연속 균일 분포

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왜도	0
엑스트라 쿠르토시스
엔트로피
MGF
CF

확률 이론과 통계에서 연속적인 균일 분포 또는 직사각형 분포는 대칭 확률 분포의 계열이다. 분포는 특정 범위 사이에 있는 임의의 결과가 있는 실험을 설명한다.^[1] 한계는 최소값과 최대값인 매개변수 a와 b로 정의된다. 간격은 닫힐 수 있다(예: [a, b]) 또는 개방(예: (a,^[2] b)). 따라서 분포는 흔히 U(a, b)로 축약되는데, 여기서 U는 균일한 분포를 의미한다.^[1] 경계 사이의 차이는 구간 길이를 정의한다. 분포 지지대에 동일한 길이의 모든 구간은 동일한 가능성이 있다. 분포의 지지대에 포함된 것 이외의 제약조건이 없는 임의 변수 X에 대한 최대 엔트로피 확률 분포다.^[3]

정의들

확률밀도함수

연속 균일 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

f(x)={\frac {1}{b-a}&\mathrm {for} \leq x\leq b,\[8pt]0&\mathrm {for} \a\mathrm {or} \x>b\case{}}}}}}

a와 b의 두 경계에서 f(x)의 값은 어떤 간격에 $걸쳐도$ f $(x) dx$ 의 통합 값을 변경하지 않으며 x $(x) dx$ 또는 더 높은 순간의 $값$ 을 변경하지 않기 때문에 일반적으로 중요하지 않다. 때때로 그들은, 0그리고 때때로 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output으로 선발된 선택된다..mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/b− a 후자는 최대우도법에 의한 추정의 맥락에서 적절하다. 푸리에 분석의 맥락에서, 어떤 사람은 f(a) 또는 f(b)의 $값$ 을 1/ $2(b$ - $a$ )로 취할 수 있다 $.$ 그 이후 이 균일한 함수의 많은 적분 변환의 역변환(역변환)은 "거의 모든 곳(almost allery)"과 동일한 함수(즉, 0으로 측정된 점 집합)가 아닌 함수 자체를 되돌릴 수 있기 때문이다. 또한, 그러한 모호성이 없는 부호 기능과 일치한다.

확률밀도함수는 직사각형으로 그려지는데, $b-a$ 서 $\scriptstyle {\frac {1}{b-a}}$ $b-a$ - $b-a$ 이(가) 베이스 $b-a$ , 1 $\scriptstyle {\frac {1}{b-a}}$ - ${\$ 이(가) 높이가 된다 $\scriptstyle {\frac {1}{b-a}}$ . a와 b 사이의 거리가 증가함에 따라 분포 경계 내의 특정 값에서의 밀도는 감소한다.^[4] 확률밀도함수는 1로 통합되기 때문에 염기길이 증가할수록 확률밀도함수의 높이는 감소한다.^[4]

평균 μ 및 분산 σ² 측면에서 확률 밀도는 다음과 같이 기록할 수 있다.

f(x)={\frac {1}{1}{2\frasma{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{3}}\leq x-\mu \leqrt{3}}\0&{\cext}}}}}}}}}}}}}}case{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

누적분포함수

누적분포함수는 다음과 같다.

F(x)={\begin{case}0&{{\text{{}x<a\[8pt]{b-a}}{b-a}}}{\text{}}a\leq x\leq b\\[8pt]1&{}}}x>bend{case}}

그 반대는 다음과 같다.

F^{-1(p)=a+p(b-a)\,\,{\text{ for }}}}}}}}{p<1

평균 및 분산 표기법에서 누적 분포 함수는 다음과 같다.

F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}}\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}}\end{cases}}

그리고 그 역은 다음과 같다.

