군집 대수

클러스터 알제브라는 포민과 젤레빈스키(2002년, 2003년, 2007년)가 도입한 교화반지의 일종이다.n등급의 군집 대수학은 통합 영역 A이며, 조합이 대수 A를 생성하고 다양한 조건을 만족하는 군집이라고 불리는 군집이라고 불리는 군집 n의 일부 하위 집합과 함께 통합 영역 A이다.

정의들

F가 합리적인 숫자 Q에 대한 n 변수의 합리적 함수의 필드 Q(x₁, ...,x_n)와 같은 통합 영역이라고 가정해 보자.

n등급 군집은 n개 요소 집합 {x, y, ...로 구성된다.F의 }개, 일반적으로 필드 확장 F의 생성자 대수적으로 독립된 집합으로 가정한다.

시드는 클러스터 {x, y, ...로 구성된다.F의 }과(와) 클러스터의 x, y 요소 쌍에 의해 색인화된_x,y 정수 항목이 있는 교환 행렬 B.행렬은 때때로 모든 x와 y에 대해_x,y b = –b가_y,x 되도록 스큐 대칭으로 가정된다.더 일반적으로 행렬은 스큐 대칭성이며, 이는 모든 x와 y에 대해 db_xx,y = –db와_yy,x 같은 클러스터의 요소와 관련된_x 양의 정수가 있음을 의미한다.이 숫자가 양수일 경우 b 화살표를_x,y x에서 y로 그려서 생성 집합의 정점을 가진 부침으로 씨앗을 그리는 것이 일반적이다.b가_x,y 대칭으로 기울어질 경우, 떨림에는 루프나 2 사이클이 없다.

종자의 돌연변이는 성단의 정점 y의 선택에 따라 다음과 같이 기울어지는 일반화에 의해 주어지는 새로운 씨앗이다.군집의 모든 x에 대해_x,y b와_y,x b의 값을 교환한다.b_x,y > 0과 b_y,z > 0이면 bb_x,zx,yy,z + b로_x,z, b < 0과_x,yy,z b < 0이면 b를 -bb_x,zx,yy,z + b로_x,z, b_x,yy,z ≤ 0이면 b를_x,z 바꾸지 않는다.마지막으로 y를 새 제너레이터 w로 교체하십시오.

${\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}0}t^{b_{t,y}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}}}}$

여기서 제품은 각각_t,y b가 양 또는 음이 되도록 씨앗의 군집의 요소 t를 통과한다.돌연변이의 역행 역시 돌연변이다. 즉, A가 B의 돌연변이라면 B는 A의 돌연변이다.

군집 대수학은 초기 씨앗에서 다음과 같이 구성된다.우리가 씨앗을 모든 가능한 방법으로 반복적으로 변이하면 유한하거나 무한의 씨앗 그래프를 얻게 되는데, 한 씨앗을 다른 씨앗을 변이하여 얻을 수 있다면 두 씨앗이 가장자리로 결합된다.군집 대수학의 기초 대수학은 이 그래프에 있는 모든 씨앗의 모든 군집들에 의해 생성된 대수다.군집 대수학도 이 그래프의 씨앗에 대한 추가적인 구조와 함께 나온다.

군집대수는 한정된 수의 씨앗만 가지고 있다면 유한한 유형이라고 한다.포민 & 젤레빈스키(2003)는 유한형의 성단 알헤브라는 유한차원 단순 리 알헤브라의 다인킨 도표 관점에서 분류할 수 있다는 것을 보여주었다.

예

1등급의 군집 알헤브라

{x}이(가) 순위 1의 시드 클러스터인 경우 유일한 돌연변이가 이를 {2x⁻¹}(으)로 가져간다.그래서 1등급의 군집 대수학은 로랑 다항식의 링 k[x,x⁻¹]에 불과하며, {x}과 {2x⁻¹}의 군집만 가지고 있다.특히 유한형이며 Dynkin 도표 A와₁ 연관되어 있다.

군집 알제브라 2위

클러스터 {x₁, x₂}에서 시작하여 b₁₂ = –b₂₁ = 1을 사용한 교환 행렬을 취한다고 가정합시다.그런 다음 돌연변이는 변수 x₁, x₃, x₂, x₄...의 시퀀스를 제공하므로 군집은 인접한_n 쌍 {x_n+1, x}에 의해 주어진다.변수들은 다음에 의해 연관되어 있다.

${\displaystyle \displaystyle x_{n-1}x_{n+1}=1+x_{n}}$

순서에 의해 주어지는 것 또한 그렇다.

