콘 임베딩 문제

1970년대 알랭 콘이 공식화한 콘의 임베딩 문제는 폰 노이만 대수학 이론에서 주요한 문제다.그 기간 동안, 그 문제는 수학의 몇 가지 다른 영역에서 재조정되었다.Dan Voiculescu가 그의 자유 엔트로피 이론을 발전시키고 있는 가운데 Connes의 임베딩 문제가 마이크로스테이트의 존재와 관련이 있다는 것을 발견했다.폰 노이만 알헤브라스 이론의 일부 결과는 이 문제에 대한 긍정적인 해결책을 가정할 때 얻을 수 있다.이 문제는 양자론의 몇 가지 기본적인 질문과 연결되어 있어, 컴퓨터 과학에서도 중요한 함의가 있다는 것을 깨닫게 되었다.

그 문제에는 상당수의 등가 제형이 인정된다.^[1]특히 다음과 같은 장기적 문제에 해당한다.

• 키르흐베르크의 C*알제브라 이론의 QWEP 추측
• 양자정보이론의 티렐손 문제
• 어떤 (분리할 수 있는) 폰 노이만 대수학의 사전은 트레이스 클래스에서 정밀하게 표현할 수 있다.

2020년 1월 지, 나타라잔, 비딕, 라이트, 유엔은 콘네스의 임베딩 문제에 대한 부정적 답을 내포한 양자 복잡성 이론의^[2] 결과를 발표했다.^[3][4]

성명서

자연 번호에 ω{\displaystyle \omega} 자유 ultrafilter과 미량 τ{\displaystyle \tau}과 R이 되hyperfinite형 II1 요소가 되게 하다. 사람은}은 ultrapower R({\displaystyle R^{\omega}를 구성할 수 있습니다:l ∞(R)){()n)n⊆ R:저녁밥을 먹다 nxn<>,자. ∞}norm-bounded 순서의{\displaystyle l^{\infty}(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}x_{n}<>\infty\와 같이}}가 폰 노이만 대수와 난 월드컵{()n)∈ 나는∞(R):lim n→ω τ()n∗)n)12=0}{\displaystyle I_{\omega}(R):\lim _{n\rightarrow \omega}\tau(x_{n}^ ω 봅시다.{$*}x_{n}^{\frac {1}{2}}=0$The quotient ${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$ turns out to be a II₁ factor with trace ${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+$$I_{\omega$ $\}\},$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) n ${\$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 대표적인 시퀀스 입니다$.$

Connes의 임베딩 문제는 분리 가능한 Hilbert 공간의 모든 타입 II₁ 인자가 어떤 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$에 포함될 수 있는지 묻는다$.$

이 문제에 대한 긍정적인 해결책은 II-1-요인(Ufe Haagerup)의 많은 종류의 연산자를 위해 불변성 서브스페이스가 존재한다는 것을 의미할 수 있다. 모든 계산 가능한 이산형 그룹은 초선형이다.이 문제에 대한 긍정적인 해결책은 자유 엔트로피 ${\$과(Dan Voiculescu)에 의해 정의된 자유 엔트로피 사이의 동일성에 의해 암시될 것이다.2020년 1월, 연구진은^[2] 이 문제를 음성, 즉 하이퍼피니트 II₁ 인자의$$ 초고속 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$ R$^{\omega }}$에 내장하지 않는 타입 II₁ 폰 노이만 인자가 존재한다고 주장했다.

$R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$의 이형성 등급은 연속체 가설(Ge-Hadwin 및 Farah-Hart-Sherman)이 사실인 경우에만 초여과기와 독립적이지만$$, 그러한 내장 속성은 분리 가능한 힐버트 공간에 작용하는 폰 노이만 알헤브라가 대략적으로 매우 작기 때문에 초여터에 의존하지 않는다..

그 문제에는 상당수의 등가 제형이 인정된다.^[1]

Connes의 임베딩 문제를 전담하는 회의

• Connes의 임베딩 문제와 양자 정보 이론 워크샵; Nashville Tennessee의 Vanderbilt University; 2020년 5월 1일부터 7일까지 (후기; TBA)
• 캐나다의 BIRS; 2019년 7월 14일~19일, 많은 면모를 지닌 Connes의 임베딩 문제
• 윈터 스쿨: Connes의 임베딩 문제와 양자 정보 이론; 오슬로 대학교, 2019년 1월 7일-11일
• 소픽과 초선형 그룹과 콘네임베딩 추측에 관한 워크숍; 브라질 UFSC 플로리아노폴리스; 2018년 6월 10일부터 21일까지
• 연산자 알헤브라스 및 에르고딕 이론의 근사 특성; UCLA; 2018년 4월 30일 - 5월 5일
• 연산자 알헤브라와 양자정보 이론; 파리 앙리 푸앵카레 연구소; 2017년 12월
• 운영자 공간, 조화 분석 및 양자 확률에 관한 워크숍; 마드리드 ICMAT; 2013년 5월 20일-6월 14일
• Connes 임베딩 문제 주변 필드 워크샵 – 2008년 5월 16일-18일 오타와 대학교

참조

추가 읽기

• Capraro, Valerio (2010). "A Survey on Connes' Embedding Conjecture". arXiv:1003.2076 [math.OA].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "Model theory of operator algebras I: stability". Bulletin of the London Mathematical Society. 45 (4): 825–838. arXiv:0908.2790. doi:10.1112/blms/bdt014. S2CID 15024863.
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproducts of C*-algebras". Oper. Theory Adv. Appl. 127: 305–326. doi:10.1007/978-3-0348-8374-0_17. ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "A linearization of Connes' embedding problem" (PDF). New York Journal of Mathematics. 14: 617–641.
• Sherman, David (2008). "Notes on Automorphisms of Ultrapowers of II₁ Factors". arXiv:0809.4439 [math.OA].
• Pisier, Gilles. "Tensor products of C*-algebras and operator spaces: The Connes-Kirchberg problem" (PDF).