선형 지도의 전치

선형대수학에서, 동일한 영역에 걸쳐 정의되는 두 벡터 공간 사이의 선형 지도의 전치는 두 벡터 공간의 이중 공간 사이의 유도 지도가 된다.선형 지도의 전치 또는 대수적 보조점은 종종 원래의 선형 지도를 연구하는데 사용된다.이 개념은 부교수로 일반화된다.

정의

Let ${\displaystyle X^{\#}}$ denote the algebraic dual space of a vector space ${\displaystyle X.}$ Let ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ be vector spaces over the same field ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$ If ${\displaystyle u:X\to Y}$ is a linear map, then its algebraic adjoint 또는 dual,^[1] 지도${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$#${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$#${\displaystyle {}^{}}$→ X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$# ${\$$Y^{\#}\to X^{\#}$가 f${\displaystyle }defined{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ u${\displaystyle u.}${\$displaystyle$f\$mapsto$f\$circ$$u$.$$ 결과 함수${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$# ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{\#}u(f):$$=f\displaystyle$ $u$$}$은(는) $u{\displaystyle .}$ ${\displaystyle u.}$에 의해 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 풀백이라고 불린다$$.

The continuous dual space of a topological vector space (TVS) ${\displaystyle X}$ is denoted by ${\displaystyle X^{\prime }.}$ If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are TVSs then a linear map ${\displaystyle u:X\to Y}$ is weakly continuous if and only if ${\displaystyle {}^{\mathrm{\#}}u\left(Y^{\mathrm{\prime }}\right)\subseteq }$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {}^{\#}u\left (Y$^{\$premy$}\오른쪽$)\subseteq$X^{\$premy$}}}이(가) ${\displaystyle {}^{}}$될 경우${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$Y^{\prime }\to X^{\premy$${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$는 #${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}{\#}u}$의 제한을 나타낸다$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ Y$^{\t}u}$ 지도$$ ${\displaystyle {}^{}}$}는$$ $.$ {\$displaystystystyle$$u$}의^[2] 전치 또는 대수적 부호라고 한다.$$ 다음 ID는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 전치특성을 나타낸다.

여기서 ${\displaystyle ⟨,}$⋅, ${\displaystyle \cdot }$ {, ${$ \$displaystyle \left\langle \cdot,\cdot \$$right\rangle }}$은 $⟨{\displaystyle }$ $h$ :${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (}$ $)로 정의된 자연$스러운 쌍이다$.$$}$

특성.

The assignment ${\displaystyle u\mapsto {}^{t}u}$ produces an injective linear map between the space of linear operators from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ and the space of linear operators from ${\displaystyle Y^{\#}}$ to ${\displaystyle X^{\#}.}$ If ${\disp$$레이스타일 X=Y}$ 그렇다면$$ 선형지도의 공간은 지도 구성상 대수학이며, 그 후 임무는 알헤브라의 반호몰피즘으로, t (${\displaystyle {}^{}v}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}.}$ ${\displaystyle {}^{t}(uv)={}^{{$$t}v}^{t$}^{t$}}}$u}u.$}}$ 범주론 언어에서$$ 벡터 공간의 이중과 선형 지도의 전이를 취하는 것은 그러므로 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 걸친 벡터 공간 범주에서 그 자체로$$ 역행하는 펑터(contravarious functor)이다.${\displaystyle {}^{}}$$$ 이중으로 자연주사를 사용하여 t ( t${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\$({}^{t$}u\오른쪽)을$u ${\$displaystyle u}과$$(와) $식별$할 수 있다.

• $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$ 및$$ $v{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v:$$Y\to Z}$은 t${\displaystyle {}^{}v}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ t ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}(v\circu u)={}^{t}u\circle {}v}$
• $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle u:X\to Y}$이(가) (굴절) 벡터 공간 이형성이라면 ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ . ${\displaystyle {}^{t}u:$$Y^{\premy }\to X^{\premy }}$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 정규화된 공간인 경우

그리고 선형 연산자${\displaystyle u}$ :${\displaystyle X}$ → Y$${\$displaystyle u:X\to$ Y$}$이(가) 경계된$$ 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$의 연산자 표준은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 표준과 동일하다^[5][6]$;$ 즉 게다가

