대수적 독립성

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 제품 링 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

추상 대수학에서 $필드{\displaystyle }$ L ${\displaystyle$ L}의 부분$$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$\}$의 계수가 있는 비삼항 다항식 방정식을 충족하지 않는$$ 경우$$ 하위 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystystyle K}$에 대해 대수적으로 독립적이다.

특히 하나의 요소 집합${\displaystyle }${${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \}}${\$displaystyle \{\$$alpha$$$$\}}}$은(는)$$α$${\$displaystyle K$}보다 $초월$하는 경우에만 K$${\$displaystyle$K}에$$ 대해 대수적으로 독립적이다$.$ 일반적으로 대수적으로 독립된 $집합{\displaystyle }$ S$${\$displaystystyle S$}의 모든 $원소$는 K ${\\\\\\p$에 대해 독립적이다.$레이스타일 K}$은$($는) $필수적$으로$$K {\$displaystyle K}$에 대해 그리고 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 나머지 요소에 의해 $생성$된 K ${\displaystyle K}$에 대한 모든 필드 확장에 대해 초월한다$.$

예

$두{\displaystyle \sqrt{}}$ 개의 실제 숫자 ${{\${\$sqrt {\pi }}$과 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$은 각각 초월적인 숫자로서$$ 계수가 합리적인 숫자인 비삼위적 다항식의 뿌리가 아니다. 따라서 두 개의 싱글톤 세트 {${\displaystyle \pi \}}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }\}}$과$({\displaystyle }$와$$) { 2 ${\displaystyle \pi }$+ ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle \{2\pi +1\}$은(와) $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$Q$$$}}}$에 대해 대수적으로 독립적이다$$.

단, ${\displaystyle \mathrm{집합}}$ {${\displaystyle \backslash ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{rt}}$ + 1$$} {\$displaystyle \{\sqrt{\pi }}}}{\pi }}}}비교$ 다항식이기 때문에 이성수에 대해 대수적으로 독립되어 있지 않다.

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

$x{\displaystyle }$= ${\$ 및$$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$+ ${\displaystyle 1}$ { + 1 { ${\displaystyle y=2\pi +1}$인 경우 0이다$.$

알려진 상수의 대수적 독립성

$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과 e는 모두 초월적인 것으로 알려져 있지만, 둘 $다{\displaystyle \mathbb{}}$ Q$${\$displaystyle \mathb {Q}$에 걸쳐 대수적으로 독립된 것인지 알 수 없다$.$^[1]사실 $\pi {\displaystyle }$+ ${\displaystyle e}$ ${\displaysty$ ^[2]$\pi$ +e$}이($가)가$$ 비합리적인지조차 알 수 없다. 네스테렌코는 1996년에 다음과 같은 사실을 증명했다.

• 숫자 ${\displaystyle \pi$ $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\$γ(1/4)은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 대수적으로 독립적이다$.$^[3]
• $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \pi$ $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi \sqrt{\mathrm{}}}^{}}$ 3 ${\$ e$^{\pi${3}}, ${(1/$3)은$$Q {\displaystyle$\mathb {Q}}$에 걸쳐 대수적으로$$독립적이다.
• 모든 양의 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에$$대해 숫자 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ $및{\displaystyle {}^{}}$ e ${\displaystyle {\pi \sqrt{}}^{}}$ n ${\$ e$^{\pi {\sqrt{n}}}$은(는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 대수적으로 독립적이다$.$^[4]

린데만-위어스트라스 정리

린데만-위어스트라스 정리는 $종종{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$에 대해 일부 집합이 대수적으로 독립되어 있음을 증명하는 데 사용될 수 있다$.$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…,${\displaystyle {\alpha n}_{}}$ ${\$ $\$$alpha _{1},\ldots,\alpha _$${n$$}$이 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\\$에 대해 선형적으로 독립된 대수적 번호라고$$ 명시되어 있다$.$${\displaystyle {e\alpha {}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha n}_{}}^{}}$ ${\$ e$^{\alpha _{1},\ldots,$ e$^{\$ldots, e^{\$lapa _{n}}}$도 Q ${\$에 걸쳐 대수적으로 독립적이다$.$

대수적 모계

대수학적이지 않은$$ 필드 $확장명{\displaystyle }$L / ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$을(를) 고려할 때, 조른의 보조마법을 $사용$하여 K$${\$displaystyle K}$ 위에$$ L ${\displaystyle L}$의 최대 대수학적으로 독립된 부분집합이 항상 존재함을 보여줄 수 있다$.$ 또한, 모든 최대 대수학적으로 독립된 부분집합은 동일한 카디널리티를 가지고 있다.연장의 난류도

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 요소의 모든$$ $세트{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 대해$,$ $S{\displaystyle }${\$displaystyle S$}의 대수적으로 독립된 하위 집합은 매트로이드의 독립 집합을 정의하는 공리를 만족한다$$. 이 매트로이드에서 원소 집합의 순위는 그 초월도이며, 원소의 세트$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$$}$에 의해 생성된 플랫은 $필드{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[T]}$과 L ${\displaystystyle$ L}의 교차점이다$.$ 이런 식으로 생성될 수 있는 매트로드를 대수 매트로이드라고 한다. 대수적 매트로이드의 좋은 특성화는 알려져 있지 않지만, 특정 매트로이드는 비알로브라질인 것으로 알려져 있다; 가장 작은 것은 바모스 매트로이드다.^[5]

많은 유한 행렬은 매트로이드 원소가 $매트릭스{\displaystyle }$ 열에 $해당$하는 필드 K $\{\backslash$displaystyle $K}$ 위에 행렬로 나타낼 수 있으며, 해당 열 집합이 선형적으로 독립된 경우 요소 집합이 독립적이다. 이 형식의 선형 표현을 가진 모든 행렬은 행렬의 각 행에 대해 불확정성을 선택하고 각 열 내의 행렬 계수를 사용하여 이러한 초월성의 선형 조합을 할당함으로써 대수적 행렬로 표현될 수도 있다. 그 반대는 거짓이다: 모든 대수학 매트로이드에 선형표현이 있는 것은 아니다.^[6]

참조

외부 링크

• Chen, Johnny. "Algebraically Independent". MathWorld.