F^{-1(p)=\sigma {\sqrt{3}}(2p-1)+\mu \,\,{\text{{}}}{}}}{0\leq p\leq p\leq 1

예 1. 균일 누적 분포 함수^[5] 사용

랜덤 변수 $X$ 의 경우

X\sim U(0,23)

$\scriptstyle P(2<X<18)$ ( 2 $\scriptstyle P(2<X<18)$ < $\scriptstyle P(2<X<18)$ < $\scriptstyle P(2<X<18)$ {\ $displaystyle \scriptstyle P$ (2 $<X<18)}$ 찾기 $\scriptstyle P(2<X<18)$

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

(

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

<

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

)

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

=

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

-

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

)

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

1

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

- 0

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

=

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}

= 16 23

{\

P

(2<X<18)=(18-2)}\cdot {\frac

{

1}{

1}{

23-0}}={\frac {16}{23

균일한 분포함수[f(x) 대 x]의 그래픽 표현에서, 지정된 한계 내의 곡선 아래 영역은 확률을 나타낸다(샤이딩된 영역은 직사각형으로 표시된다). 위의 특정 예제의 경우 기본값은 $\scriptstyle 18-2$ - $\scriptstyle 18-2$ ${\$ 이고 높이는 $\scriptstyle 18-2$ 1 $\scriptstyle {\frac {1}{23}}$ ${\$ 이 된다 $\scriptstyle {\frac {1}{23}}$ ^[5]

예 2. 균일 누적분포함수 사용(^[5]조건부

랜덤 변수 $X$ 의 경우

X\sim U(0,23)

$\scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)$ > $\scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)$ X $\scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)$ > $\scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)$ ) ${\$ \ X $>$ 8) 찾기 $\scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)$

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

>

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

> 8

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

)

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

=

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

(

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

-

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

)

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

= (23 - 12 )

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

1

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

-

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

= 11

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

{\

\

X>8)=(23-12)\cdot {\frac

{

1}{

1}{

23-8}={\frac{11}}{

15

P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}

이 예제 위 내용은 균일 분포에 대한 조건부 확률 사건: 주어진 X>;8{\displaystyle\scriptstyle X> 8}, 확률은 X> 있는 것이 사실이다;그래서 새로운 간격 길이 b를{\displaystyle b-a}− 12{\displaystyle\scriptstyle X>12}. 조건화 발생 확률은 표본 공간을 변화시키는 것입니다. 되는 한다alculated, 여기서 $b$ 는 23이고 $a$ 는 8이다.^[5] 그래픽 표현은 여전히 예 1을 따르는데, 여기서 지정된 범위 내의 곡선 아래 영역은 확률을 표시하고 직사각형의 밑부분은 $\scriptstyle 23-12$ $\scriptstyle 23-12$ $\scriptstyle 23-12$ ${\$ 및 $\scriptstyle 23-12$ $\scriptstyle {\frac {1}{15}}$ 1 $\scriptstyle {\frac {1}{15}}$ ${\$ {\ $frac{$ 1}{ $15}}}}$ 가 된다 $\scriptstyle {\frac {1}{15}}$ ^[5]

함수 생성

모멘트생성함수

모멘트 생성 기능은 다음과 같다.^[6]

M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}}{t(b-a)}}}}}\,\!

^[7]

거기서 우리는 생모멘트를 계산할 수 있다.

m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!

m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}}{3}},\,\!

m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k^{k-i}^{k-i}\,\!

특별한 경우 a = –b, 즉,

f(x)={\preas}{1}{2b}&{\text{for}\{b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text},\case}}}}}}

순간 생성 기능이 단순한 형태로 감소함

M_{x}={\frac {\sinh bt}{bt}}.

이 분포 이후 랜덤 변수의 경우 기대값은 m₁ = (a + b)/2이고 분산은₂ m₁² - m = (b - a)/²12이다.

누적생성함수

$n$ ≥ $2$ 의 경우, [- $1/2,$ 1/ $2]$ 간격의 균등 분포의 n번째 누적분은_n B/n이며, 여기서 B는_n n번째 베르누이 수이다.^[8]

표준 유니폼

$a=0$ = $a=0$ $a=0$ 및 $b=1$ = 1 ${\displaystyle b=1$ }을 $b=1$ 를) 제한하면 결과 분포 U(0,1)를 표준 균등 분포라고 한다.

