전체 부울 대수

Complete Boolean algebra
이 글은 수학적 구조의 한 종류에 관한 것이다.전체 부울 연산자 세트는 기능 완전성을 참조하십시오.

수학에서 완전한 부울대수는 모든 부분집합이 우월(최소 상한)을 갖는 부울대수다.완전한 부울 알헤브라는 강제 이론에서 세트 이론의 부울 값 모델을 구성하는데 사용된다.모든 부울대수 A는 본질적으로 고유한 완료를 가지고 있는데, 이것은 모든 원소가 A의 일부 부분집합물의 우월성이 되도록 A를 포함하는 완전한 부울대수다.부분적으로 주문된 세트로서, 이 A의 완성은 데데킨드-맥닐 완성이다.

보다 일반적으로 κ이 추기경이라면 κ보다 작은 카디널리티의 모든 부분집합이 우월성을 가지고 있다면 부울대수를 κ-완전이라고 부른다.

예

  • 모든 유한 부울대수는 완성된다.
  • 주어진 집합의 하위 집합의 대수는 완전한 부울 대수다.
  • 위상학적 공간의 규칙적인 열린 집합은 완전한 부울 대수를 형성한다.모든 강제 포셋은 위상학적 공간( 주어진 원소보다 작거나 같은 모든 원소의 집합으로 구성된 위상 집합의 기초)으로 간주될 수 있기 때문에 이 예는 특히 중요하다.해당 정규 개방형 대수학에서는 주어진 강제력 포셋에 의해 일반적 확장과 동등한 부울 값 모델을 형성하는 데 사용할 수 있다.
  • σ-마침표 측정 공간의 모든 측정 가능한 하위 집합의 대수인 modulo null 집합은 완전한 부울 대수다.측정 공간이 르베그 측정 가능 집합의 of-알게브라와의 단위 간격일 때 부울 대수학(Boolean 대수학)은 무작위 대수학(Random 대수학)이라고 불린다.
  • 측정 공간의 모든 측정 가능한 하위 집합의 대수는 ℵ-완전한1 부울 대수지만 보통 완전하지는 않다.
  • 유한하거나 유한보완이 있는 무한 집합의 모든 하위 집합의 대수는 부울 대수지만 완전하지는 않다.
  • 모든 Baire의 부울대수는 계산 가능한 기초가 있는 위상학적 공간에 modulo meager 집합들을 설정한다; 위상학적 공간이 실제 숫자일 때, 대수를 칸토어 대수라고 부르기도 한다.

  • 완성되지 않은 부울 대수학의 또 다른 예는 유한 부분 집합의 이상적인 핀에 의해 지수화된 모든 자연수 집합의 부울 대수 P(Ω)이다.P(Ω)/Fin으로 표시된 결과 객체는 모든 등가물 집합의 등가물 등급으로 구성된다. 여기서 관련 등가관계는 대칭적 차이가 유한할 경우 등가물 집합 두 집합이 등가물이라는 것이다.부울 연산은 유사하게 정의된다. 예를 들어, A와 B가 P(Ω)/Fin의 두 동등성 등급인 경우, 는 B {\ B를 b a\의 동등성 등급으로 정의한다 여기서 a와 b는 각각 A와 B의 일부(임의) 요소들이다.

    이제 a0, a1, …는 쌍으로 무한대의 자연수단을 분리하고, A0, A는1 P(Ω)/Fin의 해당 동등성 클래스가 되도록 한다.그런 다음 P(Ω)/Fin에서 A0, A1, ...의 상한 X를 지정하면 각 a의n 한 요소 X에 대한 대표자로부터 제거함으로써 더 적은 상한을 찾을 수 있다.따라서 A는n 우월감이 없다.

  • 부울대수는 그것의 주요한 이상들의 스톤 공간이 극단적으로 분리될 경우에만 완성된다.

전체 부울 알헤브라의 속성

  • 시코르스키의 확장 정리는 A가 부울대수 B의 아말게브라라면, A에서 완전한 부울대수 C에 이르는 어떤 동형도 B에서 C로 형태론까지 확장될 수 있다고 기술하고 있다.
  • 완전한 부울 대수의 모든 부분집합은 정의상 우월성을 가지고 있다; 모든 부분집합은 또한 최소값(가장 큰 하한값)을 가지고 있다는 것을 따른다.
  • 완전한 부울대수의 경우 두 가지 무한분포 법칙은 유지된다.
  • 완전한 부울대수의 경우 무한대 de-모건의 법칙은 유지된다.