${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}={\frac {1+x_{2}}:{x_{1},\x_{4}={1+x_{3}={\frac {1+x_{3}}}{x_{2}}={\frac {1+x_{1}+x_{2}}}{x_{1}x_{2}}:}}$

${\displaystyle x_{5}={\frac {1+x_{4}}{x_{3}}={\frac{1+x_{1}:{1}:{x_{2}}:\x}}={\frac{1+x_{5}}}{4}}}}}}}}}{7}}={1+x_{6}}}={x_{5}}}}}}}}}}}}}x_{{{{{{{{{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

5주기와 함께 반복된다.그래서 이 군집 대수학에는 정확히 5개의 군집이 있고, 특히 유한한 유형이 있다.그것은 Dynkin 도표 A와₂ 연관되어 있다.

군집 변수의 유사 시퀀스가 6 또는 8 기간에 반복되는 b₁₂ = 1, –b₂₁ = 2 또는 3과 유사한 예가 있다.이것들은 또한 유한한 타입이며, Dynkin 도표 B와₂ G와₂ 연관되어 있다.그러나 bb₁₂₂₁ bb 4이면 군집 변수의 순서는 주기적이지 않고 군집 대수형은 무한형이다.

군집 알제브라 3위

떨림₁ x → x → x부터₂₃ 시작한다고 가정합시다.그 다음 14개 군집은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}:{x_{1}},x_{2},x_{3}\right\}}}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}}{x_{2}}:x_{3}\right\}}}$

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}:{x_{3}}\오른쪽\}}}}}$

${\displaystyle \left\{\frac {1+x_{2}}:{x_{1}{1}+(1+x_{2}x_{3}}}{x_{1}x_{1}:{1}{1}x_{2}}:x_{3}\right\}}}}}}}}}$

${\displaystyle \left\{\frac {1+x_{2}}:{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}:{x_{3}}\오른쪽\}}}}}}$

${\displaystyle \left\{\frac {x_{1}++(1+x_{2})++{3}{3}{x_{1}x_{2}},{\frac {x_{1}+x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}}}}}}, {3}}}{x_{2}}:x_{3}\right\}}}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}}{x_{2}}:{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}}{x_{2}x_{3}}}\오른쪽\}}}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}:{x_{3}}\오른쪽\}}}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{1+x_{2}}:{x_{1},{\frac {(1+x_{2}x_{1}+x_{3}}{3}}{x_{1}x_{3}}}},{\frac {1+x_{3}}}}}}}}}}}오른쪽},$

${\displaystyle \left\{\frac {x_{1}++(1+x_{2})++{3}{3}{x_{1}x_{2}},{\frac {x_{1}+x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}}}}}}, {3}}}}{x_{2}}:{\frac {(1+x_{2}}x_{1}+(1+x_{2}}x_{3}}}}}{3}}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}}\right\}}}}}}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}x_{3}{x_{3}{x_{1}x_{{1}x_{3}}}}{\frac {x_{1}+x_{3}}}}}, {\frac {x_{3}}}{x_{2}}:{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}}{x_{2}x_{3}}}\오른쪽\}}}$

${\displaystyle \left\{\frac {(1+x_{2})x_{1}x_{1}x_{3}{3}{x_{1}x_{3}}}{\frac {(1+x_{2}x_{3}}}}}}}, {\frac {(1+x_{1}x_{3})}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}:{x_{3}}\오른쪽\}.}$

주어진₃ 초기 변수 3개₁ x, x₂, x 이외의 6개의 군집 변수가 있다.

${\displaystyle {\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1$$}}+x_{3}}{x_{2}}:{1+x_{2}}:{x_{3}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2}}x_{3}}}{3}}}{x_{1}}}}}}{\frac{1+x_{1}}x_{1}}}}x_{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{3$$}{3}{3}}}}}}}}{3}}}}}}}$$}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}++(1+x_{2}}x_{3}}{x_{1$}x_{1$}x_{2}x_{3$

그것들은 다이앤킨 도표 A의₃ 6개의 양근에 해당한다: 보다 정확히 말하면 분모는 x₁₂, x, x의₃ 단근으로, 단순근의 합으로서 양근의 표현에 해당한다.3+6 군집 변수는 Dynkin 다이어그램 A와₃ 관련된 유한 유형의 군집 대수학을 생성한다.14개의 군집은 연관형인 군집 그래프의 정점이다.

