특성(대칭)

수학에서, 종종 char(R)로 표기되는 링 R의 특성은 가법적 항등식(0)을 얻기 위해 합계에서 링의 곱셈 항등식(1)을 사용해야 하는 최소 횟수로 정의된다.이 합계가 가법 항등식에 도달하지 않으면 링은 특성 0을 갖는다고 합니다.

즉, char(R)는 다음과 ^{[1](p 198, Thm. 23.14)}같이 최소 양의 수 n입니다.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{nsubmands}}=0}$

이러한 숫자 n이 존재할 경우, 그렇지 않을 경우 0이 됩니다.

동기

특성 0의 특별한 정의는 특성 0을 별도로 고려할 필요가 없는 다음 절에서 특징지어지는 동등한 정의에 의해 동기 부여된다.

특성은 링의 가법군의 지수, 즉 다음과 같은 ^{[1](p 198, Def. 23.12)}최소 양의 정수 n으로 간주할 수도 있다.

${\displaystyle\underbrace {a+\cdots +a}_{nsubmands}}=0}$

링의 모든 요소 a에 대해(n이 존재하는 경우 다시, 0).일부 저자는 곱셈 항등성 요소를 링 요건에 포함하지 않으며(승수 항등성 및 용어 "링" 참조), 이 정의는 이 규칙에 적합하다. 그렇지 않으면 링의 분배 법칙 때문에 두 정의가 동일하다.

동등한 특성화

• 특성은 자연수 n이며, n $(\$는 Z$(\$에서 R(^[a]R)까지의 고유한 링 동형상의 커널이다.
• 특성은 R이 위의 동형상의 이미지인 $인자{\displaystyle \mathbb{}}$ 링 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$Z { $displaystyle \mathbb {Z}$ / $n\mathbb {Z}$ $\}$와 서브링을 포함하는 자연수 n이다.
• 음이 아닌 정수 {0, 1, 2, 3, ...}은(는) 부분적으로 나눗셈으로 정렬된 다음 1이 가장 작고 0이 가장 큽니다.고리의 특성은 n ≤ 1 = 0인 n의 가장 작은 값이다. 만약 0보다 "소수"가 충분하지 않다면, 특성은 0이다.이것은 char(A × B)가 char A와 char B의 최소공배수이고 char B가 char A를 나누지 않는 한 어떤 링 동형 f : A → B도 존재하지 않는다는 사실 때문에 적절한 부분 순서이다.
• 링 R의 특성은 문장이 ka = 0인 경우 k가 n의 배수임을 의미한다.

링의 경우

만약 R과 S가 고리이고 R → S가 존재한다면, S의 특성은 R의 특성을 나눈다.이것은 때때로 특정 링 동형의 가능성을 배제하기 위해 사용될 수 있습니다.특성 1을 가진 유일한 링은 0의 링으로, 단일 요소 0 = 1을 가집니다. 중요하지 않은 링 R에 중요하지 않은 제수가 없는 경우, 그 특성은 0 또는 소수입니다.특히 이는 모든 필드, 모든 통합 도메인 및 모든 분할 링에 적용됩니다.특성 0의 링은 모두 무한합니다.

${\displaystyle 정수}$ 모듈로 n의 $링{\displaystyle \mathbb{}}$Z / n$$ \$style \mathbb {Z}$ /$n\mathbb {Z}$는$$특성 n을 가진다.R이 S의 서브링이면 R과 S는 같은 특성을 가진다.${\displaystyle {}_{}}$를 들어 p가 소수이고 q(X)가 $field{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p {\$displaystyle \mathbb {F} _{p}$_{p}}_{p${\displaystyle {}_{}}$_$${p}}_{displaystyle$\mathbb$ {$F}[X]/(Q)\displaystyle$ \mathbb {P}_$$${p$}_{p}_{p}_{p}_{p}}}_}_{p}_{p}}}}_{x}}}}_{disc}}}$\_{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}${{displaysty}}또 다른 예는 다음과 같습니다.복소수 필드 C$(\$에는$$Z(\$displaystyle \mathbb {Z$가 $포함$되어 있으므로 C$(\$의 $특성$은 0입니다.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$Z \ $displaystyle$\ $mathbb { Z }$ / n \ $mathbb${ Z$$} - 대수는$$ 특성이 n으로 분할되는 환이다.이는 모든 링 R에 대해 링 $동형사상{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle \mathbb {Z$ \$to$R이 존재하며, 이 맵은 R의 특성이 n으로 분할되는 경우에만${\displaystyle }$Z / ${\displaystyle n\mathbb{}}$Z \$displaystyle \mathbb {Z}$ / $n\mathb {Z}$를 $통해{\displaystyle \mathbb{}}$ 인자를 매핑하기 때문입니다.이 경우 링 내의 임의의 r에 대해 r을 n회 더하면 nr =0이 됩니다.