폴라르스

이제 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle u:X\to Y$$}$이(가$$) 위상학적 벡터 $공간{\displaystyle }$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $X$과 $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ X$^{\premium }}$의${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$약한 연속 $선형$ 연산자라고$$ 가정합시다.Let ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$ denote the canonical dual system, defined by ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$ where ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle x^$${\prime }}$ are said to be orthogonal if ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.}$ For any subsets ${\displaystyle A\subseteq X}$ and ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$ let

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 (절대) 극성을 나타낸다($$$$$X$ ${\displaystyle S$$^{\prime$$}).$

• If ${\displaystyle A\subseteq X}$ and ${\displaystyle B\subseteq Y}$ are convex, weakly closed sets containing the origin then ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ implies ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$^[7]
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$인 경우$$^[4]

그리고

• $X{\displaystyle }$^[5] ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 볼록한 경우$$

섬멸자

Suppose ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are topological vector spaces and ${\displaystyle u:X\to Y}$ is a weakly continuous linear operator (so ${\displaystyle \left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$).Subset $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ 및 $N$ x X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle$N\$subseteq X^{\prime}}}}$이(가) 표준 이중 시스템에 대해 해당 소멸기를 정의함$$^[6]

${\displaystyle {\reasonedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\\왼쪽\{n^{n^{\premy }(x):n^{\premy }\in N\right\}\\end{ignatedat}}}}}}}$

• ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$의 커널은 $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Y$$^{\prime$ $}}}$의 이미지에 직교하는$$ Y ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의 하위 공간이다$.$^[7]

• 선형 지도 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$은(는) 이미지가 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$의 약한 부분 집합인 경우에만 주입된다($$$즉{\displaystyle }$, Y ${\displaystyle$ Y$}$에 $의해$ 유도된 약한 ${\displaystyle {}^{}}$이 주어질$$$$ 때$${\$displaystyty$ $Y}$의 이미지가 Y ${\}$에 밀도가$$ 있다).$ame {ker} {}^{t}u}$ $$^[7].
• 전치 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ is continuous when both ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle Y^{\prime }}$ are endowed with the weak-* topology (resp. both endowed with the strong dual topology, both endowed with the topology of uniform convergence on compact convex subsets, both endowed with the topology of u콤팩트 서브셋의 균일한 수렴).^[8]
• (프레셰트 공간 추출):$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$이(가) 프리쳇 공간인 경우 연속 선형 연산자${\displaystyle u}$ : X → ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$이(가) (1) 전치 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$u${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ′ → X ${\displaysty}u$:$Y^{\premy}\to$ X$^{\premy}}}$는 주입식이고, (2) $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 전치 이미지는 X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의 약하게 닫힌(즉, 약하게-* 닫힌) 부분 집합이다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty$ X$^{\prem.}}$

인용공간의 이중화

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) Hausdorff 로컬 볼록 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 벡터 하위 공간이$$ 되도록 하고 다음$$ 기준의 표준 지수 지도를 나타낸다.

$X{\displaystyle }$/ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$이(가) 지수 지도 ${\displaystyle \pi }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \pi :X\to$ X$/M.}$에 의해 유도된 지수 위상(quotentity topology)을 부여받았다고$$ 가정하면, 지수$$ 지도의 전치는 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$bot$;{\}$에 평가된다.is a TVS-isomorphism onto ${\displaystyle M^{\bot }.}$ If ${\displaystyle X}$ is a Banach space then ${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$ is also an isometry.^[6]이 전치물을 사용하여, 지수 공간 $X{\displaystyle /M}$ ${\displaystyle X/M}$의 모든 연속 선형 기능은 $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle M.}$의 전멸기 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$ M$^{\bot }}$에서 연속 선형 기능으로 표준적으로 식별된다$$.

벡터 서브스페이스의 듀얼

Let ${\displaystyle M}$ be a closed vector subspace of a Hausdorff locally convex space ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$ and if ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ is a continuous linear extension of ${\displaystyle m^{\prime$$}}}$ ~ $X$ ${\displaystyle X}$ 그러면 할당$$ m${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}m{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{}^{\mathrm{}}}$+${\displaystyle {}^{}}$M$$ $displaystyle$ m$^{\prime }\mapsto x^{}\preme }+M^{\bot }}}}}}}$ 벡터 공간 이형성을 유도한다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Banach 공간인 경우 등각도법.^[6]

다음을 기준으로 포함 맵 표시

포함 지도의 전치점은whose kernel is the annihilator ${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$ and which is surjective by the Hahn–Banach theorem.이 지도는 벡터 공간의 이형성을 유도한다.