그라스만족

그라스만족의 동질 함수의 알헤브라가 간단한 예를 제시한다.플뤼커 좌표는 몇 가지 구별되는 요소들을 제공한다.

Ⅱ급ⁿ 비행기의 그라스만족에게 상황은 더욱 간단하다.이 경우, Plucker 좌표는 모든 구별되는 요소를 제공하며 군집은 정점이 n인 정규 다각형의 삼각형을 사용하여 완전히 설명할 수 있다.더 정확히 말하면, 군집은 삼각형과 일대일 대응이고 구별되는 요소는 대각선과 일대일 대응이다(다각형의 두 정점을 이루는 선 부분).모든 성단에 속하는 경계의 대각선과 내부의 대각선을 구별할 수 있다.이는 계수 변수와 군집 변수의 일반적인 구분에 해당한다.

표면에서 발생하는 알제브라 군집

S가 콤팩트하게 연결된 Riemann 표면이고 M은 S의 각 경계 요소로부터 적어도 한 점을 포함하는 S의 비빈 유한 점 집합이라고 가정한다(S의 경계는 비어 있거나 비어 있지 않은 것으로 가정되지 않는다).쌍(S, M)을 표시점이 있는 접선 표면이라고 하는 경우가 많다.It has been shown by Fomin-Shapiro-Thurston that if S is not a closed surface, or if M has more than one point, then the (tagged) arcs on (S, M) parameterize the set of cluster variables of certain cluster algebra A(S, M), which depends only on (S, M) and the choice of some coefficient system, in such a way that the set of (tagged) triangulations(S, M)은 A(S, M)의 군집 집합과 일대일 대응 관계에 있으며, 두 개의 (태그된) 삼각형이 군집 돌연변이에 의해 관련되는 경우에만 플립에 의해 관련된다.

더블 브루하트 셀

For G a reductive group such as ${\displaystyle GL_{n}}$ with Borel subgroups ${\displaystyle B_{\pm }}$ then on ${\displaystyle G^{u,v}=BuB\bigcap B_{-}vB_{-}}$ (where u and v are in the Weyl group) there are cluster coordinate charts depending on reduced word decompositiou와 v의 ns.이를 인자화 매개변수라고 하며, 그 구조는 배선 다이어그램으로 인코딩된다.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 또는$$ $B{\displaystyle {}_{}}$- ${\$만 있는 Bruhat 분해 입니다$.$

참조

• Berenstein, Arkady; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2005), "Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells", Duke Mathematical Journal, 126 (1): 1–52, arXiv:math/0305434, doi:10.1215/S0012-7094-04-12611-9, MR 2110627
• Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008), "Cluster algebras and triangulated surfaces, part I: Cluster complexes.", Acta Mathematica, 201: 83–146, arXiv:math/0608367, doi:10.1007/s11511-008-0030-7
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), "Cluster algebras. I. Foundations", Journal of the American Mathematical Society, 15 (2): 497–529, arXiv:math/0104151, doi:10.1090/S0894-0347-01-00385-X, MR 1887642
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2003), "Cluster algebras. II. Finite type classification", Inventiones Mathematicae, 154 (1): 63–121, arXiv:math/0208229, Bibcode:2003InMat.154...63F, doi:10.1007/s00222-003-0302-y, MR 2004457
• Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2007), "Cluster algebras. IV. Coefficients", Compositio Mathematica, 143 (1): 112–164, arXiv:math/0602259, doi:10.1112/S0010437X06002521, MR 2295199
• Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), "Root systems and generalized associahedra", in Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (eds.), Geometric combinatorics, IAS/Park City Math. Ser., vol. 13, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., arXiv:math/0505518, Bibcode:2005math......5518F, ISBN 978-0-8218-3736-8, MR 2383126
• Marsh, Bethany R. (2013), Lecture notes on cluster algebras., Zurich Lectures in Advanced Mathematics, Zürich: European Mathematical Society (EMS), doi:10.4171/130, ISBN 978-3-03719-130-9, MR 3155783
• Reiten, Idun (2010), Tilting theory and cluster algebras, Trieste Proceedings of Workshop, arXiv:1012.6014, Bibcode:2010arXiv1012.6014R
• Zelevinsky, Andrei (2007), "What Is . . . a Cluster Algebra?" (PDF), AMS Notices, 54 (11): 1494–1495.

외부 링크

• 포민 성단 대수 포털
• 알제브라 성단에 관한 포민 논문
• 젤레빈스키의 성단 알제브라에 관한 논문