문자(수학)

수학에서 문자는 집단에서 한 분야(복잡한 숫자와 같은)에 이르는 특수한 종류의 함수다. 적어도 두 가지 뚜렷하지만 중복되는 의미가 있다.^[1] "캐릭터"라는 단어의 다른 용어는 거의 항상 적격이다.

곱셈 문자

그룹 G의 승수 문자(또는 선형 문자, 또는 단순 문자)는 G에서 한 필드의 승수 그룹(Artin 1966)에 이르는 집단 동형상이며, 보통 복잡한 숫자의 분야다. 만약 G가 어떤 그룹이라면, 이러한 형태론의 집합 Ch(G)는 점의 곱셈 아래 아벨 그룹을 형성한다.

이 집단을 G의 문자 집단이라고 한다. 때때로 단일한 문자만 고려된다(즉, 이미지가 단위 원 안에 있다). 다른 동음이의어는 준문자라 한다. 디리클레 문자는 이 정의의 특별한 경우로 볼 수 있다.

Multiplicative characters are linearly independent, i.e. if ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ are different characters on a group G then from ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2$$}\chi _{2}+\reason +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle {뒤}_{}}$에${\displaystyle {}_{}}$1 = ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$ =${\displaystyle }$n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ = n = 0 ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0$ .

표현 특성

The character ${\displaystyle \chi :G\to F}$ of a representation ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ of a group G on a finite-dimensional vector space V over a field F is the trace of the representation ${\displaystyle \phi }$ (Serre 1977), i.e.

${\displaystyle {\chi }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}g}$)${\displaystyle }$= $Tr{\displaystyle }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \varphi }$ ( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr}(\phi (g)}:$ ${\displaystyle \mathrm{g<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash chi\; \_\{\backslash phi\; \}(g)=\backslash operatorname\; \{Tr\}\; (\backslash phi\; (g))\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9c8d97e634bec1f0ba02c4a12e4d9fb2ca71a022"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:17.4ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="68">}}$ ${\displaystyle \in }$ G$${\$displaysty g\in G}$

일반적으로 추적은 집단 동형성이 아니며, 추적의 집합이 집단을 형성하는 것도 아니다. 1차원 표현 문자는 1차원 표현과 동일하기 때문에 위의 곱셈 문자의 개념은 고차원 문자의 특수한 경우로 볼 수 있다. 문자를 이용한 표현 연구를 '문자론'이라 하고, 1차원 문자를 이 맥락 안에서 '선형 문자'라고도 한다.

대체 정의

If restricted to finite abelian group with ${\displaystyle 1\times 1}$ representation in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (i.e. ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$), the following alternative definition would be equivalent to the above (For abelian groups, every 행렬 표현은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle 1\properties 1}$개의$$ 직접적인 합으로 분해된다$.$ 비-아벨라 그룹의 경우 원래 정의는 이 정의보다 더 일반적일 것이다.

A character ${\displaystyle \chi }$ of group ${\displaystyle (G,\cdot )}$ is a group homomorphism ${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$ i.e. ${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$ for all ${\displaystyle x,y\in G.}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한한 아벨 그룹이라면 문자는 고조파 역할을 한다. 무한 아벨리아 그룹의 경우 위 내용은 ${\displaystyle \chi }$: ${\displaystyle G\mathbb{}}$→ T ${\$로 대체되며, $여기$서 T ${\$은(으) 원 그룹이다.

참고 항목

• 캐릭터 그룹
• 디리클레 문자
• 하리쉬찬드라 캐릭터
• 헤케 문자
• 최소 문자
• 교대 문자
• 특성화(수학)
• 폰트랴긴 이중성

참조

• Artin, Emil (1966), Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, number 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 노트르담 대학교에서 강의한 내용
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 42, Translated from the second French edition by Leonard L. Scott, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, MR 0450380

외부 링크

• "Character of a group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Character of a group representation". PlanetMath.