압축적으로 생성된 공간

위상에서 압축적으로 생성된 공간(또는 k-공간)은 위상이 모든 컴팩트 서브스페이스의 패밀리와 일치하는 위상학적 공간이다.구체적으로 위상학적 공간 X는 다음과 같은 조건을 만족하면 압축적으로 생성된다.

모든 콤팩트 서브 스페이스 K에 대해 A ∩ K가 K에서 닫힌 경우에만 서브 스페이스 A가 X에서 닫힌다.

마찬가지로, 이 정의에서 닫힌 것을 열린 것으로 대체할 수 있다.X가 위의 의미에서 콤팩트 서브스페이스의 어떤 커버와 일관성이 있다면, 사실 그것은 모든 콤팩트 서브스페이스와 일관성이 있다.

압축적으로 생성된 하우스도르프 공간은 압축적으로 생성된 공간이기도 한 하우스도르프 공간이다.많은 콤팩트한 조건과 마찬가지로 압축적으로 생성된 공간은 종종 하우스도르프 또는 약하게 하우스도르프라고 가정한다.

동기

압축적으로 생성된 공간은 원래 독일어 콤팍트의 이름을 따서 k-spaces라고 불렸다.후레위츠가 연구한 것으로 켈리의 일반 위상, 듀군지의 위상, 펠릭스, 할페린, 토마스의 합리적 호모토피 이론에서 찾아볼 수 있다.

그들의 더 깊은 연구의 동기는 1960년대에 위상학적 공간의 일반적인 범주의 잘 알려진 결핍에서 비롯되었다.이것은 데카르트 폐쇄 범주가 되지 못하며, 식별 맵의 일반적인 데카르트 제품은 항상 식별 맵이 아니며, CW 콤플렉스의 일반적인 제품이 CW 콤플렉스가 될 필요는 없다.^[1]이와는 대조적으로, 단순 세트의 범주는 데카르트적인 폐쇄성을 포함하여 많은 편리한 특성을 가지고 있었다.이러한 상황의 수리에 관한 연구의 역사는 편리한 공간 범주에 관한 nLab의 기사에 제시되어 있다.

이러한 상황을 시정하기 위한 첫 번째 제안(1962)은 압축적으로 생성된 하우스도르프 공간의 완전한 하위 범주에 자신을 제한하자는 것이었는데, 이것은 사실상 데카르트적인 닫힘이다.이러한 사상은 드 브리스의 이중성 정리에 확장되어 있다.지수 객체의 정의는 다음과 같다.또 다른 제안(1964)은 일반적인 하우스도르프 공간을 고려하되 콤팩트 서브셋에 연속적으로 함수를 사용하는 것이었다.

이러한 사상은 비하우스도르프 사례에 일반화될 수 있다.^[2]이것은 하우스도르프 공간의 식별 공간이 하우스도르프일 필요는 없기 때문에 유용하다.^[3]

현대 대수 위상에서는 이 속성이 대부분 약한 하우스도르프 속성과 일반적으로 결합되어 있어, 약하게 생성된 하우스도르프(WHCG) 공간의 범주에서 작용한다.

예제 및 counterexample

수학에서 일반적으로 연구되는 대부분의 위상학적 공간은 압축적으로 생성된다.

• 모든 하우스도르프 콤팩트한 공간은 압축적으로 생성된다.
• 모든 하우스도르프는 지역적으로 콤팩트한 공간들이 압축적으로 생성된다.
• 모든 첫 번째 셀 수 있는 공간은 압축적으로 생성된다.
• 위상학적 다지관은 국소적으로 소형인 하우스도르프(Hausdorff)이므로 소형으로 생성된 하우스도르프(Hausdorff)이다.
• 미터법 공간은 우선 카운트할 수 있으며 따라서 압축적으로 생성된 하우스도르프.
• 모든 CW 단지는 압축적으로 생성되는 하우스도르프다.

압축적으로 생성되지 않는 위상학적 공간의 예는 다음과 같다.

• The space ${\displaystyle (\mathbb {R} \backslash \{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots \})\times (\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \})}$, where the first factor uses the subspace topology, the second factor is the quotient space of R where all natural numbers are identified 단일 점으로 제품 토폴로지를 사용한다.
• $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $무한{\displaystyle }$ 세트 X ${\displaystyle$ X$}$의 비주요 울트라필터인 경우$$$,$ 유도 위상은 모든 콤팩트 세트가 유한하다는 속성을 가지며, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(가) 압축적으로 생성되지 않는다$$.

특성.

우리는 CGTOP의 전체 하위 카테고리를 오브젝트로 표시하며, CGTOP의 전체 하위 카테고리는 압축적으로 생성된 스페이스로 표시하며, CGTOP의 전체 하위 카테고리는 하우스도르프 스페이스로 표시한다.

위상학적 공간 X를 주어진다면 우리는 X에 더 미세한 위상(아마도)을 정의할 수 있다.{K_α}은(는) X의 콤팩트 하위 집합의 패밀리를 나타내도록 한다.우리는 각 α에 대해 A k_α K가_α K에서 닫히는 경우에만 부분집합 A가 닫힌다고 선언함으로써 X에 새로운 위상을 정의한다.이 새로운 공간을 X로_c 표시하라.X와_c X의 콤팩트 서브셋이 일치하고, 콤팩트 세트의 유도 토폴로지가 같다는 것을 알 수 있다.그것은_c X가 콤팩트하게 생성되는 것을 따른다.X가_c X = X로 시작하도록 압축적으로 생성된 경우 그렇지 않으면 X의_c 위상이 X보다 엄격히 미세하다(즉, 더 많은 오픈 세트가 있음).

이 건축은 교묘한 것이다.Top에서_c CGTOP까지 X에서 X까지 걸리는 functor는 포함 functor CGTOP → Top에 바로 인접한다.

콤팩트하게 생성된 공간 X에 정의된 지도의 연속성은 X의 컴팩트 서브셋을 보는 것만으로 결정할 수 있다.특히 f : X → Y 함수는 각 콤팩트 서브셋 K ⊆ X로 제한했을 때 연속적인 경우에만 연속적이다.

X와 Y가 콤팩트하게 생성된 두 공간인 경우 제품 X × Y는 콤팩트하게 생성되지 않을 수 있다(최소한 하나의 요인이 국소적으로 압축된 경우).따라서 압축적으로 생성된 공간의 범주에서 작업할 때는 제품을 (X × Y)로 정의할 필요가 있다._c

CGHaus의 지수 객체는 (Y^X)_c에 의해 주어지며, 여기서 Y는^X 콤팩트 오픈 위상(compact-open topology)으로 X에서 Y까지의 연속 지도의 공간이다.

이러한 사상은 비하우스도르프 사례에 일반화될 수 있다.^[2]이것은 하우스도르프 공간의 식별 공간이 하우스도르프일 필요는 없기 때문에 유용하다.

참고 항목

• 콤팩트 오픈 토폴로지
• 계산 가능한 공간
• CW 콤플렉스
• 미세하게 생성된 공간
• K-공간(기능분석)
• 허약한 하우스도르프 공간

참조

개요

• 컴팩트하게 생성된 공간 - 컴팩트하게 생성된 공간이 포함된 우수한 특성 및 시공 카탈로그 포함
• nLab에서 압축적으로 생성된 위상학적 공간
• nLab에서 위상학적 공간의 편리한 범주

기타

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
• J. Peter May, 대수학 위상의 간결한 과정, (1999) 시카고 수학 ISBN 0-226-51183-9 (제5장 참조)
• Strickland, Neil P. (2009). "The category of CGWH spaces" (PDF).