마이크로스테이트(통계 역학)

동전을 두 번 뒤집는 마이크로스테이트와 매크로스테이트. 모든 미시상태는 동일하게 개연성이 있지만, 매크로상태(H, T)는 매크로상태(H, H), (T, T)보다 개연성이 2배 높다.

통계 역학에서 마이크로스테이트는 열역학 시스템의 특정한 미시적 구성으로 시스템이 열변동 과정에서 일정한 확률로 점유할 수 있다. 이와는 대조적으로, 시스템의 매크로 상태는 그것의 온도, 압력, 부피, 밀도와 같은 그것의 거시적인 특성을 가리킨다.^[1] 통계역학에^[2]^[3] 대한 치료는 다음과 같이 매크로 상태를 정의한다: 에너지의 특정 값 집합, 입자의 수, 고립된 열역학 시스템의 부피를 특정 매크로 상태를 명시한다고 한다. 이 설명에서 미시상태는 시스템이 특정한 매크로 상태를 달성할 수 있는 다른 가능한 방법으로 나타난다.

매크로 상태는 모든 마이크로스테이트의 특정 통계적 앙상블에 걸쳐 가능한 상태의 확률 분포를 특징으로 한다. 이 분포는 특정 미시 상태에서 시스템을 찾을 확률을 설명한다. 열역학적 한계에서, 그것의 변동 동안에 거시적 시스템이 방문한 미시적 상태들은 모두 동일한 거시적 특성을 가지고 있다.

열역학 개념의 미시적 정의

통계 역학은 시스템의 경험적 열역학적 특성을 마이크로스테이트의 앙상블의 통계적 분포와 연결한다. 시스템의 모든 거시적 열역학 특성은 모든 마이크로스테이트의 ${\text{exp}}(-E_{i}/kT)$ ${\text{exp}}(-E_{i}/kT)$ - ${\text{exp}}(-E_{i}/kT)$ / ${\text{exp}}(-E_{i}/kT)$ $){\displaystyle {\text{exp}}(-E_{i}/kT)$ 를 합한 파티션 함수로 계산할 수 있다.

시스템은 $\Omega$ ${\displaystyle$ $\Omega$ i $}$ 이(가) $i$ 을 붙인 $\displaystyle$ i} 마이크로스테이트의 $\오메가$ $i$ 앙상블에 분산되며, 각각 $p_{i}$ ${\$ 그리고 $E_{i}$ ${\$ i $E_{i}$ 마이크로스테이트가 본질적으로 양자 기계적인 경우, 이 마이크로스테이트가 된다.로스테이트는 양자 통계역학에 의해 정의된 이산 집합을 형성하며, $E_{i}$ ${\$ 는 시스템의 $E_{i}$ 에너지 수준이다.

내부 에너지

매크로 상태의 내부 에너지는 시스템 에너지의 모든 마이크로스테이트에 걸친 평균이다.

U\,:=\,\langle E\rangle \,\,\sum \limits _{i=1}^{{i}}\Oomega }p_{i}\,E_{i}}}}}}}

이것은 열역학 제1법칙과 관련된 에너지의 개념에 대한 미시적인 진술이다.

엔트로피

표준 앙상블의 보다 일반적인 경우, 절대 엔트로피는 오로지 마이크로스테이트의 확률에 의존하며 다음과 같이 정의된다.

S\,:=\,-k_{\mathrm {B}\\\sum \limits _{i=1}^{{i}\\ln(p_{i})

여기서 $k_{B}$ $k_{B}$ ${\$ 는 $k_{B}$ 볼츠만 상수다. 매크로스테이트의 에너지와 동일한 에너지를 가진 마이크로스테이트들로만 구성된 마이크로캐논 앙상블의 경우, 이것은 다음과 같이 단순화된다.

S=k_{B}\,\ln \Oomega

마이크로스테이트 수 $\Omega =1/p_{i}$ = $\Omega =1/p_{i}$ / p $\Omega =1/p_{i}$ ${\$ 과(와) 함께 $\Omega =1/p_{i}$ 엔트로피를 위한 이 양식은 비엔나에 있는 루드비히 볼츠만의 묘비에 나타난다.