표준 균일 분포의 한 가지 흥미로운 특성은 표준₁ 균일 분포가 있다면 1-u도₁ 마찬가지라는 것이다. 이 특성은 무엇보다도 반독점 변동을 발생시키는 데 사용될 수 있다. 즉, 이 속성은 연속 표준 균일 분포를 사용하여 다른 연속 분포에 대한 난수를 생성할 수 있는 반전 방법으로 알려져 있다.^[4] $u$ 가 표준 균일한 분포(0,1)의 균일한 난수인 경우, $x=F^{-1}(u)$ = $x=F^{-1}(u)$ - $x=F^{-1}(u)$ ( $x=F^{-1}(u)$ ) $x=F^{-1}(u)$ 은(는) 지정된 누적 분포 함수 $F$ 로 모든 연속 분포로부터 난수 $x$ 를 생성한다 $x=F^{-1}(u)$ .^[4]

다른 기능과의 관계

전환점에서 동일한 규약을 따르는 한 확률밀도함수는 또한 Hubiside 단계함수의 관점에서 표현될 수 있다.

f(x)={\frac {\operatorname {H}(x-a)-\operatorname {H}(x-b)}{b-a},\,\!

또는 직사각형 함수의 측면에서

f(x)={\frac {1}{b-a}\,\pretname {red}\left\frac {x-\left_frac {a+b}{2}}}{b-a}\오른쪽).

부호함수의 전환점에는 애매함이 없다. 전환점에서 반값 규약을 사용하여 균일한 분포는 다음과 같이 부호 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

f(x)={\frac {\sgnname {sgn} {(x-a)}-\sgnname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}}}.

특성.

순간

분포의 평균(첫 번째 순간)은 다음과 같다.

E(X)={\frac {1}{2}}(b+a).

분포의 두 번째 모멘트는 다음과 같다.

E(X^{2})={\frac {b^{3}-a^{3}}{3b-3a}}.

일반적으로 균등 분포의 n번째 모멘트는 다음과 같다.

E(X^{n}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}-a^{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n-1}}}={\frac {1}:{n+1}}}}={k=0}}{n-k}.

분산(두 번째 중심 모멘트)은 다음과 같다.

V(X)={\frac {1}{12}(b-a)^{2}

주문통계

X₁, ..., X를_n U (0,1)에서 추출한 I.I.D 샘플이 되게 하라. X를_(k) 이 표본의 k번째 순서 통계량이 되게 하라. 그런 다음 X의_(k) 확률 분포는 모수 k와 n - k + 1을 갖는 베타 분포다. 기대치는

{\displaystyle \operatorname {E}(X_{(k)}}={k \over n+1}.

이 사실은 Q–Q 그림을 그릴 때 유용하다.

분산은

\operatorname {V}(X_{(k)}={k(n-k+1) \over(n+1)^{2}(n+2)}.

참고 항목: 순서통계 § 순서통계 확률분포

균일성

균일하게 분포된 랜덤 변수가 고정 길이의 어떤 구간 안에 속할 확률은 구간 자체의 위치와 무관하다(단, 구간 크기에 따라 달라짐). 단, 구간이 분포의 지지대에 포함되는 한.

이를 보기 위해 X ~ U(a,b)와 [x, x+d]가 고정 d > 0인 [a,b]의 하위 절편이라면,

P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!

which is independent of x. 이 사실은 그 분포의 이름에 동기를 부여한다.

보렐 집합에 일반화

이 분포는 간격보다 더 복잡한 집합으로 일반화될 수 있다. S가 양의 유한 측정의 보렐 집합인 경우, pdf를 S 바깥쪽 0으로 정의하고 S의 1/K와 지속적으로 같도록 정의함으로써 S에 대한 균일한 확률 분포를 지정할 수 있다. 여기서 K는 S의 Lebesgue 측정값이다.

