조건부 로지스틱 회귀 분석

조건부 로지스틱 회귀는 계층화와 일치를 고려할 수 있는 로지스틱 회귀의 확장이다.그것의 주요 적용 분야는 관찰 연구와 특히 역학이다.1978년 노먼 브레슬로, 니콜라스 데이, 캐서린 할보르센, 로스 L. 프렌티스, C에 의해 고안되었다.사바이.^[1] 일치된 데이터에 대한 가장 유연하고 일반적인 절차다.

동기

관측 연구는 교란 요인을 제어하는 방법으로 층화 또는 일치를 사용한다.관련 검정에 표시된 일치 데이터에 대한 조건부 로지스틱 회귀 분석 이전에 여러 검정이 존재했다.그러나 임의의 층 크기를 갖는 연속 예측 변수의 분석은 허용하지 않았다.또한 이러한 모든 절차는 조건부 로지스틱 회귀 분석의 유연성과 특히 공변량을 제어할 수 있는 가능성이 부족하다.

로지스틱 회귀 분석은 각 층에 대해 상수 항을 가지면 층화를 고려할 수 있다.Let us denote ${\displaystyle Y_{i\ell }\in \{0,1\}}$ the label (e.g. case status) of the ${\displaystyle \ell }$th observation of the ${\displaystyle i}$th stratum and ${\displaystyle X_{i\ell }\in \mathbb {R} ^{p}}$ the values of the corresponding predictors.그러면 한 관측치의 확률이

${\displaystyle \mathbb {P} (Y_{i\ell }=1 X_{i\ell })={\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 i$${\$displaystyle i}$ th$$ 계층의 상수 항이다.이것은 제한된 지층 수에 만족스럽게 작용하지만, 지층이 작을 때 병리학적 행동이 일어난다.계층이 쌍인 경우 파라미터 수는 관측치 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ N$}$과(${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{}}$ 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac{N}{2}}+p}$임)$$에 따라 증가한다.$$따라서 최대우도 추정에 기초하는 점증적 결과는 유효하지 않고 추정이 편향된다.사실, 일치된 쌍들의 데이터의 무조건적인 분석은 정확한 조건부 데이터의 제곱인 승산비를 추정하는 결과를 가져올 수 있다.^[2]

조건부우도

조건부 우도 접근방식은 각 계층의 사례 수를 조절하여 위의 병리학적 행동을 다루며, 따라서 지층 파라미터를 추정할 필요가 없다.지층이 쌍으로 되어 있는 경우, 첫 번째 관찰은 사례, 두 번째 관찰은 대조군인 경우, 이를 다음과 같이 볼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&\mathb {P}(Y_{i1}=1,Y_{i2}=0 X_{i1},X_{i2},Y_{i1}+Y_{i2}=1)\\&, ={\frac{\mathbb{P}(Y_{i1}=1 X_{i1})\mathbb{P}(Y_{i2}=0 X_{i2})}{\mathbb{P}(Y_{i1}=1 X_{i1})\mathbb{P}(Y_{i2}=0 X_{i2})+\mathbb{P}(Y_{i1}=0 X_{i1})\mathbb{P}(Y_{i2}=1 X_{i2})}}\\[6pt]\&={\frac{{\frac{\exp(\alpha_{나는}와{\boldsymbol{\beta}}^{\top}X_{i1})}{1+\exp(\alpha_{나는}와{\boldsymbol{\beta}}^{\top}X_{i1})}}년.번{)frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}{{\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}+{\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac{\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}}\\[6pt]\ &={\frac {\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})+\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}.\\[6pt]\end{aigned}}}$

유사한 계산에서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 첫 번째 관측치를 가진$$m$크기{\displaystyle }$ 계층의 조건부 우도는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathb {P}(Y_{ij}=1{{\text{{{}}{}}}}}}}}}}}{{ij}=0{{{\text{{}}}{}}}}}}}})Y_{ij}=k)={\frac {\exp(\sum _{j=1}^{k}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}{\sum _{J\in {\mathcal {C}}_{k}^{m}}\exp(\sum _{j\in J}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}},}$

여기서 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$_{$k}^{m}}}$은(는) $\{{\displaystyle }$1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle .}$ . . .${\displaystyle m\}}$ ${\displaystyle \{1,...,m$ 집합의$$ $k{\displaystyle }$ 크기 ${\$displaystystyle $k}$의 모든 하위 집합이다.

완전한 조건부 로그 가능성은 각 계층에 대한 로그 우도의 합이다.그런 다음 추정기는 조건부 로그 가능성을 최대화하는$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }($으)로 정의된다.

실행

조건부 로지스틱 회귀 분석을 R에서 함수로 사용할 수 있음clogit에서survival꾸러미그것은 에 있다.survival조건부 로지스틱 모형의 로그 우도는 특정 데이터 구조를 가진 Cox 모형의 로그 우도와 동일하기 때문에 패키지.^[3]

관련시험

• 쌍체 차이 검정을 사용하면 쌍을 고려하면서 이항 결과와 연속 예측 변수 사이의 연관성을 검정할 수 있다.
• Cochran-Mantel-Haenszel 테스트는 임의의 지층 크기로 층화를 고려하면서 이항 결과와 이항 예측 변수 사이의 연관성을 테스트할 수 있다.적용조건이 검증되면 조건부 로지스틱 회귀점수 검정과 동일하다.^[4]

메모들