열역학 제2법칙은 고립된 시스템의 엔트로피가 시간에 따라 어떻게 변하는지 설명한다. 열역학 제3법칙은 엔트로피가 0이면 시스템의 매크로 상태가 단일 마이크로 상태로 감소한다는 것을 의미하기 때문에 이 정의와 일치한다.

열과 일

열과 일은 우리가 시스템의 근본적인 양자적 특성을 고려한다면 구별될 수 있다.

폐쇄형 시스템(물질의 전달 없음)의 경우, 통계역학에서의 열은 시스템에서 질서 정연하고 미세한 작용과 관련된 에너지 전달이며, 시스템의 양자 에너지 수준의 점령 수치의 점프와 관련되며, 에너지 수준 자체의 값 변화 없이 전달된다.^[2]

작업은 시스템에 대해 순서가 정해진 거시적 작용과 관련된 에너지 전달이다. 만약 이 작용이 매우 느리게 작용한다면, 양자역학의 단열적 정리는 이것이 시스템의 에너지 수준 사이에서 점프를 일으키지 않을 것임을 암시한다. 이 경우 시스템의 내부 에너지는 시스템의 에너지 수준의 변화로 인해 변화할 뿐이다.^[2]

열과 일의 미시적, 양자적 정의는 다음과 같다.

\delta W=\sum _{i=1}^{{N}p_{i}\,dE_{i}}}}

\delta Q=\sum _{i=1}^{{N}E_{i}\,dp_{i}}}}

하도록

DU=\delta W+\delta Q.}

열과 일에 대한 위의 두 가지 정의는 양자 사례에서 정의한 열역학적 양이 고전적 한계에서 유사한 정의를 찾지 못하는 통계적 역학의 몇 가지 표현 중 하나이다. 그 이유는 고전적인 미세현상이 정밀하게 연관된 양자 마이크로스테이트와 관련하여 정의되지 않기 때문인데, 이는 작업이 시스템의 고전적인 미세현상들 사이에서 분포에 이용 가능한 총 에너지를 변화시킬 때, 미세현상의 에너지 수준(말하자면)은 이 변화를 따르지 않는다는 것을 의미한다.

위상 공간의 미시 상태

고전 위상 공간

F 자유도의 고전적 시스템에 대한 설명은 좌표 축이 시스템의 F 일반화된 좌표 q와_i 그것의 F 일반화된 모멘트 a p로 구성된 2F 차원 위상 공간의 관점에서_i 명시될 수 있다. 그러한 시스템의 미시 상태는 위상 공간의 단일 점으로 지정될 것이다. 하지만 엄청난 수의 자유도를 가진 시스템에게 정확한 미시 상태는 보통 중요하지 않다. 그래서 위상공간은 각각₀ 미시상태로 취급되는 _i_ih = ΔQΔp 크기의 세포로 나눌 수 있다. 이제 마이크로스테이트는 이산형이고 셀^[4] 수 있으며, 내부 에너지 U는 더 이상 정확한 값은 없지만 U와 U+ΔU 사이에 있으며, ${\textstyle \delta U\ll U}$ ${\textstyle \delta U\ll U}$ 가 ${\textstyle \delta U\ll U}$ U {\ $textstyle \delta$ U $\ll$ U $}$ 이다 ${\textstyle \delta U\ll U}$

폐쇄 시스템이 점유할 수 있는 마이크로스테이트 Ω 수는 위상 공간 볼륨에 비례한다.

{\displaystyle \Oomega(U)={\frac {1}{h_{0}^{\mathbf {1}{{F}}\mathbf {1}{\delta U}(x)-U)\prod _{{i=1}^{F}dq_{i}dp_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}int.

여기서

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

U

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

(

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

( x

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

)

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

-

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

)

{\textstyle \mathbf {

1

} _{\delta

U

}(H(x)-U)}

은 지표

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

함수다. 위상 공간의 x = (q,p) 지점에서 해밀턴 함수 H(x)가 U와 U+ ΔU 사이에 있으면 1이고 그렇지 않으면 0이다. 1h

{\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}

{\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}

{\

{

1}{h_{0}^{\mathcal

{F

}}}}

상수는 Ω(U) 치수를 무차원으로 만든다

{\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}

. 이상적인 가스는

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

)

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

U

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

-

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

\Oomega(U)\propto {\mathcal {F

이다.

