이중표현

수학에서 G가 집단이고 ρ이 벡터 공간 V에서 그것을 선형적으로 표현한 것이라면, 이중 표현 ρ*은 다음과 같이 이중 벡터 공간 V*에 걸쳐 정의된다.^[1][2]

ρ*(g)는 ρ(g⁻¹), 즉 trans*(g) = ρ(g⁻¹)^T의 전치물이다.

이중대표는 또한 반대표현으로도 알려져 있다.

g가 리 대수이고 π이 벡터 공간 V에서 그것을 나타내는 것이라면, 이중 표현 π*은 다음과 같이 이중 벡터 공간 V*에 걸쳐 정의된다.^[3]

π*(X) = 모든 X ∈ g에 대해 -π(X)^T

이 정의의 동기는 Lie 집단표현의 이중과 연관된 Lie 대수표현이 위의 공식으로 계산된다는 것이다.그러나 Lie 대수표현의 이중적 정의는 그것이 Lie 그룹표현에서 나오지 않더라도 타당하다.

두 경우 모두 이중표현은 통상적인 의미에서의 표현이다.

특성.

무reducibility와 두 번째 이중화

a (완료 차원) 표현이 다시 해석할 수 없는 경우, 이중 표현도 다시 해석할^[4] 수 없지만, 반드시 원래 표현과 이형적인 것은 아니다.반면에 어떤 표현이든 이중의 이중은 원래 표현과 이형적이다.

단일 표현

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 단일 표현 ${\displaystyle \rho }$을(를) 고려하여 정형화된 기준으로 작업하도록 하십시오.따라서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 단일 행렬 그룹에$$ 매핑한다$$.그런 다음 이중 표현의 정의에서 추상적인 전이가 일반적인 전이가 전치 행렬로 식별될 수 있다.행렬의 부재는 전치체의 복잡한 결합이므로, 전치체는 부조선의 결합이다.Thus, ${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$ is the complex conjugate of the adjoint of the inverse of ${\displaystyle \rho (g)}$. But since ${\displaystyle \rho (g)}$ is assumed to be unitary, the adjoint of the inverse of ${\displaystyle \rho (g)}$ is just ${\displaystyle \rho (g$$)}$.

이 논의의 결론은 정형화된 기준으로 단일 표현으로 작업할 때 ${\displaystyle \rho {}^{}{\ast }^{}}$ ( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle \rho ^{*(g)}}}$는 ${\displaystyle \rho }$ ( g )${\displaystyle \rho (g$의 복잡한 결합에 불과하다는$$ 것이다.

SU(2) 및 SU(3) 사례

SU(2)의 표현 이론에서, 각 불가해한 표현들의 이중은 표현에 이형적인 것으로 판명된다.SU(3)의 표현 시 라벨과 하지만, 라벨(m1m2){\displaystyle(m_{1},m_{2})}을 기약 표현의 이중은 기약 표현 SU(3)( 높은 무겁의(m2, m1){\displaystyle(m_{2},m_{1})}특히 .[5], 표준 3차원 표현입니다.t${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (1,0)}$)은 이중과 이형성이 아니다.물리학 문헌의 쿼크 이론에서 표준 표현과 그 이중 표현을 "${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $3}"$및 "${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$" ${\displaystyle \stackrel{}{"}}$3$"이라고$한다.$$

리알헤브라스 일반 반시 구현

보다 일반적으로 반실행 리 알헤브라스(또는 콤팩트 리 그룹의 밀접하게 연관된 표현 이론)의 표현 이론에서 이중표현의 가중치는 원래표현의 가중치의 부정적인 것이다.^[6](그림 참조)자, 주어진 Lie 대수학에서$,{\displaystyle }$ 만일 연산자 ${\displaystyle I}${\$displaystyle -I}$가 Weyl 그룹의 한 요소라면, 모든 표현들의 무게는 $지도{\displaystyle }$ μ${\displaystyle }$-${\displaystyle }$μ - ${\displaystyle \mu }${\$displaystyle \mu \mapsto -\mu$}에 따라 자동으로 불변한다$.$ 그러한 Lie 알헤브라의 경우, 모든 불가해한 표현은 이중성이 될 것이다.(This is the situation for SU(2), where the Weyl group is ${\displaystyle \{I,-I\}}$.) Lie algebras with this property include the odd orthogonal Lie algebras ${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$ (type ${\displaystyle B_{n}}$) and the symplectic Lie algebras ${\displaystyle \mathrm{sp}}$${\displaystyle (n}$; ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {sp}(n;\mathb {C} )}($유형 ${\displaystyle C_{}}$ n ${\$