통계적 추론

모수 추정

최대값 추정

최소-분산 불편 추정기

[0, b]에서 알 수 없는 b를 균일한 분포로 지정하면 최대값의 최소-분산 불편 추정기(UMVUE)는 다음과 같이 지정된다.

{\hat{b}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}{k}m=m+{\frac {m}{k}}}

여기서 m은 표본 최대값이고 k는 표본 크기인데, 대체 없이 표본 추출한다(이 구분이 연속 분포에 대해 거의 확실히 차이가 없다). 이는 이산형 분포에 대한 추정과 동일한 이유로, 최대 간격 추정의 매우 단순한 사례로 볼 수 있다. 이 문제는 제2차 세계 대전 중 독일 탱크 생산 추정치에 최대 추정치를 적용하기 때문에 일반적으로 독일 탱크 문제로 알려져 있다.

최대우도 추정기

최대우도 추정기는 다음을 통해 제공된다.

{\hat{b}}_{ML}=m

여기서 m은 표본 최대값이며, 표본의 최대 $m=X_{(n)}$ 순서 통계량( $m=X_{(n)}$ = $m=X_{(n)}$ ( $){\$ m= $X_{(n)})$ 으로 표시되기도 한다.

모멘트 추정기법

모멘트 추정기의 방법은 다음과 같다.

{\hat{b}}_{MM}=2{\bar{X}

여기서 ${\bar {X}}$ 의 ${\$ 은(는) 표본 평균이다 ${\bar {X}}$ .

중간점 추정

분포의 중간점(a + b) / 2는 균등 분포의 평균과 중위수 모두다. 표본 평균과 표본 중위수가 모두 중간점의 불편 추정기이지만 둘 다 표본 중간 범위만큼 효율적이지 않다. 즉 표본 최대값과 표본 최소값의 산술 평균은 중간점의 UMVU 추정기(최대우도 추정기)이다.

신뢰구간

최대값으로

$U_{[0,L]}$ , X₂, X₃, ..., X를_n U $U_{[0,L]}$ [ 0 $U_{[0,L]}$ $U_{[0,L]}$ $U_{[0,L]}$ ${\$ 의 표본으로 두십시오. 여기서 $U_{[0,L]}$ L은 모집단 최대값입니다. 그러면 X_(n) = max(X₁, X, X₂₃, ..., X )에는_n $f:={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}$ f $f:={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}$ $f:={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}$ X $f:={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}$ ) d $f:={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}$ ${\$ 이 있다.

f(t)=n{\frac {1}{{1}{L}\왼쪽({\frac {t}{L}\오른쪽)^{n-1}=n{\frac {n-1}{L^{n1}},0\leq t\leq L

The confidence interval given before is mathematically incorrect, as $\Pr([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\epsilon ]\ni \theta )\geq 1-\alpha$ cannot be solved for $\epsilon$ without knowledge of $\theta$ . However one can solve

 $\Pr([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\epsilon )]\ni \theta )\geq 1-\alpha$  for   $\epsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1$  for any unknown but valid  $\theta$ ,

그런 다음 위의 조건을 만족시킬 수 있는 $\epsilon$ 가장 작은 $\epsilon$ $\epsilon$ 을(를) 선택하십시오. 간격 길이는 ${\hat {\theta }}$ 변수 ^ ${\hat {\theta }}$ ${\$ 에 따라 다르다는 점에 유의하십시오 ${\hat {\theta }}$

발생 및 적용

균일한 분포함수의 확률은 함수 형태의 단순성 때문에 계산이 간단하다.^[2] 따라서 이 분포를 다음과 같이 사용할 수 있는 다양한 적용 분야가 있다. 가설 검정 상황, 무작위 표본 추출 사례, 재무 등이다. 더욱이 일반적으로 물리적 기원의 실험은 균일한 분포(예를 들어 방사성 입자의 방출)를 따른다.^[1] 그러나 어떤 적용에서든 고정된 길이의 간격에서 떨어질 확률은 일정하다는 불변의 가정이 있다는 점에 유의해야 한다.^[2]

