비교가능성

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수학에서 집합 P의 두 원소 x와 y는 x ≤ y 또는 y x 중 적어도 하나가 참인 경우 이항 관계 ≤에 관해서 비교가 된다고 한다.비교가 안 되면 비교가 안 된다고 한다.

엄밀한 정의

A binary relation on a set ${\displaystyle P}$ is by definition any subset ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle P\times P.}$ Given ${\displaystyle x,y\in P,}$ ${\displaystyle xRy}$ is written if and only if ${\displaystyle (x,y)\in R,}$ in which case ${\displ$$aystyle x}$ is said to be related to ${\displaystyle y}$ by ${\displaystyle R.}$ An element ${\displaystyle x\in P}$ is said to be ${\displaystyle R}$-comparable, or comparable (with respect to ${\displaystyle R}$), to an element ${\displaystyle y\in P}$ if ${\displaystyle xRy}$아니면 에스파냐의 Rx.{\displaystyle yRx.}종종,<과 같은 상징 비교 여부를 나타내는 값,;{\displaystyle \,<, \,}(또는 ≤,{\displaystyle \,\leq \,,}>,{\displaystyle \,>, ,\,}≥,{\displaystyle \geq,}과 많은 다른 사람들)R대신,{R\displaystyle,}은 어떤 경우에)<>y{\와 같이 사용된다.displaystyle$x<y}$는 x ${\displaystyle R}$ y${\displaystyle }$, ${\displaystyle xRy}$ 대신 쓰여 있어서$$ "비교적"이라는 용어가 사용되는 것이다.

$R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $R}$에 대한 비교가능성은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 대한 표준적 이항 관계를 유도한다$.$ 특히, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $R$$}$에 의해 유도된 비교가능성 관계는 모든 쌍$({\displaystyle x}$, y ) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle$ ($x,y)\in$$$P$}$의 $집합$으로 정의된다$$.$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$즉, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle xRy}$ 및$$ y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle yRx}$ 중 하나 이상이 참인$$ 경우).Similarly, the incomparability relation on ${\displaystyle P}$ induced by ${\displaystyle R}$ is defined to be the set of all pairs ${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$ such that ${\displaystyle x}$ is incomparable to ${\displaystyle y;}$ that is, such that neither ${\displaysty$$r xRy}$ 또는$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle yRx}$이(가) 참임.

만약 기호를<>{\displaystyle \,<, \,}≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}의 장소에서 &lt에 관해서 비교할 수 있음;{\displaystyle \,<, \,}가끔의 상징)시퀀스에 의해 표시된,<>{\displaystyle{\overset{<>}{\underset{>}{)}}}}, incomparability의 상징)&g에 의해 사용된다.t;<,{\displaystyle${\cHB {\\overset$^[1]Thus, for any two elements ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ of a partially ordered set, exactly one of ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$ and ${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$ is true.

예

완전히 주문된 세트는 두 요소가 비교 가능한 부분적으로 주문된 세트다.슈필라젠 확장 정리는 모든 부분 순서가 전체 순서에 포함되어 있다고 명시하고 있다.직관적으로 정리는 일부 쌍을 비교할 수 없게 하는 원소를 비교하는 어떤 방법도 모든 쌍이 비교가 될 수 있는 방식으로 확장될 수 있다고 말한다.

특성.

비교가능성과 비교불가능성은 모두 대칭이며, 즉, $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x}$이(가) $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $y$$}$과(와) 유사하고 비호환성인 경우에만$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$과(와) 유사하다.

비교가능성 그래프

부분적으로 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 비교가능성 그래프는 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 요소를 정점으로 하고$$$$$,$가장자리에는 = ${\displaystyle x\{$$x,$$y\}}}$의 요소 쌍이$$ 정확하게${\displaystyle }$있다^[2]

분류

수학적 물체(예: 위상학적 공간)를 분류할 때, 하나의 기준을 따르는 물체가 다른 기준을 따르는 물체의 부분집합을 구성할 때 두 가지 기준이 비교된다고 하는데, 이는 부분 순서 ⊂에 따라 비교가 되는 경우를 말한다.예를 들어, T와₁ T 기준은₂ 비교 가능한 반면, T와₁ 음주 기준은 비교가 되지 않는다.

참고 항목

• 엄격한 취약 순서, 비호환성이 타동적 관계인 부분 순서

참조

"PlanetMath: partial order". Retrieved 6 April 2010.