케이리의 정리

그룹 이론에서, 아서 케이리를 기리기 위해 명명된 케이리의 정리는 모든 그룹 $G$ 는 대칭 그룹의 하위 그룹과 이형성이 있다고 명시한다.^[1]좀 더 구체적으로, $G$ 는 $\operatorname {Sym} (G)$ $G$ 집합의 순열인 대칭 그룹 $\operatorname {Sym} (G)$ $\operatorname {Sym} (G)$ ( G $\operatorname {Sym} (G)$ ) $\operatorname {Sym} (G)$ 의 하위 그룹과 이형성이며, 명시적으로 $\operatorname {Sym} (G)$ ,

$g\in G$ $g\in G$ $g\in G$ G $g\in G$ 에 대해 $g\in G$ 왼쪽 곱하기 기준 지도 $\ell _{g}\colon G\to G$ G $\ell _{g}\colon G\to G$ : $\ell _{g}\colon G\to G$ → G $\ell _{g}\colon G\to G$ 에서 각 요소 $x$ 를 $gx$ 로 보내는 $\ell _{g}\colon G\to G$ 것은 $G$ 의 순열이며,
the map $G\to \operatorname {Sym} (G)$ sending each element $g$ to $\ell _{g}$ is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from $G$ onto a subgroup of $\operatorname {Sym} (G)$ .

동형상 $G\to \operatorname {Sym} (G)$ → $G\to \operatorname {Sym} (G)$ $G\to \operatorname {Sym} (G)$ ( G $G\to \operatorname {Sym} (G)$ ) $G\to \operatorname {Sym} (G)$ 도 기본 집합 G에서 $G$ 의 $왼쪽$ 번역 작용에서 발생하는 것으로 이해할 수 있다 $G\to \operatorname {Sym} (G)$ .^[2]

$G$ 가 유한하면 $\operatorname {Sym} (G)$ sym $\operatorname {Sym} (G)$ ( $\operatorname {Sym} (G)$ ) $\operatorname {Sym$ ( $G)}$ 도 유한하다 $\operatorname {Sym} (G)$ .이 경우에는 케일리의 정리의 증명 위해 n의 G가 유한한 그룹, G표준 대칭 군 Sn{\displaystyle S_{n}의 한 하위 그룹에만}동형이다. 하지만 G또한 작은 대칭 군, Sm{\displaystyle S_{m}}의 한 하위 그룹에만 일부 m<>;n{\displaystyle m& 동형 수도 있다는 정황이 있다.그것은, n $}$ ; 예를 들어, 순서 6 그룹 $G=S_{3}$ = S $G=S_{3}$ $G_{3}$ 은(는) $S_{6}$ $S_{6}$ ${\$ 의 하위 그룹과 이형성일 $G=S_{3}$ 뿐만 아니라 $S_{6}$ (이형적으로) $S_{3}$ $S_{3}$ ${\$ 의 하위 그룹과 이형성이다 $S_{3}$ ^[3]주어진 $그룹$ G가 내재하는 최소 순서 대칭 그룹을 찾는 문제는 다소 어렵다.^[4]^[5]

알페린과 벨은 "일반적으로 유한집단이 대칭집단에 내재되어 있다는 사실은 유한집단을 연구하기 위해 사용되는 방법에 영향을 미치지 않았다"고 지적한다.^[6]

$G$ 가 무한일 때 $\operatorname {Sym} (G)$ $\operatorname {Sym} (G)$ ( $\operatorname {Sym} (G)$ ) $\operatorname {Sym} (G)$ 은 무한하지만 $\operatorname {Sym} (G)$ , Cayley의 정리는 여전히 적용된다.

역사

그것이 충분히 초보적인 것처럼 보이지만, 그 당시에는 현대의 정의가 존재하지 않았고, 케일리가 현재 그룹이라고 불리는 것을 소개했을 때, 이것이 이전에 알려진 그룹과 동등하다는 것이 즉시 명확하지 않았고, 지금은 순열 그룹이라고 불린다.케일리의 정리가 두 사람을 통일시킨다.

번사이드에서는^[7] 이 정리를 요르단에게 귀속시키지만,^[8] 그럼에도 불구하고 에릭 누멜라는^[9] 표준명인 "케일리의 정리"가 사실 적절하다고 주장한다.케일리는 1854년 초기의 논문에서 정리에서의 대응은 일대일이라는 것을 보여주었지만,^[10] 그것이 동질성(따라서 내장)이라는 것을 명시적으로 보여주지는 못했다.그러나 누멜라는 케일리가 이 결과를 당시 수학계에 알려 요르단을 16년 정도 앞섰다고 지적한다.

이 정리는 이후 1882년^[11] 발터 다이크에 의해 출판되었으며 번사이드의 저서 제1판에서 다이크에게 귀속되고 있다.^[12]

배경

$A$ 세트의 순열은 $A$ 에서 $A$ 까지의 주관적 함수다.The set of all permutations of $A$ forms a group under function composition, called the symmetric group on $A$ , and written as $\operatorname {Sym} (A)$ .^[13] In particular, taking $A$ to be the underlying set of a group $G$ produces a symmetric group denoted $\operatorname {Sym} (G)$ .