균일 분포에 대한 경제학적 예

경제학 분야에서는 일반적으로 수요와 보충이 예상된 정규 분포를 따르지 않을 수 있다. 그 결과 베르누이 공정과 같은 확률과 추세를 더 잘 예측하기 위해 다른 분포 모델을 사용한다.^[10] 그러나 Wanke(2008)에 따르면, 완전히 새로운 제품이 분석되고 있는 라이프사이클 초기에 재고 관리를 위한 리드 타임을 조사하는 특별한 경우, 균일한 분포가 더 유용한 것으로 판명되었다.^[10] 이러한 상황에서는 신제품에 대한 기존 데이터가 없거나 수요 기록을 사용할 수 없기 때문에 실제로 적절하거나 알려진 배포가 없기 때문에 다른 배포가 실행 불가능할 수 있다.^[10] 신제품에 대한 리드타임(수요와 관련된)의 랜덤 변수는 알 수 없지만 결과는 두 값의 타당한 범위 사이에 있을 가능성이 높기 때문에 이러한 상황에서 균일 분포가 이상적일 것이다.^[10] 따라서 리드 타임은 랜덤 변수를 나타낼 것이다. 균일한 분포 모델에서, 리드 타임과 관련된 다른 요소들, 즉 사이클 서비스 수준과 사이클당 부족을 계산할 수 있었다. 계산이 단순해 균일분포도 사용했다는 점도 주목됐다.^[10]

임의 분포에서 표본 추출

균일 분포는 임의 분포로부터 표본을 추출하는 데 유용하다. 일반적인 방법은 역변환 표본 추출법으로, 목표 랜덤 변수의 누적분포함수(CDF)를 사용한다. 이 방법은 이론 작업에 매우 유용하다. 이 방법을 사용한 시뮬레이션은 대상 변수의 CDF를 뒤집어야 하기 때문에, CDF를 폐쇄형 형태로 알 수 없는 경우에 대한 대체 방법이 고안되었다. 그러한 방법 중 하나는 거부 샘플링이다.

정규 분포는 역변환법이 효율적이지 않은 중요한 예다. 그러나 정확한 방법인 Box-Muller 변환이 있는데, 이 변환은 역 변환을 사용하여 두 개의 독립된 균일한 랜덤 변수를 두 개의 독립된 정규 분포 랜덤 변수로 변환한다.

수량화 오류

아날로그-디지털 변환에서는 정량화 오류가 발생한다. 이 오류는 반올림이나 잘림 때문에 발생한다. 원래 신호가 하나 최소 유의 비트(LSB)보다 훨씬 큰 경우, 정량화 오차는 신호와 유의하게 상관되지 않으며 대략적으로 균일한 분포를 가진다. 따라서 RMS 오차는 이 분포의 분산에서 나타난다.

계산 방법

균등분포에서의 표본 추출

시뮬레이션 실험을 실행하는 데 유용한 응용 프로그램이 많다. 많은 프로그래밍 언어는 표준 균일 분포에 따라 효과적으로 배포되는 의사 난수를 생성하기 위한 구현과 함께 제공된다.

u가 표준 균등분포에서 추출한 값인 경우, a + (b - a)u 값은 위에서 설명한 대로 a와 b에 의해 매개변수가 설정된 균등분포 파라미터를 따른다.

역사

균일분포 개념의 역사적 기원은 결론에 이르지 못하지만, 주사위 게임에서 '균일'이라는 용어는 '균일함'이라는 개념에서 비롯되었을 것으로 추측된다(주: 주사위 게임은 불연속적인 균일한 샘플 공간을 가지지 않을 것이다). 등가성은 16세기에 쓰여진 매뉴얼이자 주사위와 관련하여 진보된 확률 미적분학을 상세히 기술한 제롤라모 카르다노의 Liber de Ludo Aleae에서 언급되었다.^[11]

참고 항목

균일분포(분포)
베타 분포
박스-뮬러 변환
확률도
Q–Q 그림
직사각형 함수
Irwin-Hall 분포 — n=1이 발생하는 퇴화된 경우, Irwin-Hall 분포는 0과 1 사이의 균일한 분포를 생성한다.
베이츠 분포 — 어윈 홀 분포와 유사하지만 n에 대해 재조정됨. 어윈홀 분포와 마찬가지로, n=1이 되는 퇴화된 경우, 베이츠 분포는 0과 1 사이의 균일한 분포를 생성한다.

