코시 경계 조건

수학에서 Cauchy(프랑스어: [koʃi]) 경계 조건은 경계에서 용액이 충족해야 하는 조건과 함께 일반적인 미분 방정식 또는 부분 미분 방정식을 증가시킨다. 이상적으로는 고유한 용액이 존재함을 보장한다.Cauchy 경계 조건은 영역의 경계에서 함수 값과 정규 파생상품을 모두 지정한다.이것은 디리클레와 노이만 경계 조건을 모두 부과하는 것과 일치한다.19세기 프랑스의 수학 분석가 오귀스틴 루이 코치의 이름을 따서 지은 것이다.

2차일반미분방정식

코치 경계 조건은 2차 일반 미분 방정식에서 단순하고 일반적이다.

${\displaystyle y'=f{\big(}y),y's,s{\big )},}$

여기서, 고유한 $솔루션{\displaystyle }$ y${\displaystyle (s}$ )$${\$displaystyle$ y$}$이$(가$) 존재하는지 확인하기 위해, $특정{\displaystyle }$ 지점 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle$ $y$$}$과(와) 파생$$ 모델 $y{\displaystyle {}^{}}$y ${\$ $y$$'}$의 값을 ${\displaystyle \mathrm{지정}}$할 수 있다$.$

$[\displaystyle y(a)=\displaystyle,}$

그리고

$[\displaystyle y'(a)=\display,}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 경계 또는 초기 지점이다.매개변수 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$는 대개 시간이기$$ 때문에, 코치 조건을 초기 값 조건이나 초기 값 데이터 또는 단순히 코치 데이터라고도 할 수 있다.그러한 상황의 예로는 뉴턴의 운동 법칙이 있는데, 여기서 $가속도{\displaystyle {}^{}}$ y$$${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $y$$\text{'}\},$ $속도{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle y$ $시간{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$에 따라$$ 달라진다$.$ 여기서 Cauchy 데이터는 초기 위치와 속도를 아는 것과 일치한다.

부분 미분 방정식

부분 미분 방정식의 경우, Cauchy 경계 조건은 경계에서 함수와 정규 파생물을 모두 지정한다.단순하고 구체적인 사물을 만들기 위해 평면에서 2차 미분 방정식을 고려한다.

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{y}=F(x,y,\psi,\x},\psi _{x}),}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (x,y)}$은(는) 알 수 없는 솔루션이며, $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$psi_$${x}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$ 등과 관련하여$$$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystystysty \}$의 파생 모델을 나타낸다$$.${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ F ${\displaystyle A,B,C,F}$ 함수가 문제를 명시한다$$.

${\displaystyle \mathrm{이제}}$ x y ${\displaystyle xy}$ 평면의$$ 하위 집합인 도메인$$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에서 부분 미분 방정식을 만족하는$and$ {\$displaysty \psi$}을(를) 찾고 이를 통해 Cauchy 경계 조건이 충족되도록 한다.

$\displaystyle \cHB=\cHB(x,y)\mathbf {n} \cdot \cdla \cdla =\cHB(x,y)}$

모든 경계점$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle \mathrm{hold}}$ Ω $displaystyle {\displaystyle$ (x,y)\$in \partial$\Oomega$\}.$ $여기$서 n${\displaystyle }$⋅ ∇${\displaystyle \mathrm{}}${ { ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi}$은 경계점$$ 정상 방향으로 파생된 파생물이다.함수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$} 및$$ $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$}은(는) Cauchy 데이터다$$.

Cauchy 경계 조건과 Robin 경계 조건 사이의 차이점에 주목하십시오.전자에서는 함수와 일반 파생상품 모두를 명시한다.후자에서는 둘의 가중 평균을 명시한다.

우리는 경계 조건이 정확히 하나의 (유일한) 해법이 존재하도록 보장하기를 원하지만, 2차 부분 미분 방정식의 경우 일반 미분 방정식처럼 존재와 고유성을 보장하는 것이 그렇게 간단하지 않다.코치 데이터는 개방된 도메인(예: 반평면)의 쌍곡선 문제(예: 파동 방정식)에 가장 즉각적으로 관련된다.^[1]

참고 항목

• 디리클레 경계 조건
• 혼합경계조건
• 노이만 경계 조건
• 로빈 경계 조건

참조