단순군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
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유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 단순집단은 평범한 집단이 사소한 집단과 집단 그 자체인 비교과집단을 말한다. 단순하지 않은 그룹은 두 개의 작은 그룹, 즉 비교 정규 부분군과 그에 상응하는 지수 그룹으로 나눌 수 있다. 이 과정은 반복될 수 있으며, 유한 집단의 경우 요르단-에 의해 독특하게 결정된 단순 집단에 도달하게 된다.홀더 정리.

2004년에 완성한 유한단순집단의 완전한 분류는 수학사의 주요 이정표다.

예

유한단순군

Cyclic group G = (Z/3Z, +) = concluence class modulo 3(모듈식 산술 참조)의 Z는₃ 단순하다. H가 이 그룹의 하위 그룹인 경우, H의 순서(원소 수)는 G의 순서 3의 구분자여야 한다. 3은 프라임이기 때문에 1과 3이 유일하므로 H가 G가 되거나 H가 하찮은 그룹이다. 반면 그룹 G = (Z/12Z, +) = Z는₁₂ 단순하지 않다. 0, 4, 8모듈로 12의 응집 등급의 집합 H는 순서 3의 하위그룹으로, 아벨리아 그룹의 어떤 하위그룹이 정상이기 때문에 정상 하위그룹이다. 마찬가지로 정수의 첨가 그룹(Z, +)은 단순하지 않다. 짝수 정수의 집합은 서로 다른 정규 부분군이다.^[1]

어떤 아벨 그룹에도 같은 종류의 추론을 사용할 수 있는데, 이는 단순한 아벨 그룹만이 프라임 질서의 순환 집단이라고 추론하는 것이다. 비아벨적 단순 집단의 분류는 훨씬 덜 사소한 것이다. 가장 작은 비아벨리안 단순군은 순서 60의 교번 그룹 A이며₅, 순서 60의 모든 단순 그룹은 A에₅ 이형성이다.^[2] 두 번째로 작은 비아벨리안 단순 그룹은 순서 168의 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,7)이며, 순서 168의 모든 단순 그룹은 PSL(2,7)과 이형이다.^[3][4]

무한 단순 그룹

무한 교대 그룹, 즉 정수의 미세하게 지지되는 순열 그룹 A는_∞ 단순하다. 이 그룹은 표준 임베딩 A_n → A와_n+1 관련하여 유한 단순 그룹 A의_n 증가하는 결합으로 작성할 수 있다. PSL(F_n)은 무한 단순 집단의 또 다른 예로서 F는 무한 영역이고 n ≥ 2는 무한 영역이다.

미세하게 생성된 무한 단순 집단을 구성하는 것은 훨씬 더 어렵다. 첫 번째 존재 결과는 명확하지 않다; 그것은 Graham Higman 덕분이며 Higman 그룹의 단순한 인용구로 구성되어 있다.^[5] 구체적으로 제시된 것으로 밝혀진 명시적 예로는 무한대의 톰슨 그룹 T와 V가 있다. 정교하게 제시된 비틀림 없는 무한 단순 그룹은 버거와 모제가 만들었다.^[6]

분류

일반(무한) 단순 집단에 대해서는 아직 알려진 분류가 없으며, 그러한 분류는 없을 것으로 예상된다.

유한단순군

유한 단순 집단은 어떤 의미에서 그것들은 모든 유한 집단의 "기본적인 건물 블록"이기 때문에 중요하며, 소수 집단이 정수의 기본 건물 블록인 방식과 다소 유사하다. 이것은 요르단-에 의해 표현된다.주어진 집단의 어떤 두 구성 시리즈도 같은 길이와 같은 요소를 가지고 있으며, 순열과 이소모르피즘에 이른다고 기술한 Hölder 정리. 거대한 협력 노력에서, 유한 단순 집단의 분류는 일부 문제가 표면화되었지만(특히 2004년에 꽂힌 퀘이신 집단의 분류에서) 1983년에 다니엘 고렌슈타인에 의해 달성되었다고 선언되었다.

간단히 말해서 유한한 단순 집단은 18가족 중 한 가족에 속거나 26개의 예외 중 하나로 분류된다.

• Z_p – 프라임 순서의 순환 그룹
• A_n – n ≥ 5의 교대 그룹

  교대 그룹은 한 요소와 함께 필드 위에 있는 Lie 유형의 그룹으로 간주될 수 있으며, 이는 이 패밀리를 다음 요소와 결합하며, 따라서 비아벨리안 유한 단순 그룹의 모든 패밀리는 Lie 타입으로 간주될 수 있다.

• 거짓말 타입의 16개 그룹 중 하나

  Tits 그룹은 일반적으로 이러한 형태로 간주되지만, 엄밀히 말하면 그것은 Lie 타입이 아니라 Lie 타입 그룹의 지수 2이다.

• 26개의 예외 중 하나로 산발적인 집단은 20개가 괴물집단의 하위집단이나 하위집단으로 '행복한 가족'으로 불리고, 나머지 6개는 파리아로 불리고 있다.

유한단순군 구조

Feit과 Thompson의 유명한 정리는 모든 이상한 질서의 그룹이 해결 가능하다고 말한다. 따라서 모든 유한단순집단은 원시질서의 순환이 아닌 한 짝수질서가 있다.

슈레이어 추측은 모든 유한한 단순 집단의 외부 자동화 집단이 해결 가능하다고 주장한다. 이것은 분류 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

유한단순집단에 대한 이력

유한단순집단의 역사에는 두 개의 실이 있는데, 그것은 1820년대 갈루아의 작업에서 1981년 괴물의 건설에 이르기까지 일어난 특정단순집단과 가족의 발견과 건설, 그리고 19세기에 시작된 이 리스트가 완성되었다는 증거로서 1955년부터 198년까지 가장 두드러지게 일어났다.3 (처음에는 승리가 선언되었을 때) 그러나 일반적으로 2004년에 끝나기로 합의되었다. 2010년^[update] 현재, 증거와 이해를 개선하는 작업은 계속되고 있다; 19세기 단순 집단의 역사에 대해서는 (실베스트리 1979년)을 참조하라.