정리증거

g가 연산이 with인 그룹 G의 어떤 요소라면 f_g(x) = g ∗ x로 정의되는 f_g : G → G 함수를 고려한다. inverses의 존재에 $f_{g^{-1}}$ 이 함수는 $f_{g^{-1}}$ g $f_{g^{-1}}$ - 1 {\ $displaystyle f_{g$ ^{-1 $f_{g^{-1}}$ 따라서 g에 의한 곱셈은 생체 함수의 역할을 한다.따라서 f는_g G의 순열이며, Sym(G)의 멤버도 순열이다.

세트 K = {f_g : g ∈ G}은 G에 대해 이형인 Sym(G)의 부분군이다.이를 확립하는 가장 빠른 방법은 G의 모든 G에 대해 T : G → T(g) = f를_g 갖는 Sym(G) 기능을 고려하는 것이다.T는 (Sym(G)에서 구성을 나타내기 위해 ·를 사용) 때문에 집단 동형상이다.

(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h})(x)=f_{g}(h*x)=g*h*x=(x),

모든 x(G)에 대해 다음과 같이 입력하십시오.

T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}={g*h}=T(g*h).

T(g) = id_G(Sym(G)의 ID 요소)는 g ∗ x = g의 모든 x에 대해 x = x를 함축하고, g의 ID 요소 e가 되기 위해 x를 취하면 g = g = e = e, 즉 커널이 사소한 것이므로 동형성 T는 주입된다.또는 g ∗ x = g′ x는 g = g′을 의미하기 때문에 (모든 그룹이 취소되기 때문에) T도 주입된다.

따라서 G는 부분군 K인 T의 영상에 이형적이다.

T는 때때로 G의 정규 표현이라고 불린다.

증거의 대체 설정

대체 설정은 그룹 동작의 언어를 사용한다.우리는 그룹 $G$ $G$ 이(가) 왼쪽 곱셈에 의해 저절로 작용하는 것으로 $G$ 간주한다. 즉, 순열 표현을 가진 $g\cdot x=gx$ $g\cdot x=gx$ $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$ $g\cdot x=gx$ = $g\cdot x=gx$ x ${\displaystyle$ g $\\cdot x=gx$ 라고 하며, $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$ : $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$ → $Sym$ ( $G$ ) ${\displaystystyle \pi :G}$ 라고 한다 $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$

$\phi$ $\pi$ 이 $\phi$ ( $\phi$ ) 주입식인 경우, 즉 { $\pi$ 의 커널이 사소한 $\phi$ 경우 표현은 충실하다. $g\in \ker \phi$ $g\in \ker \phi$ $g\in \ker \phi$ $g\in \ker \phi$ ⁡ {\ $displaystyle g\in \cker \phi$ $g\in \ker \phi$ 을(를) 가정해 봅시다. 그러면 $g\cdot e=ge=g=e$ $g\cdot e=ge=g=e$ $g\cdot e=ge=g=e$ = $g\cdot e=ge=g=e$ = $g\cdot e=ge=g=e$ = g $g\cdot e=ge=g=e$ = $g\cdot e=ge=g=e$ = e ${\displaystyle g\cdot e=ge=g=e$ .따라서 $\ker \phi$ $\ker \phi$ $\ker \phi$ $\ker \phi$ 은(는) 사소한 것이다 $\ker \phi$ .결과는 첫 번째 이소모르프 정리법을 사용함으로써 나타난다. 여기서 $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$ 는 I m $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$ $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$ $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$ 을 얻는다 $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$

정규 그룹 표현에 대한 설명

그룹의 아이덴티티 요소는 아이덴티티 순열에 해당한다.다른 모든 그룹 요소는 변칙에 해당한다. 어떤 요소도 변하지 않는 순열.이것은 또한 그 원소의 순서보다 낮은 그룹 요소의 힘에도 적용되므로, 각 원소는 같은 길이의 사이클로 구성된 순열에 해당한다. 이 길이는 그 원소의 순서다.각 주기의 원소는 원소에 의해 생성된 부분군의 우측 코세트를 형성한다.

정규 그룹 표현 예제

Z₂ = 추가 모듈로 2가 있는 {0,1}, 그룹 요소 0은 ID 순열 e, 그룹 요소 1과 순열(12)에 해당한다. 예: 0 +1 = 1 및 1+1 = 0, 따라서 1 -> 0과 0 -> 1과 같다.

Z₃ = 추가 모듈로 3이 포함된 {0,1,2}, 그룹 요소 0은 ID 순열 e에 해당하며 그룹 요소 1은 순열(123), 그룹 요소 2는 순열(132)에 해당한다.예: 1 + 1 = 2는 (123)(123)=(132)에 해당한다.

Z₄ = 추가 모듈로 4가 있는 {0,1,2,3}. 원소는 e, (1234), (13)(24), (1432)에 해당한다.

