j,n − 1} $n$ - $1$ 변수의 초기 대칭 다항식을 나타낸다.

이제 다항식 고려

R(X_{1},\ldots,X_{n}):={\tilde{Q}(\sigma _{1,n},\ldots,\sigma _{n-1,n}).

그렇다면 $R (X 1, ...,$ $X n)$ 은 $P$ 와_lacunary 같은 $정도$ 의₁ 대칭 $다항식$ 이다_n $.$

R(X_{1},\ldots,X_{n-1},0)={\tilde{Q}}(\sigma _{1,n-1},\sigma _{n-1})=P(X_{1},\ldots,X_{n-1,0)}}}}}

( $첫 n j, n$ 번째 평등은 $j$ 에서 $X$ 를 0으로 설정하면 모든 j < n에 대해 $σ$ 을_{j,n − 1} 주기 때문에 유지된다.즉, 변수 $X 1, ...,$ $X$ 만_{n − 1} 포함하는 각 모노미알 이전의 $R$ 계수는 $해당$ P 계수와 같다.우리가 알고 있는 바와 같이, 이것은 $R$ 의 짧은 부분이 원래의 다항식 $P$ 의 그것과 일치한다는 것을 보여준다.따라서 $P$ - $R$ 의 차이는 빈틈없는 부분이 없으며, 따라서 모든 변수의 제품 $X 1 \cdot\cdot X$ 로_n 구분되며, 이는 기초 대칭 다항식 $σ$ 과_n,n 같다. $그런$ 다음 P - $R$ = $σQ$ 를_n,n 쓰고, 지수 $Q$ 는 $d$ (사실상 최대 $d$ - $n$ ) 미만의 동질 대칭 다항식이며, 귀납 가설에 의해 초등 대칭함수에서 다항식으로 표현될 수 있다. $P$ - $R$ 과 $R$ 에 대한 표현을 결합하면 $P$ 에 대한 다항식 표현을 찾을 수 있다.

표현의 고유성은 유사한 방법으로 귀납적으로 증명할 수 있다.( $n$ 다항식 $e 1, ...,$ $e$ 가_n 링 $A$ 에 대해 대수적으로 독립되어 있다는 사실과 동일하다.)다항식 표현이 독특하다는 사실은 $A [X 1, ...,$ $X n] S n$ 와 $A [Y 1, ...,$ $Y n]$ 의 이형성을 의미한다.

대체증거

다음의 증명도 귀납적이지만, $X 1,$ ..., $X$ 의_n 대칭보다 다른 다항식을 포함하지 않으며, 또한 기초 대칭에서 다항식으로서 대칭 다항식을 효과적으로 작성하는 상당히 직접적인 절차로 이어진다.대칭 다항식은 도 $d$ 의 동질이라고 가정한다. 다른 동질 성분들은 별도로 분해될 수 있다.X 사전 편찬 방식으로 변수 $X$ 의_i 단수 순서를 정하십시오. $여기$ 서₁ 개별 변수는 X > $...$ $>$ $X n$ , 다시 말하면 다항식의 지배적인 용어는 $X$ 의₁ 발생력이 가장 높은 용어와 $X$ 의₂ 발생력이 가장 높은 용어 중 하나이다.또한 $d$ 의 분할에 의해 d(사실상 동종)를 갖는 모든 기초 대칭 다항식의 생산물을 파라메트리하여 다음과 같이 한다.제품의 개별 초등 대칭 다항식 $e i (X 1, ...,$ $X n)$ 를 주문하여 더 큰 지수를 가진 사람들이 $먼저$ 오도록 한 다음, 그런 요소 각각에 대해 i $박스$ 열을 만들고, 그 열을 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하여 $d$ 박스를 모두 포함하는 영 도표를 작성한다.이 다이어그램의 모양은 $d$ 의 분할이며, 각 $분할$ $λ$ 은 기초 대칭 다항식의 정확히 하나의 곱에 대해 발생하는데, 이 곱은 $e λ t (X 1, ...,$ $X n$ )로 나타낸다( $t$ 는 전통적으로 이 제품이 $λ$ 의 전치 분할에 연관되어 있기 때문에 존재하는 것이다).증명서의 필수 성분은 다음과 같은 간단한 성질로서 변수 $X$ 의_i 단수형에는 다중 지수 표기법을 사용한다.

보조정리. $e λ t (X 1, ...,$ $X n)$ 의 주어는 $X$ 이다^λ.

증명. 제품의 선행조건은 각 요인의 선행조건(이것은 여기서 사용하는 사전순서와 같이 단일한 순서를 사용할 때마다 해당된다)의 산물이며,

요인 i

e

(X 1,

...,

X n)

의 선행조건은 분명히

XX 12 \cdot\cdot\cdot X

이다_i.결과 단수형에서 개별 변수의 발생 횟수를 계산하려면 변수 1,

...,

i

에 해당하는 인자에 해당하는 영 도표의 열을 채우십시오. 그러면 첫 번째 행의 모든 상자는 1, 두 번째 행의 상자는 각각 1, 두 번째 행의 상자는 X 등이며, 이는

선행

항이 X라는 것을 의미한다.

이제 한 가지는 사전 편찬 순서에서 선도적인 단항체를 유도함으로써 0이 아닌 동종 대칭 다항식 $P$ 를 기초 대칭 다항식에서 다항식으로 작성할 수 있음을 증명한다. $P$ 는 대칭이기 때문에 선행 단수체는 약하게 감소하는 지수를 가지므로, $λ$ 의 $d$ 분할을 가진 일부 $X$ 이다^λ.이 용어의 계수를 $c$ 로 하고 $P$ - $ce λ t (X 1, ...,$ $X n)$ 는 0이거나 완전히 작은 선행 단수형인 대칭 다항식이다.이 차이를 기초 대칭 다항식에서 다항식으로 귀납적으로 쓰고 거기에 백 $ce λ t (X 1, ...,$ $X n)$ 를 더하면 $P$ 에 대한 다항식 찾기가 얻어진다.

이 표현이 독특하거나, 또는 모든 기초 대칭 다항식의 제품(단항체) $e λ t (X 1,$ ..., $X n)$ 가 선형적으로 독립적이라는 사실 또한 쉽게 증명된다.그 단어의 기본형이 이 모든 상품들, 그리고 이것은 혼자 쓰기에 충분한 주요 monomials이 있는eλt(X1,..., Xn)의 중요한 일차 결합이 0, 조금이라도 계수를 가진 선형 결합하여 그 공헌과(변수의 다항식 자이)가장 큰 주요 monomial에, 초점을 맞추고 있다는 것을 보여 준 속임수의 선도적인 용어이다.tribution은 모순을 주는 선형 결합의 다른 기여에 의해 취소할 수 없다.

참고 항목

참조

Macdonald, I. G. (1995). Symmetric Functions and Hall Polynomials (2nd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

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특성.

대칭 다항식의 기본 정리

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