커미티노의 정리

Federico Commandino(1509–1575)의 이름을 딴 Commandino의 정리는 4면체 중 4면체 중 4면체 중 4면체들이 S 지점에서 동시에 존재한다고 명시하고 있는데, 이것은 이들을 3:1 비율로 나눈다.사면체에서 중위수는 반대 면의 중심, 즉 반대 삼각형의 중심과 정점을 연결하는 선 세그먼트다.점 S는 사면체의 중심이기도 하다.^[1][2][3]

역사

이 정리는 4면체 중력의 중심인 드 센트로 그라비타티스 솔리드룸(The Centro Gravitatis Solidorum, 1565)에서 4면체 중력의 4개 중위수가 동시에 존재한다고 기술한 커미티노의 덕택이다.그러나 19세기 학자 기욤 리브리에 따르면 프란체스코 마우로리코(1494~1575)는 그 결과를 일찍이 발견했다고 주장했다.그럼에도 불구하고 리브리는 자신의 작품에 그것을 사용한 것 같은 레오나르도 다빈치에게 그것이 훨씬 더 일찍 알려졌다고 생각했다.줄리안 쿨리지도 그러한 평가를 공유했지만 다빈치의 작품에서 정리에 대한 어떠한 명시적인 설명이나 수학적 처리도 찾을 수 없다고 지적했다.^[4]다른 학자들은 그 결과가 고대 그리스 수학자들에게 이미 알려졌을지도 모른다고 추측했다.^[5]

일반화

커미티노의 정리에는 어떤 차원의 단순함에 대한 직접적인 유사성이 있다.^[6]

일부 치수 d의 Δ{\Delta\displaystyle} d{\displaystyle d}-simplex, Rn(d, n∈ N, n≥ d){\displaystyle \mathbb{R}^{n}\에 1{\displaystyle d> 1};(d,n\in \mathbb{N},n\geq d)}과 V0, V1,…, Vp},V_{p}{\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots의vertic이 되자.에스.Furthermore, let ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$, be the medians of ${\displaystyle \Delta }$, the lines joining each vertex ${\displaystyle V_{i}}$ with the centroid of the opposite ${\displaystyle (d-1)}$-dimensional facet ${\displaystyle V_0\dots V_{i-1}}$${\displaystyle {}_{}{V}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$… V ${\displaystyle d_{}}$ ${\$ 그런 다음 이 선들은 $점{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S$ 에서${\displaystyle }$d : ${\displaystyle 1}${\$displaystyle d:1$}의 비율로 교차한다$.$

완전한 일반성

이전의 아날로그는 다음과 같은 보다 일반적인 결과를 통해 증명하기 쉬우며, 이는 물리학의 레버가 작용하는 방식과 유사하다.^[7]

Let ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle k}$ be natural numbers, so that in an ${\displaystyle \mathbb {R} }$-vector space ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle m+k}$ pairwise different points ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m$$}},Y_{1},\dots,Y_{k}\in {\mathcal{V}}}$이(가) 제공된다.

Let ${\displaystyle S_{X}}$ be the centroid of the points ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$, let ${\displaystyle S_{Y}}$ be the centroid of the points ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$, and let ${\displaystyle S}$ be the centroid of all이 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m+k}$ 포인트의$$.

그러면, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m+k}{X}+{\frac}{m+k}S_{Y}}.}$

특히 중심 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) $S{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{X_{}}}$ S ${\displaystyle \stackrel{}{Y_{}}}$의 $displaystyle {\$displaystyle ${\\$ {{S_${X}}{S_${S_${$S_}{{S_}}}{$S_${{S_}}}}}{S_{{}}}}}$Y{\displaystyle }$$}}}}}$을(를) k${\displaystyle }$: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k:m}$의 비율로 나눈다$.$

루슈의 정리

앞의 정리에는 앞서 언급한 커미티노의 정리 일반화 이외의 흥미로운 결과가 더 있다.독일의 물리학자 프리드리히 에두아르트 르우슈[de]^[8][9]에 의해 수학자 운터할퉁겐에 최초로 기술된 사면체의 중심부에 관한 다음과 같은 정리를 증명하는 데 사용할 수 있다.

한 쌍은 반대편 가장자리 두 쌍의 중간점을 취하고 각각의 중간선을 통해 해당 중간점을 연결함으로써 사면체의 중심을 찾을 수 있다.두 중간선의 교차점은 사면체의 중심이 된다.

사면체는 3개의 반대 쌍으로 6개의 가장자리를 가지기 때문에, 다음 코롤러를 얻는다.^[8]

사면체에서는 반대쪽 가장자리 중간점에 해당하는 세 개의 중간선이 동시에 나타나며, 교차점은 사면체의 중심이다.

바리뇽의 정리

4면체의 정점 4개가 모두 일직선으로 되어 하나의 평면에 놓여져 있는 르우슈의 정리의 구체적인 사례는 피에르 바리뇽의 이름을 딴 바리뇽의 정리는 다음과 같이 말하고 있다.^[10][11]

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 사각형을 주어라$$.그러면 반대쪽 가장자리 중간점을 연결하는 두 개의 중간선이 4각형의 중심에서 교차하고 그 중간에 의해 반으로 나뉜다.

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Commandino's Theorem". MathWorld.
• 중앙분리대 특성의 두 가지 좋은 확장