주어진 리 대수학의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}{\displaystyle }$- I ${\displaystyle -I}$이(가) Weyl 그룹에 속하지 않으면, 불가해한 표현의 이중은 일반적으로 원래 표현과 이형화되지 않을 것이다.이것이 어떻게 작동하는지 이해하기 위해, ${\displaystyle {우리}_{}}$는 항상 기본 Weyl 챔버의 음을 기본 $Weyl$ 챔버에 $매핑하는$ 고유한 Weyl $그룹$ 요소가 존재한다는 점에 주목한다$.$그렇다면...우리는 높은 무게μ{\displaystyle \mu}는 이원화된 표현의 가장 낮은 무게로 기약 표현이 될 것이다−μ{\displaystyle -\mu} 한다가 이중 표현의 가장 높은 무게부터 우리가 가정합니다 0⋅(− μ){\displaystyle w_{0}\cdot(-\mu)\,}.[7]w 같은 것이 될.${\displaystyle -}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle -I}$이(가) Weyl 그룹에 속하지$$ 않으며 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은$($는)${\displaystyle }$- ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle -I$일 수 없으며$$, 이는 맵 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$μ${\displaystyle (}$- ${\displaystyle \mu }$) ${\displaysty \mapsto w_\cdot(\\\\\\\mu$ )이$)$이)이)이(으)이(으)이)이(으)이(는$$ ID가 아니라는 것을 의미한다.물론$,$ $특정{\displaystyle }$ μs의 특별한 선택인 ${\displaystyle \mu }$에 대해서는 μ${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$μs${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot(-\mu )$이 $있을{\displaystyle }$ 수도 있다$.$예를 들어, 부선 표현은 항상 그것의 이중과 이형이다.

In the case of SU(3) (or its complexified Lie algebra, ${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$), we may choose a base consisting of two roots ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$ at an angle of 120 degrees, so that the third positive root is ${\displaystyle {\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2}$${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$. In this case, the element ${\displaystyle w_{0}}$ is the reflection about the line perpendicular to ${\displaystyle \alpha _{3}}$. Then the map ${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ is the reflection about the line through ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$^[8]그러면 자기 이중 ${\displaystyle {표현}_{}}$은$$α 3 {\$displaystyle \alpha$_{$3}$을 통해 선을 따라 놓여 있는 것이 된다$.$이는 형식$({\displaystyle m}$, ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle(m,m$의 레이블이 있는 표현이며, 무게 다이어그램이 일반 육각형인 표현이다.

동기

표현 이론에서 V의 벡터와 V*의 선형 함수 모두 컬럼 벡터로 간주되어 표현은 왼쪽에서 (매트릭스 곱셈에 의해) 작용할 수 있다.V에 대한 근거와 V*에 대한 이중 기준을 제시하면, v, v(v)에 대한 선형 함수 action의 작용은 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle ⟨\phi }$ , ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \equiv \phi }$ (${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \langle$\langle $\varphi$ ,$v\langle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v$

여기서 위첨자 T는 전치 행렬이다.일관성을 요구하려면

${\displaystyle \langle {\rho }^{*(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .}$^[9]

정의가 주어진다면

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\angle =\langle \rho (g^{-1})^{{{}}^{{}}}{{}}}}}^{{{{}}}}}}}T}\varphi ,\rho (g)v\rangele =(\rho (g^{-1})^{{{}}^{{}}T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \v\angle .}$

Lie 대수표현의 경우 가능한 그룹표현과의 일관성을 선택한다.일반적으로 π이 거짓말 그룹의 표현이라면 π은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \pi (X)={\frac {d}{dt}\Pi(e^{tX}) _{t=0}}$

리 대수학의 표현이다.π*이 π에 이중인 경우, 그에 상응하는 Lie 대수표현 π*은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \pi ^{*}(X)={\frac {d}{d}}\Pi ^{*}(e^{tX}) _{t=0}={\frac {d}\Pi(e^{-tX})^{T} _{t=0}=-\pi(X)^{T}}$ ^[10]

예

$그룹{\displaystyle }$ G = U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ G$=U$(1$)}$을(를$) 절대값$ 1의 복잡한 숫자로 간주한다${\displaystyle .}$슈르의 보조정리 결과로서, 불가해한 표현은 모두 1차원이다.수정할 수 없는 표현은 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 의해 매개 변수화되며 다음과$$ 같이 명시적으로 주어진다.

${\displaystyle \rho_{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }]}$

${\displaystyle {\rho n}_{}}$ ${\$에 대한 이중 표현은$$ 이 일대일 행렬의 전치(transpose)의 역, 즉,

${\displaystyle \rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\ta }).}$

즉, 표현 ${\displaystyle {\rho n}_{}}$ ${\$의 이중은 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$n ${\$이다$.$

일반화

일반 링 모듈은 이중 표현을 허용하지 않는다.그러나 홉프 알제브라의 모듈들은 그렇다.

참고 항목

• 복합 결합 표현
• 표현 텐서 제품
• 키릴로프 문자 공식

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.