행렬로 표현

$선형{\displaystyle }$ 지도$$u {\$displaystyle u}$이(가) X {\$displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ Y$,}$의 두 베이스에$$ 대해 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$로 표시되는$$ 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystyle {}{t}u$}u$$$}$는 전치 행렬 A ${\displaystyle T^{}}$ ${\$로 표시된다$.$$′{\$과(와) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X^{\premy }$의 이중 베이스와 관련하여$$ $T}$이(가) 이름이 붙은$$ 것이다.또는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 열 벡터에서 오른쪽에 작용하는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$으로 표시되므로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$는 행 벡터에서 왼쪽에 작용하는 동일한 행렬로 표시된다$$.${\displaystyle {}^{}}$ 관점은 Rn , ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}$에 있는 표준 내부 제품에 의해 관련되며, 이 제품은$$ 행 벡터의 이중 공간을 가진 열 벡터의 공간을 식별한다${\displaystyle {}^{}}$

은둔자와 관계

전치, 즉 [${\displaystyle u{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f,u}$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],}}}}}}$는 공식적으로 전치 및 은둔자의 정의와 유사한$$ 지도가 아니다.transpose는 지도 $Y{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ Y$^{\prime$ }\$to$ X$^{\prime$}}}}}에 대한 것으로, 추가 구조$$ 없이$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$와 $Y$ , ${\displaystyty Y}$ 사이에 선형 지도를 위해 정의된다.에르미타니아 부호는 $Y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\to$ X$}$ 지도이며$$, 힐버트 공간의 내부 제품 관점에서 정의되는 것처럼 힐버트 공간 사이의 선형 지도에 대해서만 정의된다.그러므로 은둔자의 부재는 전치보다 더 많은 수학적 구조를 필요로 한다.

단, 전치성은 벡터 공간 둘 다 유클리드 도트 제품이나 또 다른 실제 내측 제품과 같은 비탈진 이린린형 형태를 갖추고 있는 맥락에서 자주 사용된다.이 경우 비탈면 이선형식은 벡터 공간과 그 이중체 사이의 지도, 전이된 지도를 $지도{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$→ X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y\to X.}$로 표현하기 위해 암묵적으로 사용되는 경우가 많다. 복잡한 힐버트 공간의 경우$$ 내부 생산물은 이선이 아닌 세선형이며 이러한 변환은 전치형을 보조형 지도로 바꾼다.

More precisely: if ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are Hilbert spaces and ${\displaystyle u:X\to Y}$ is a linear map then the transpose of ${\displaystyle u}$ and the Hermitian adjoint of ${\displaystyle u,}$ which we will denote respectively by ${\displaystyle {}^{t}u}$그리고 $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle u^{*}}}$이(가) 연관되어 있다$$.$I{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ X ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ X$^{*}}$ 및$$ $J{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ Y ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$Y\to Y^{*}}$ 힐버트 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 표준$$ 반선 등각도를 이중으로 배치한다$$.그러면 $∗{\$는 다음과 같은 지도 구성이다$$.^[10]

${\displaystyle Y{-1}{{J}{\longrightarrow{}}{{}}{{}{}}{{}{\longrightarrow{t}u}{{}}}{{{{-1}{\longrightarrow}}}}}{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}$

애플리케이션에서 기능 분석까지

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가$)$ 위상학적 벡터 공간이고 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\$$to$ $Y}$이(가) 선형 지도라고$$ 가정하면$,$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 속성이 상당 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ . {}에 반영된다.$}$

• If ${\displaystyle A\subseteq X}$ and ${\displaystyle B\subseteq Y}$ are weakly closed, convex sets containing the origin, then ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ implies ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$^[4]
• ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$의 null 공간은 y${\displaystyle }u$ ${\$의 범위 $u{\displaystyle }$($)$ ${\displaystystyle u.}$에 직교하는$$ y ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의 하위 공간이다.
• ${\displaystyle {}^t}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${}^{t}u$$}$는 u(^[4]$X$)의 범위 $u$$(X)$가 약하게$$닫힌$$ 경우에만 주입식이다.

참고 항목

• 보조 펑커 – 많은 일반적인 구조를 추상화하는 두 펑커 사이의 관계
• 구성 연산자 – 수학에서 선형 연산자
• 은둔자 연선 – 무한 치수 측정 시스템의 결합 전치
• 리에즈 표현 정리
• 이중 공간 § 선형 지도의 전치
• § 전치 선형 지도 전치

참조

참고 문헌 목록

• Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.