가환환 R이 주요 특성 p를 갖는다면, R의 모든 요소 x와 y에 대해 ^p (x ^p+ y) = x ^p + y가 됩니다. 즉, 일반적으로 부정확한 "가환의 꿈"은 검정력 p에 대해 유지됩니다.f(x) = x ^p 지도는 링 동형사상 R → R을 정의한다. 이것은 프로베니우스 동형사상이라고 불린다.R이 통합 도메인인 경우 주입식입니다.

필드의 경우

전술한 바와 같이 어느 필드의 특성도 0 또는 소수입니다.특성이 0이 아닌 필드는 유한 특성 또는 양의 특성 또는 주요 특성을 가진 필드라고 불립니다.특성이 0이면 1이 되고 그렇지 않으면 ^[2]특성과 동일한 값을 갖는다는 점을 제외하고 특성 지수는 유사하게 정의됩니다.

모든 필드 F에는 프라임 필드라고도 불리는 고유한 최소 서브필드가 있습니다.이 서브필드는 소수의 유리수 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$Q(\$displaystyle \mathbb {Q})$ 또는$$ 유한 $필드{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ $(\$와 동형입니다.동일한 특성을 가진 두 개의 주요 장은 동형이며, 이 동형성은 독특하다.즉, 각 특성에는 본질적으로 고유한 소수장이 존재한다.

특성 0의 필드

특성 0의 가장 일반적인 필드는 복소수의 하위 필드입니다.p-adic 필드는 수 이론에서 널리 사용되는 특징적인 제로 필드입니다.그들은 복소수와는 매우 다른 절대값을 가지고 있다.

임의의 순서 필드에 대해 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$Q(\$displaystyle \mathbb${Q$$$})$ 필드 또는 실수$R{\displaystyle \mathbb{}}$(\$displaystyle \mathbb {R$ 필드로서 특성은 0입니다.따라서, 모든 대수적 수 필드 및 $복소수{\displaystyle \mathbb{}}$C의 필드(\$displaystyle \mathbb {C} })$는 특성 0이다.

주요 특성 분야

유한장 GF(p ⁿ)는 특성 p를 가진다.

주요 특성의 무한한 분야가 존재한다.$예$를 들어 Z ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle p\mathbb{}}$Z 위의 $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ $유리함수$ 필드$(\displaystyle \mathbb$ {$Z$$}$ /$p\mathbb$ {$Z}$$),$${\displaystyle }$Z$$/ $\mathbb$ {Z$}$의 대수적$$ 닫힘 또는 공식 Laurent $시리즈{\displaystyle \mathbb{}}$Z / ${\displaystyle p\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$($)$의 $필드$(\$mathbb)$가 있습니다.

소수 특성 p의 유한 고리의 크기는 p의 거듭제곱이다.이 경우 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p\mathbb{}}$Z (\$displaystyle$ \$mathbb {Z}$ /$p\mathbb {Z$$} })$를 $포함$하므로 이 필드 위의 벡터 공간도 벡터 공간이며 선형 대수에서 유한 필드 위의 유한 벡터 공간의 크기가 필드 크기의 거듭제곱임을 알 수 있습니다.이것은 또한 유한 벡터 공간의 크기가 ^[b]소수라는 것을 보여준다.

메모들

레퍼런스

원천