서프 이론

수학에서 특이점 이론과 미분위상의 결합에서 Cerf 이론은 매끄러운 실제 가치 함수의 가족을 연구하는 학문이다.

$\displaystyle f\colon M\to \mathb {R}}$

부드러운 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서$,$ 이들의 일반적인 특이점 및 서브스페이스의 토폴로지는 기능 공간의 하위공간으로 정의된다.이 이론은 1960년대 후반에 그것을 시작한 장 세르프의 이름을 따서 지어졌다.

예

Marston Morse는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 콤팩트하다면${\displaystyle ,}$ 모든 부드러운 $함수{\displaystyle }$ f :${\displaystyle M}$ → ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$f\$colon$M\$to \mathb {R}은($는) Morse 함수에 의해 근사치가 될 수 있음을$$ 증명했다.따라서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 임의 함수를 Morse 함수로 대체할$$ 수 있다.

다음 단계로, '모스 기능에서 시작하고 끝나는 한 가지 변수 기능 가족이 있다면, 온 가족이 모스라고 가정할 수 있는가?'라고 물을 수 있다.일반적으로 대답은 '아니오'이다.예를 들어, $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 주어진$$ 단일 변수 함수군을 고려하십시오.

${\displaystyle f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx.}$

$t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t=-1$에는 임계점이 없지만, $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t=1$ $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$에 임계점이 두 개 있는 Morse 함수다$.$

Cerf는 두 Morse 함수 사이의 단일 변수 함수 집단은 Morse인 함수 집단에 의해 근사치가 될 수 있지만 거의 퇴보된 횟수는 많지 않다는 것을 보여주었다.$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle t=0}$에서$$$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t=$0}이$$(가) 증가함에 따라 지수 0과 지수 1 임계점이 생성되는 위 예에서와 같이 퇴보에는 임계 지점의 출생/사망 전환이 수반된다.

무한차원 공간의 층화

Returning to the general case where ${\displaystyle M}$ is a compact manifold, let ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)}$ denote the space of Morse functions on ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ the space of real-valued smooth functions on ${\displa$$ystyle M$ Morse는 ${\displaystyle \mathrm{Morse}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathrm{Func}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {M)\subset \operatorname {Func} (M)}}$이(가) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\ft}$위상에서의$$ 개방적이고 밀도인 것을 증명했다.

직관의 목적으로, 여기에 비유가 있다.${\displaystyle \mathrm{Func}(}$ (${\displaystyle M}$)$${\$displaystyle \operatorname {Func} (M)}$의 계층화에서 Morse 기능을 최상위 오픈 계층으로 생각해 보십시오($$우리는 그러한 계층화가 존재한다고 주장하지는 않지만, 한 계층이 존재한다고 가정한다).층화된 공간에서는 공차원 0 개방 층이 개방되고 밀도가 높다는 점에 유의하십시오.공칭적 목적을 위해, 층화된 공간의 성층 지수화를 위한 규약을 뒤집고, 개방된 층계를 치수가 아닌 공차원으로 지수화한다.이것은 ${\displaystyle \mathrm{Func}}$ ${\displaystyle }$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$은(는) M$${\$displaystyle M$}이$$(가) 유한 집합이 아닐 경우 무한 차원이기$$ 때문에 편리하다.가정으로 ${\displaystyle \mathrm{Func}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$의 개방형 공차원 0 계층은$$ ${\displaystyle \mathrm{Morse}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {M$ 즉:${\displaystyle \mathrm{펑크}(M}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Morse}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Func}^{0}=\operatorname {M)$ . 층화된$공간$ X ${\displaystyle X$에서는 $자주{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{0}$이 분리된다$.$공차원 1층 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 필수 속성은 ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$에서 시작하고 끝나는 X$$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 모든 경로가 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{$1}을 가로지르는$$ 경로로 근사할 수 있으며$$, 여러 점에서 교차하지 않는다는 것이다$$.${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ $X$$^{i}:$ > 1 ${\displaystyle$ i$>1$

따라서 Cerf 이론은 ${\displaystyle \mathrm{Funk}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Funk}$($M)},$ 즉$:$${\displaystyle \mathrm{Func}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M{}^{}}$) ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ > ${\displaystyle$ i$>0$의 경우

${\displaystyle f_{}{t}_{}}$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=x^{3}-tx$

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$에만 Morse가 아닌 함수가 있으며

${\displaystyle f_{0}(x)=x^{3}}}$

출생/사망 전환에 해당하는 입방체 퇴화 임계점을 가진다.