부울 대수 완성

부울 대수의 완성은 다음과 같은 몇 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있다.

  • A의 완료는 A가 B에 밀도 있게 A를 포함하는 고유한 완전한 부울대수 B이다. 즉, B의 모든 비영점 원소에 대해 A의 더 작은 비영점 원소가 있다는 것을 의미한다.
  • A의 완성은 (이소모르파까지) A를 포함하는 고유한 완전한 부울대수 B로서, B의 모든 요소가 A의 일부 서브셋의 우월성이 된다.

부울 대수 A의 완성은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 구성할 수 있다.

  • 완성은 A의 원초적 이상 스톤 공간에 있는 정규 오픈 세트의 부울 대수학이다.A의 각 원소 x는 x를 포함하지 않는 일련의 주요 이상(열림과 닫힘, 따라서 규칙적)에 해당한다.
  • 완성은 A의 정규 절단 부울 대수학이다.여기서 절단은 A+(A의 비제로 원소)의 부분집합 U로, q가 U에 있으면 p가 U에 있고, p가 U에 없을 때마다 ≤ r이 없는 r ≤ p가 일부 있다. A의 각 원소 p는 ≤ p의 절단에 해당한다.

만약 A가 미터법 공간이고 B가 완성된다면, A에서 완전한 미터법 공간 C까지 모든 등위계를 B에서 C까지 고유의 등위법으로 확장할 수 있다.부울알헤브라의 완전한 부울알헤브라의 유사한 진술은 사실이 아니다: 부울대수 A에서 완전한 부울대수 C까지의 동형성은 반드시 A의 완성 B에서 C로 완전한 부울알헤브라의 (초보존) 동형성으로 확장될 수 없다.(시코르스키의 확장 정리로는 볼의 동형성으로 확장될 수 있다.B에서 C까지 에안 알헤브라는 완전한 부울 알헤브라의 동음이의어가 되지 않을 것이다. 다시 말해, 그것은 우월성을 보존할 필요가 없다.)

자유 부울 알헤브라스 κ완전한 부울 알헤브라스

Axiom of Choice가 완화되지 않는 한 집합에 의해 생성된 자유 완전 부울 알헤브라는 존재하지 않는다([1]집트가 유한하지 않는 한).보다 정확히 말하면, 어떤 추기경 κ에 대해서도, κ보다 큰 카디널리티 2의κ 완전한 부울대수가 존재하는데, 이 부울대수는 카운트 가능한 서브셋에 의해 완전한 부울대수로 생성된다. 예를 들어, 제품 공간 κ에ω 있는 정규 오픈세트의 부울대수로서, 여기서 κ은 이산위상을 갖는다.countable generation set는 m에m,n 대한 모든 세트 a, n 정수로 구성되며, x(m) < x(n)와 같은 원소 x κ로ω 구성된다.(이 부울대수는 강제로 추기경 κ을 Ω으로 붕괴시키기 때문에 붕괴 대수라고 불린다.)

특히 완전한 부울 알헤브라스에서 세트까지 망각적인 펑터에는 연속적이고 부울 알헤브라의 범주가 작아도 왼쪽 부울 알헤브라우스 알헤브라의 범주는 작다.이것은 프레이드의 보조 펑터 정리에 있는 "솔루션 세트 조건"이 필요하다는 것을 보여준다.

세트 X가 주어지면, 이 세트에서 생성된 자유 부울 대수 A를 형성한 후 완성 B를 취할 수 있다.그러나 X에서 자유 부울 대수 C까지의 함수는 일반적으로 B에서 C로 부울 알헤브라의 (중보존) 형태론까지 확장할 수 없기 때문에 B는 X가 생성하는 "자유" 완전한 부울 대수학이 아니다.

한편, 어떤 고정 추기경 κ에 대해서도, 주어진 집합에 의해 생성되는 자유(또는 보편적) κ-완전한 부울대수가 있다.

참고 항목

참조

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), "A model of ZF with an infinite free complete Boolean algebra", Israel Journal of Mathematics, 20 (2): 149–163, doi:10.1007/BF02757883, S2CID 119543439.