출퇴근 확률

수학에서, 그리고 더 정확하게 집단 이론에서, 유한 집단의 통근 확률(공분율 또는 공분율 정도라고도 한다)은 무작위로 선택된 두 요소가 통근할 확률이다.^[1][2]유한집단이 아벨리아인에 얼마나 가까운지를 측정하는 데 사용할 수 있다.적절한 확률 측정치가 장착된 무한대 그룹으로 일반화할 수 있으며,^[3] 링과 같은 다른 대수 구조로 일반화할 수도 있다.^[4]

정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 유한한 그룹으로 두십시오.$p{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle p(G)}$을(를) $통근$하는 G ${\displaystyle G}$ 요소의 평균 쌍 수로 정의한다$$.

$[\displaystyle p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}\#\왼쪽\{(x,y)\in G^{2}\colon xy=yx\right\}.}$

$G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ G$^{2}}$ ,$$$p{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle p(G)}$의 균일한 분포를 고려한다면, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 무작위로 선택된 두 요소가 통근할$$ 확률이다$$.$그래서$ p${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\$디스플레이 스타일 p(G)}을$(를)$G ${\디스플레이$ 스타일 $G$의 출퇴근 확률이라고 한다.

결과.

• 유한 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(G)=1}$인 경우에만 아벨리안이다$.$
• 가지고 있다

${\displaystyle p(G)={\frac {k(G)}{\#G}}}$

여기서 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle k(G)}$은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$\}$의 $결합성$ 클래스 수입니다.

• 만약 G{G\displaystyle}abelian 있지 않으면 그땐(G)≤ 5/8{\displaystyle p(G)\leq 8분치 5}(이 결과 가끔 8분치 5theorem[5]라고 불린다)과 이 위 마련 이:유한 그룹의 G{G\displaystyle}가 p(G)=5/8{\displaystyle p(G)=5/8}, 사소한 것은 dihedra 무한대가 있다.나는 감속질서 8의 무리
• $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle p(G)}$에는 균일한 하한선이 없다$.$ 실제로 모든 양의 $정수{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$n$\}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$G${\displaystyle }$) =${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p(G)=1/n}$과 같은 유한 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystystyle G}$이 존재한다$.$
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨리안이 아니라 단순하다면, ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$G ) ${\displaystyle \le 1}$ / ${\displaystyle 12}$(\$displaystyle$ p$(G)\leq$1/$12}$ ($이{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ 상한은 A ${\displaystyle 5_{\mathrm{}}}$ ${\${\$mathfrak{A}_{$5$\}\}\},$ 도 5의 교대 그룹에 의해 달성된다.
• 유한집단의 통근 확률 집합은 역순번이며, 그 순서 유형의 역순은 ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {{\Omega \mathrm{}}^{}}^{}}$ 2 ${\$}}}인 것으로 알려져 있다$.$^[6]

일반화

• 통근 확률은 유한 링과 같은 다른 대수 구조에 대해 정의할 수 있다.^[4]
• 통근 확률은 무한 콤팩트 그룹에 대해 정의될 수 있다. 확률 측정은 재기명화 후 하르 측정이다.^[3]

참조