단일 시간 매개변수, 정리 설명

The Morse Theorem asserts that if ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ is a Morse function, then near a critical point ${\displaystyle p}$ it is conjugate to a function ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ of the form

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}}=f(p)+\epsilon _{1}^{1}^{1}^{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\epsb +\epsilon _{n}^{n}2}}:$

여기서 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}\in \{}$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \\pm$ 1$\backslash \}\}.$

Cerf의 1-모수 정리는 공차원 1계층의 본질적인 속성을 주장한다.

Precisely, if ${\displaystyle f_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ is a one-parameter family of smooth functions on ${\displaystyle M}$ with ${\displaystyle t\in [0,1]}$, and ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ Morse, then there exists a smooth one-parameter family ${\displaystyle F_t:M\to }$${\displaystyle F_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}}$, ${\displaystyle F}$ is uniformly close to ${\displaystyle f}$ in the ${\displaystyle C^{k}}$-topology on functions ${\displaystyle M\times [0,1]\$$\mathbb {R}$$}. 더구나$ ${\displaystyle F_{}}$ t ${\$는 거의 모스(Morse)이다$$.비 Morse 시간에는 함수가 퇴보 $임계점{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$을(를) 하나만 가지며$,$ 그 지점 ${\displaystyle {근처}_{}}$에는 F$$t {\$displaystyle F_{$t}가 패밀리에 결합된다$$.

${\displaystyle g_{t}(x_{1},x_{2}},\dotsc ,x_{n}}=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}x_{1}+\{1}+{2}x_{2}^{2}+}+\epsilon _{n}:{n}2}}:$

where ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]}$. If ${\displaystyle \epsilon _{1}=-1}$ this is a one-parameter family of functions where two critical points are created (as ${\displaystyle t}$ increases), and for ${\displaystyle \epsilon _{1}=1}$2개의 임계점이 파괴되는 1개의 기능 계열이다.

오리진스

$S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}$에 대한 PL-Chenipples 문제는 1924년 J. W. Alexander에 의해 해결되었다$$.그의 증거는 모스와 에밀리오 바이아다에 의해 매끄러운 사건에 각색되었다.^[1]필수 속성은 S ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 모든 방향 보존 차이점형성이 $S$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$isot R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $^{2}\subset \mathb {R} ^{3$에 대한 쇤파리 정리의 1-모수 확장인 것으로 ^[2]보여지는 정체성에 동위원소임을 증명하기 위해 Cerf가 사용했다.${\displaystyle \mathrm{당시}}$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$은(는) 차등 위상에 광범위한 영향을 미쳤다.본질적인 성질은 나중에 세르프가 고차원 단순 연결 다지관에 대한 의사 이소토피 정리를^[3] 증명하기 위해 사용하였다.그 증명은 스테판 스마일의 h-코보르디즘 정리(스마일의 증명서를 기능적 틀에 다시 쓴 것은 모스가 한 것이고, 존 밀너와^[4] 세르프, 안드레 그라민, 베르나르^[5] 모린이 르네 톰의 제안에 따라 한 것이다.

Cerf의 증거는 Thom과 John Mather의 작품 위에 세워졌다.^[6]그 시기의 톰과 매더의 작품을 현대적으로 유용하게 요약한 것이 마티 골루비츠키와 빅토르 빌레민이다.^[7]

적용들

위에서 언급한 응용 프로그램 외에도 로비온 커비는 커비 미적분학을 정당화하는 핵심 단계로 서프 이론을 사용했다.

일반화

부드러운 지도 공간${\displaystyle }${${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}\}}$ ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathb {R}$\}}}의 무한 공차원 하위 공간의 층화가 결국 프랜시스 세르게르트에 의해 개발되었다$$.^[8]

70년대 동안, non-simply 연결되어 manifolds의 pseudo-isotopies의 분류 문제 앨런 해처와 존 Wagoner,[9]에 의해 π에 대수적 K나는{\displaystyle K_{나는}}-obstructions 1M{\displaystyle \pi_{1}M}(나는 2{\displaystyle i=2원})과 π 2M{\displaystyle \pi_{발견 해결되었다.2}M$}($${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i=1$}$$$)$ 및 이구사 기요시가 ${\displaystyle {by\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \pi _{1}M}($${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaysty$ i$=3})$에서 유사한 성격의 장애물을 발견함.$$^[10]

참조