클라인 4그룹 {e, a, b, c}의 원소는 e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)에 해당한다.

S₃(순서 6의 직위군)는 3개 객체의 모든 순열의 그룹이지만, 또한 6개 그룹 요소의 순열 그룹이며, 후자는 그 규칙적인 표현에 의해 실현되는 방식이다.

*	e	a	b	c	d	f	순열
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

더 일반적인 진술

정리: $G$ 를 집단이 되게 하고, $H$ 를 집단이 되게 한다. $G/H$ / $G/H$ $G/H$ 을(를) $G$ 에서 $H$ 의 왼쪽 코세트의 집합으로 $G/H$ 하고, $N$ 을 $G$ 에서 $H$ 의 일반 코세트로 하며, $G$ 에서 $H$ 의 결합체의 교차점으로 정의한다.그러면 지수 $G/N$ $G/N$ / N $G/N$ 이( $\operatorname {Sym} (G/H)$ ) $\operatorname {Sym} (G/H)$ $\operatorname {Sym} (G/H)$ ( G $\operatorname {Sym} (G/H)$ / $\operatorname {Sym} (G/H)$ ) $\operatorname {Sym} (G/H)$ 의 하위 그룹과 이형성이 된다 $G/N$ $\operatorname {Sym} (G/H)$

특수 케이스 $H=1$ = $H=1$ $H=1$ 은 케이리의 원래 정리다 $H=1$ .

참고 항목

바그너-프레스턴 정리(Wagner-Preston organization)는 역세미그룹에 대한 아날로그적 정리
비르코프의 표현 정리, 순서 이론에서도 비슷한 결과
Frucht의 정리, 모든 유한 집단은 그래프의 오토모피즘 그룹이다.
범주론에서 케일리의 정리를 일반화한 요네다 보조정리
표현 정리

메모들

^ 제이콥슨(2009, 페이지 38)
^ 제이콥슨(2009년, 페이지 72년, 전 1년)
^ Peter J. Cameron (2008). Introduction to Algebra, Second Edition. Oxford University Press. p. 134. ISBN 978-0-19-852793-0.
^ Johnson, D. L. (1971). "Minimal Permutation Representations of Finite Groups". American Journal of Mathematics. 93 (4): 857–866. doi:10.2307/2373739. JSTOR 2373739.
^ Grechkoseeva, M. A. (2003). "On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups". Siberian Mathematical Journal. 44 (3): 443–462. doi:10.1023/A:1023860730624. S2CID 126892470.
^ J. L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Springer. p. 29. ISBN 978-0-387-94525-5.
^ Burnside, William (1911), Theory of Groups of Finite Order (2 ed.), Cambridge, p. 22, ISBN 0-486-49575-2
^ Jordan, Camille (1870), Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars
^ Nummela, Eric (1980), "Cayley's Theorem for Topological Groups", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608
^ Cayley, Arthur (1854), "On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1", Philosophical Magazine, 7 (42): 40–47
^ von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien" [Group-theoretical Studies], Mathematische Annalen, 20 (1): 30, doi:10.1007/BF01443322, hdl:2027/njp.32101075301422, ISSN 0025-5831, S2CID 179178038. (독일어로)
^ Burnside, William (1897), Theory of Groups of Finite Order (1 ed.), Cambridge, p. 22
^ 제이콥슨(2009, 페이지 31)

참조

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.

[1] 제이콥슨(2009, 페이지 38)

[2] 제이콥슨(2009년, 페이지 72년, 전 1년)

[Cameron2008-3] Peter J. Cameron (2008). Introduction to Algebra, Second Edition. Oxford University Press. p. 134. ISBN 978-0-19-852793-0.

[4] Johnson, D. L. (1971). "Minimal Permutation Representations of Finite Groups". American Journal of Mathematics. 93 (4): 857–866. doi:10.2307/2373739. JSTOR 2373739.

[5] Grechkoseeva, M. A. (2003). "On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups". Siberian Mathematical Journal. 44 (3): 443–462. doi:10.1023/A:1023860730624. S2CID 126892470.

[AlperinBell1995-6] J. L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Springer. p. 29. ISBN 978-0-387-94525-5.

[7] Burnside, William (1911), Theory of Groups of Finite Order (2 ed.), Cambridge, p. 22, ISBN 0-486-49575-2

[8] Jordan, Camille (1870), Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars

[9] Nummela, Eric (1980), "Cayley's Theorem for Topological Groups", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608

[10] Cayley, Arthur (1854), "On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1", Philosophical Magazine, 7 (42): 40–47

[11] von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien" [Group-theoretical Studies], Mathematische Annalen, 20 (1): 30, doi:10.1007/BF01443322, hdl:2027/njp.32101075301422, ISSN 0025-5831, S2CID 179178038. (독일어로)

[12] Burnside, William (1897), Theory of Groups of Finite Order (1 ed.), Cambridge, p. 22

[13] 제이콥슨(2009, 페이지 31)

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