참조

^ ^a ^b ^c Dekking, Michel (2005). A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. London, UK: Springer. pp. 60–61. ISBN 978-1-85233-896-1.
^ ^a ^b ^c Walpole, Ronald; et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers and Scientists. Boston, USA: Prentice Hall. pp. 171–172. ISBN 978-0-321-62911-1.
^ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model". Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014.
^ ^a ^b ^c ^d "Uniform Distribution (Continuous)". MathWorks. 2019. Retrieved November 22, 2019.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Illowsky, Barbara; et al. (2013). Introductory Statistics. Rice University, Houston, Texas, USA: OpenStax College. pp. 296–304. ISBN 978-1-938168-20-8.
^ 카셀라 & 버거 2001 페이지 626
^ https://www.stat.washington.edu/~nehemyl/파일/UW_MATH-STAT395_moment-functions.pdf
^ https://galton.uchicago.edu/~wichura/Stat304/분만/L18.cumulants.pdf
^ Nechval KN, Nechval NA, Vasermanis EK, Makeev VY(2002) 최단 길이의 신뢰 구간 구성. 교통 및 통신 3(1) 95-103
^ ^a ^b ^c ^d ^e Wanke, Peter (2008). "The uniform distribution as a first practical approach to new product inventory management". International Journal of Production Economics. 114 (2): 811–819. doi:10.1016/j.ijpe.2008.04.004 – via Research Gate.
^ Bellhouse, David (May 2005). "Decoding Cardano's Liber de Ludo". Historia Mathematica. 32: 180–202. doi:10.1016/j.hm.2004.04.001.

추가 읽기

Casella, George; Roger L. Berger (2001), Statistical Inference (2nd ed.), ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN 2001025794

외부 링크

균일 분포 온라인 계산기(연속)

[:0-1] Dekking, Michel (2005). A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. London, UK: Springer. pp. 60–61. ISBN 978-1-85233-896-1.

[:3-2] Walpole, Ronald; et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers and Scientists. Boston, USA: Prentice Hall. pp. 171–172. ISBN 978-0-321-62911-1.

[3] Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model". Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014.

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[7] ttps://www.stat.washington.edu/~nehemyl/파일/UW_MATH-STAT395_moment-functions.pdf

[8] ttps://galton.uchicago.edu/~wichura/Stat304/분만/L18.cumulants.pdf

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확률밀도함수 최대 컨벤션 사용
누적분포함수
표기법	${\mathcal{U}_{[a,b]}}}$
매개변수	$\displaystyle -\fully \,}$
지원	$[a,b]에서 [\displaystyle x\in]$
PDF	${\fract{1}{1}{b-a}&{\text{}}x\in[a,b]\0&{\text}}\case}}}$
CDF	${\case}0&{\text{}x<a\\{\x}{x-a}{b-a}}{}}{}x\in[a,b]\1&{\text}}}}}}}$
평균	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
중앙값	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
모드	$(a,b)$ ) $(a,b)$ 의 임의 값
분산	${\tfrac {1}{12}(b-a)^{2}$
왜도	0
엑스트라 쿠르토시스	$-{\tfrac {6}{5}}$
엔트로피	$\displaystyle \ln(b-a)\,}$
MGF	${\case}{\frac {\mathrm {e}^{tb}-\mathrm {e}^{t}}}{{t(b-a)}}}}}{\text}{}}{}t\neq 0\1&{\text{}}}}}}}}}}$
CF	${\case}{\frac {\mathrm {e}^{itb}-\mathrm {e}^{{ita}}}{{{-a}}}}&{}{}t\neq 0\&{\text{}}}}}}}}}}$

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