완전한 공간 임의성

이 글은 통계 전문가의 주의가 필요하다. 자세한 내용은 토크 페이지를 참조하십시오. 위키프로젝트 통계는 전문가를 모집하는 데 도움을 줄 수 있을 것이다. (2009년 6월)

완전한 공간적 무작위성(CSR)은 주어진 연구 영역 내에서 완전히 무작위적인 방식으로 포인트 이벤트가 발생하는 포인트 프로세스를 설명한다. 그것은 동질적인 공간적 포아송 과정과 동의어다.^[1] 이러한 프로세스는 하나의 $매개{\displaystyle }$ 변수 density${\displaystyle \rho },$즉 정의된 영역 내의 점 밀도를 사용하여 모델링된다. 완전한 공간적 무작위라는 용어는 특정 점 패턴을 조사하는 맥락에서 적용 통계에서 일반적으로 사용되는 반면, 다른 대부분의 통계적 맥락에서는 공간적 포아송 과정의 개념을 언급한다.^[1]

모델

한 공간 영역 내에 불규칙하게 분포된 점 집합 형태의 데이터는 많은 다양한 맥락에서 발생한다. 예를 들어 숲에 있는 나무, 새 둥지, 조직에 있는 핵, 위험에 처한 모집단의 병든 사람들의 위치를 포함한다. 우리는 그러한 데이터 세트를 공간 포인트 패턴이라고 부르며, 해당 위치를 이벤트로 언급하여 해당 지역의 임의 지점과 구별한다. 공간 점 패턴에 대한 완전한 공간 무작위성의 가설은 모든 영역의 사건 수가 균일한 구획당 주어진 평균 카운트를 갖는 포아송 분포를 따른다고 주장한다. 패턴의 사건들은 독립적이고 공간에 걸쳐 균일하게 분포되어 있다. 즉, 사건들은 어디에서나 일어날 가능성이 있고 서로 상호작용하지 않는다.

"일률적"은 연구 영역 전체에 분산된 "균등하게"의 의미가 아니라 연구 영역 전체에 걸쳐 균일한 확률 분포를 따른다는 의미에서 사용된다.^[2] 사건의 강도가 평면에 걸쳐 변하지 않기 때문에 사건들 사이에는 어떤 상호작용도 없다. 예를 들어, 한 사건의 존재가 이웃에서 다른 사건의 발생을 장려하거나 억제하는 경우 독립성 가정을 위반할 수 있다.

분배

따라서 사건 밀도가 ${\displaystyle \rho }$인 영역 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 내에서 정확히 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 점을$$ 찾을 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}\,\!}$

그 첫 순간, 그 지역의 평균 포인트 수는 단순히 ${\displaystyle \rho }$ V ${\displaystyle \rho$ V$}$이다$.$ 이 값은 포아송 비율 매개변수인 만큼 직관적이다.

${\displaystyle {\mathrm{특정}}^{}}$ 반경 거리 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N^{\mathrm{$$th$$}}}}$에 대해 $지정$된 점의 인접점을$$ 찾을 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D},}$

where ${\displaystyle D}$ is the number of dimensions, ${\displaystyle \lambda }$ is a density-dependent parameter given by ${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$ and ${\displaystyle \Gamma }$ is the gamma function, which when 그 인수는 정수일 뿐, 단순히 요인함수일 뿐이다.

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle P_{N}(r)}$의 기대값은 통계적 모멘트를 사용한 감마함수의 사용을 통해 도출할$$ 수 있다. 첫 번째 순간은 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ 차원에서$$ 랜덤하게 분포된 입자 사이의 평균 거리입니다.

적용들

CSR의 연구는 실험 소스에서 측정된 포인트 데이터의 비교를 위해 필수적이다. 통계적 시험방법으로서 CSR에 대한 시험은 사회과학과 천문시험에 응용이 많다.^[3] CSR은 종종 데이터 세트를 테스트하는 기준이 된다. CSR 가설을 시험하기 위한 한 가지 접근방식은 대략 다음과 같다.^[4]

1. 모든 이벤트에서 가장 가까운 다음 이벤트까지의 거리의 함수인 통계를 사용하십시오.
2. 먼저 특정 사건에 초점을 맞추고 사건 및 다음으로 가장 가까운 사건이 유의하게 가까운지(또는 먼지)를 시험하기 위한 방법을 마련한다.
3. 다음, 모든 사건을 고려하고 모든 사건에서 다음으로 가장 가까운 사건까지의 평균 거리가 유의하게 짧은지(또는 긴지)를 시험하기 위한 방법을 만든다.

분석적으로 계산 시험 통계가 어려운 경우, 확률적 과정을 많은 횟수로 시뮬레이션하여 몬테카를로 방법 시뮬레이션과 같은 수치적 방법을 채용한다.^[4]

참조

추가 읽기

• Diggle, P. J. (2003). Statistical Analysis of Spatial Point Patterns (2nd ed.). New York: Academic Press. ISBN 0340740701.

외부 링크

• 공간점 공정의 무작위성에 대한 사건간 거리실험 개선 연구^{[영구적 데드링크]}