디리클레 경계 조건

수학에서 디리클레(또는 제1형) 경계조건은 경계조건의 일종으로 피터 구스타프 르주네 디리클레(1805–1859)의 이름을 따서 명명되었다.^[1] 통상적인 또는 부분적인 미분방정식에 부과할 때, 그것은 해결책이 도메인의 경계를 따라 취할 필요가 있는 값을 명시한다.

유한요소법에서 필수적 또는 디리클레 경계조건은 미분방정식의 가중-적분적 형태로 정의된다.^[2] 경계 표현식에 나타나는 중량 함수 w와 같은 형태의 종속 미지의 u를 1차 변수라고 하며, 그 사양은 필수 또는 디리클레 경계 조건을 구성한다.

그러한 방정식에 대한 해결책을 찾는 문제는 디리클레 문제로 알려져 있다. 적용 과학에서 디리클레 경계 조건은 고정 경계 조건이라고도 할 수 있다.

예

ODE

예를 들어, 일반적인 미분 방정식의 경우,

${\displaystyle y'+y=0}$

[a,b] 구간의 디리클레 경계조건은 형태를 취한다.

$[\displaystyle y(a)=\filency,\filency y(b)=\filency,}$

여기서 α와 β는 숫자가 주어진다.

PDE

예를 들어 부분 미분 방정식의 경우

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

여기서 ∇²는 라플라스 연산자를 나타내며, 도메인 Ω ⊂ R의ⁿ 디리클레 경계 조건은 형태를 취한다.

$\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Oomega ,}$

여기서 f는 경계 ∂Ω에 정의된 알려진 함수다.

적용들

예를 들어 다음과 같은 사항을 디리클레 경계조건으로 간주한다.

• 기계공학 및 토목공학(빔 이론)에서는 빔의 한쪽 끝이 공간의 고정된 위치에 고정되어 있다.
• 표면이 고정된 온도로 유지되는 열역학에서.
• 회로 노드가 고정 전압으로 유지되는 전기 공학에서.
• 유체 역학에서 점성 유체의 미끄럼 방지 조건은 고체 경계에서 유체가 경계에 상대적인 0 속도를 갖는다고 명시한다.

기타경계조건

Cauchy 경계 조건과 혼합 경계 조건을 포함하여 많은 다른 경계 조건이 가능하다. 후자는 디리클레와 노이만 조건의 조합이다.

참고 항목

• 노이만 경계 조건
• 로빈 경계 조건
• 유체 역학의 경계 조건

참조