원을 그리며 포장

원 안의 원 패킹은 단위 원을 가능한 가장 작은 원 안으로 패킹하는 것을 목적으로 하는 2차원 패킹 문제다.

해결책 표, 1 ≤ n ≤ 20

등가 용액이 두 개 이상 존재하는 경우 모두 표시된다.^[1]

수 유닛 서클	동그라미 반지름 둘러보기	밀도	최적성
1	1	1.0000	소소하게 최적임.
2	2	0.5000	소소하게 최적임.
3	$1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$ + $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$ $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$ ${\$ sqrt{3}}}}}{{\ $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$ sqrt 2.13}}}	0.6466...	소소하게 최적임.
4	$1+{\sqrt {2}}$ + $1+{\sqrt {2}}$ ${\$ 1 $+{\sqrt{2$ }} $1+{\sqrt {2}}$ ≈ $1+{\sqrt {2}}$ 2.414...	0.6864...	소소하게 최적임.
5	${\$ $}}}$ ≈ 2.701...	0.6854...	소소하게 최적임. 또한 Graham에 의해 최적으로 증명되었다. (1968)^[2]
6	3	0.6666...	소소하게 최적임. 또한 Graham에 의해 최적으로 증명되었다. (1968)^[2]
7	3	0.7777...	소소하게 최적임.
8	${\$ $}}}$ ≈ 3.304...	0.7328...	Pirl에 의해 최적으로 입증됨 (1969)^[3]
9	${\$ $}}}$ ≈ 3.613...	0.6895...	Pirl에 의해 최적으로 입증됨 (1969)^[3]
10	3.813...	0.6878...	Pirl에 의해 최적으로 입증됨 (1969)^[3]
11	${\$ $}}}$ ≈ 3.923...	0.7148...	Melissen에 의해 최적으로 입증됨 (1994)^[4]
12	4.029...	0.7392...	표도르에 의해 최적으로 입증됨 (2000)^[5]
13	$2+{\sqrt {5}}$ + $2+{\sqrt {5}}$ ${\$ 2 $+{\sqrt{5}}$ ≈ $2+{\sqrt {5}}$ 4.19...	0.7245...	표도르에 의해 최적으로 입증됨 (2003)^[6]
14	4.328...	0.7474...	골드버그의 추측 최적 (1971).^[7]
15	$1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ + $1$ + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ${\sqrt {6+{\sqrt{5}}}}{\sqrt{1+{\sqrt{5}}}}}}}}}}{\sqrt$ {{\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} $1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$	0.7339...	Pirl에 의한 최적의 추측 (1969).^[7]
16	4.615...	0.7512...	골드버그의 추측 최적 (1971).^[7]
17	4.792...	0.7403...	레이스에 의한 추측 최적 (1975).^[7]
18	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ + $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ + $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ${\$ 1 $+{\sqrt{2}}+{\$ sqrt ${6}}$ $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 4. $863$ ...	0.7609...	Pirl에 의한 최적의 추측, Graham, Lubachevsky, Nurmela, 그리고 Eusterghtrd (1998년)의 추가 준비로.^[7]
19	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ + $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ + $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ${\$ 1 $+{\sqrt{2}}+{\$ sqrt ${6}}$ $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 4. $863$ ...	0.8034...	표도르에 의해 최적으로 입증됨 (1999)^[8]
20	5.122...	0.7623...	골드버그(1971년)에 의해 최적으로 추측되었다.^[7]

특수 케이스

26개의 최적 패킹만이 경직된 것으로 간주된다(원형을 "래틀 수 있는" 동그라미가 없다). 굵은 글씨로 된 숫자는 소수:

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 19에 대해 입증됨
n = 14, 15, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 31, 33, 37, 61, 91에 대한 추정

이 중 n = 2, 3, 4, 7, 19 및 37용 솔루션은 1보다 큰 패킹 밀도를 달성한다. (밀도 기록이 높을수록 래틀이 발생한다.)^[9]

참고 항목

디스크 커버링 문제

참조

^ Friedman, Erich, "Circles in Circles", Erich's Packing Center, archived from the original on 2020-03-18
^ ^a ^b R.L. Graham, 주어진 최소 분리가 있는 점 집합(문제 El921에 대한 해결), Amer. 수학. 월 75 (1968) 192-193.
^ ^a ^b ^c U. Pirl, Der Mindstab von n in Der Einheitskreisscheibe Gelegen Punkten, Matheatische Nachrichten 40 (1969년) 111-124.
^ H. 멜리센, 11개의 응집 원들을 원을 그리며 묶은 밀스스트 포장, 기하학적 디디카타 50 (1994) 15-25.
^ F. F. Forder, 원 안의 12개의 응집 원들의 밀도 포장, Beitrége zur 대수학과 기하학, 대수학과 기하학에 대한 기여 41 (2000) ?, 401–409.
^ F. 포더, 원 안의 13개의 응집 원들의 밀도 포장, Beitrége zur 대수학과 기하학, 대수학과 기하학에 대한 기여 44 (2003) 2, 431–440.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. 원을 그리며 빽빽하게 연결된 원들이 모여 있다. 이산 수학 1998;181:139–154.
^ F. F. Fordor, The Densest Packing in a Circle, Geom. 19 congruent Circles in a Circle, Geom. 데디카타 74(1999), 139–145.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A084644". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

외부 링크

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[:0-1] Friedman, Erich, "Circles in Circles", Erich's Packing Center, archived from the original on 2020-03-18

[Graham68-2] R.L. Graham, 주어진 최소 분리가 있는 점 집합(문제 El921에 대한 해결), Amer. 수학. 월 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] U. Pirl, Der Mindstab von n in Der Einheitskreisscheibe Gelegen Punkten, Matheatische Nachrichten 40 (1969년) 111-124.

[Melissen-4] H. 멜리센, 11개의 응집 원들을 원을 그리며 묶은 밀스스트 포장, 기하학적 디디카타 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. F. Forder, 원 안의 12개의 응집 원들의 밀도 포장, Beitrége zur 대수학과 기하학, 대수학과 기하학에 대한 기여 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-6] F. 포더, 원 안의 13개의 응집 원들의 밀도 포장, Beitrége zur 대수학과 기하학, 대수학과 기하학에 대한 기여 44 (2003) 2, 431–440.

[Graham98-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. 원을 그리며 빽빽하게 연결된 원들이 모여 있다. 이산 수학 1998;181:139–154.

[Fodor3-8] F. F. Fordor, The Densest Packing in a Circle, Geom. 19 congruent Circles in a Circle, Geom. 데디카타 74(1999), 139–145.

[9] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A084644". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

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