건설

단순 집단은 적어도 초기 갈루아 이론부터 연구되어 왔는데, 에바리스테 갈루아는 1831년 그가 증명했던 5개 이상의 지점에서의 교대 집단이 단순하다는 사실(따라서 해결할 수 없음)이 급진주의에서 5중주를 풀 수 없는 이유라는 사실을 깨달았다. 갈루아는 또 일차 유한장 PSL(2,p) 위에 면의 투사적 특수 선형 그룹을 구성했으며, 2나 3이 아닌 p에 대해서는 단순하다고 말했다. 이것은 그가 체발리에에게 보낸 마지막 편지에 포함되어 있으며,^[7] 유한한 단순 집단의 다음 예다.^[8]

다음 발견은 1870년 카밀 조던에 의해 이루어졌다.^[9] 요르단은 현재 고전파로 알려진 원시 질서의 유한한 분야 위에서 단순한 매트릭스 집단의 4개 가족을 발견했다.

거의 동시에, 1861년과 1873년에 에밀 레오나르 마티외가 처음 묘사한 마티외 그룹이라고 불리는 5개 그룹의 가족도 단순하다는 것이 드러났다. 이 다섯 그룹은 무한한 가능성을 낳지 않는 방법에 의해 구성되었기 때문에 윌리엄 번사이드에 의해 1897년 교과서에서 "sporadic"이라고 불렸다.

이후 클래식 그룹에 대한 요르단의 결과는 빌헬름 킬링에 의한 복잡하고 단순한 리알헤브라의 분류에 따라 레너드 딕슨에 의해 임의의 유한한 분야로 일반화되었다. 딕슨은 또한 G형과₂ E형의₆ 예외 그룹을 구성했지만 F형₄, E형₇ 또는 E형은₈ 구성하지 않았다(Wilson 2009, 페이지 2). 1950년대에는 클로드 체발리가 1955년 논문에서 클래식 그룹과 예외적인 유형의 그룹을 통일적으로 구성하여 리 유형의 그룹에 대한 작업이 계속되었다. 이것은 체발리 건설의 "트위팅"을 통해 얻은 특정 알려진 집단(프로젝티브 단일 집단)을 생략했다. 리 유형의 나머지 그룹은 스타인베르크, 티츠, 헤르치히(D₄(q)와 E₆(q)를 생산한 그룹)와 스즈키와 리(스즈키-리 그룹)가 생산했다.

이들 집단(리형, 순환집단, 교대집단, 5대 예외집단)은 완전한 목록으로 여겨졌으나, 마티외가 활동한 지 거의 1세기가 지난 1964년 제1차 얀코 집단이 발견되었고, 나머지 20여 개의 산발적인 집단이 발견되거나 추측되었다. 1965-1975년, 1981년 로버트 그리스가 베른드 피셔의 "몬스터 그룹"을 만들었다고 발표하면서 절정에 달했다. 몬스터는 808,017,424,794,512,812,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000,000의 주문량을 가진 가장 큰 산발적인 단순 그룹이다. 몬스터는 196,884차원 그리이스 대수학에서 충실한 196,883차원 표현을 하고 있는데, 이는 몬스터의 각 원소가 196,883 X 196,883 매트릭스로 표현될 수 있다는 것을 의미한다.

분류

전체 분류는 일반적으로 Feit-부터 시작하는 것으로 받아들여진다.1962-63년의 톰슨 정리, 1983년까지 대체로 지속되었으나 2004년에야 마무리되었다.

1981년 몬스터가 건설된 직후, 그룹 이론가들이 1983년 다니엘 고렌슈타인에 의해 승리가 선언되면서 모든 유한한 단순 집단을 성공적으로 나열했다는 증거가 총 1만 페이지 이상 제공되었다. 이것은 시기상조였다 – 나중에 퀘이신 그룹의 분류에서 일부 간격이 발견되었고, 특히 2004년에 결국 1,300페이지의 퀘이신 그룹의 분류로 대체되었으며, 현재는 완결된 것으로 일반적으로 받아들여지고 있다.

비임플리티 테스트

Sylow'sylow's test: n은 원시적이지 않은 양의 정수가 되게 하고, p는 n의 주요 구분자가 되게 한다. 1이 1 modulo p와 일치하는 n의 유일한 구분자라면, 단순한 n 순서 그룹은 존재하지 않는다.

증명: n이 원시 세력이라면, n의 질서의 그룹은 비독점적인 중심을^[10] 가지며, 따라서, 간단하지 않다. n이 주력이 아니라면 모든 Sylow 하위군이 적절하며, Sylow의 제3차 정리에서는 순서 n 그룹의 Sylow p-subgroup 수가 1 modulo p와 같으며 n을 나눈다는 것을 알고 있다. 1이 유일한 그런 숫자기 때문에 시로우 p-분군은 독특하고 따라서 정상이다. 적절한 비식별성 부분군이기 때문에 집단이 단순하지 않다.

번사이드: 비-아벨라 유한 단순 집단은 최소 3개의 뚜렷한 소수 단위로 나눌 수 있는 질서를 가지고 있다. 이것은 번사이드의 정리에서 따온 것이다.

참고 항목

• 거의 간단한 그룹
• 특징적으로 단순한 그룹
• 퀘아시브군
• 세미스이벤트 그룹
• 유한단순군 목록

참조

메모들

교과서

• Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics, vol. 148, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series (2 ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

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