U^{\frac {\mathcal

{F

}{

2}}-

1

^[5]

delta U}

.

이 설명에서 입자는 구별할 수 있다. 두 입자의 위치와 운동량을 교환하면 위상 공간의 다른 지점으로 새로운 상태가 표현된다. 이 경우 하나의 지점이 미시 상태를 나타낼 것이다. 만약 M 입자의 부분집합이 서로 구별되지 않는다면, M! 가능한 순열 또는 이러한 입자의 교환은 단일 마이크로 상태의 일부로 계산될 것이다. 또한 가능한 마이크로스테이트 세트는 열역학 시스템의 제약조건에도 반영된다.

예를 들어, V 부피의 큐브에 포함된 총 에너지 U를 가진 N 입자의 단순한 기체의 경우, 기체의 표본을 실험적인 수단으로 다른 샘플과 구별할 수 없는 마이크로스테이트는 위상공간에서 위에서 언급한 N! 지점으로 구성되며, 미세상태 집합은 모든 위치를 갖도록 제약을 받게 된다. 상자 안에 놓여질 좌표와 반지름 U의 운동량 좌표에서 초지각 표면에 놓여질 모멘텀a. 반면에 시스템은 서로 구별할 수 있는 두 개의 다른 기체의 혼합물로 구성되어 있다면, A와 A가 있는 두 지점부터 A와 A가 있는 두 지점부터 마이크로스테이트의 수가 증가하게 된다. 위상공간에서 B 입자가 교환되는 것은 더 이상 동일한 마이크로 상태의 일부가 아니다. 그럼에도 불구하고 동일한 두 개의 입자는 예를 들어 위치를 기준으로 구별할 수 있다. (구성 엔트로피 참조) 상자에 동일한 입자가 들어 있고 평형 상태에 있으며, 칸막이가 삽입되어 볼륨을 반으로 나눈다면, 이제 한 상자의 입자와 두 번째 상자의 입자를 구별할 수 있다. 위상공간에서, 각 상자의 N/2 입자는 이제 V/2 볼륨으로 제한되고, 그 에너지는 U/2로 제한되며, 단일 미시상태를 설명하는 점의 수는 바뀔 것이다. 위상공간 설명은 동일하지 않다.

이것은 깁스의 역설과 정확한 볼츠만의 계산에 모두 함축되어 있다. 볼츠만 카운팅과 관련하여, 그것은 위상 공간의 점의 다양성으로, 효과적으로 마이크로스테이트의 수를 줄이고 엔트로피를 광범위하게 렌더링한다. Gibb의 역설과 관련하여, 중요한 결과는 파티션의 삽입에 따른 마이크로스테이트의 수 증가(따라서 엔트로피의 증가)가 각 입자가 사용할 수 있는 부피의 감소에 따른 마이크로스테이트의 수 감소(따라서 엔트로피의 감소)와 정확히 일치한다는 것이다. 순 엔트로피 0의 변화를 초래하는 순 엔트로피 0의 순 엔트로피 변화

참고 항목

참조

^ 웨이백 머신에 매크로스테이트 및 마이크로스테이트 보관 2012-03-05
^ ^a ^b ^c Reif, Frederick (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill. pp. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.
^ Pathria, R K (1965). Statistical Mechanics. Butterworth-Heinemann. p. 10. ISBN 0-7506-2469-8.
^ "The Statistical Description of Physical Systems".
^ Bartelmann, Matthias (2015). Theoretische Physik. Springer Spektrum. pp. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

외부 링크

마이크로스테이트 대 매크로스테이트의 일부 그림

[1] 웨이백 머신에 매크로스테이트 및 마이크로스테이트 보관 2012-03-05

[Reif-2] Reif, Frederick (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill. pp. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.

[3] Pathria, R K (1965). Statistical Mechanics. Butterworth-Heinemann. p. 10. ISBN 0-7506-2469-8.

[4] "The Statistical Description of Physical Systems".

[5] Bartelmann, Matthias (2015). Theoretische Physik. Springer Spektrum. pp. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

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