제어기능(경제측정학)

제어 함수(2단계 잔류 포함이라고도 함)는 오차항의 내생성을 모델링하여 내생성 문제를 수정하는 통계 방법이다.따라서 접근방식은 동일한 계량경제 문제를 설명하려는 다른 모델과 중요한 방식으로 다르다.예를 들어, 계측 변수는 관련되고 외생적인 계측 Z와 관련하여 내생 변수 X를 종종 반전할 수 있는 모델로 모델링하려고 시도한다.패널 분석에서는 특수한 데이터 특성을 사용하여 시간에 따라 고정된 것으로 가정되는 관측되지 않은 이질성을 구별합니다.

제어 기능은 Heckman과^[1] Robb에 의해 도입되었지만, 원리는 이전의 논문으로 거슬러 ^[2]올라갈 수 있습니다.이러한 모델이 인기 있는 특별한 이유는 비역전 모델(예: 이산 선택 모델)에 대해 작업하고 개별 수준의 효과가 ^[3]집계에서의 효과와 다를 수 있는 이질적인 영향을 허용하기 때문이다.제어 함수 접근법의 잘 알려진 예는 Heckman 보정입니다.

형식적 정의

가법 오류가 있는 표준 내생 변수 설정부터 시작한다고 가정합니다. 여기서 X는 내생 변수이고 Z는 계측기로 사용할 수 있는 외생 변수입니다.

${\displaystyle Y=g(X)+U}$

(1)

${\displaystyle X=\pi(Z)+V}$

(2)

${\displaystyle E[U\mid Z,V]=E[U\mid V]}$

(3)

${\displaystyle E[V\mid Z]=0}$

(4)

일반적인 계측 변수 접근방식은 2단계 절차를 사용하여 방정식 (2)을 먼저 추정하고 다음 첫 번째 단계의 추정치를 사용하여 두 번째 단계에서 방정식 (1)을 추정하는 것이다.그러나 제어 함수는 이 모델이 암시하는 것을 사용한다.

${\displaystyle E[Y\mid X,V]=g(X)+E[U\mid X,V]=g(X)+E[U\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid V]=g(X)+h(V)}$

(5)

함수 h(V)는 효과적으로 내생성을 모델링하는 제어 함수이며, 이 계량적 접근법이 ^[4]그 이름을 부여한다.

루빈 인과 모델 잠재적 결과 프레임워크에서, 여기서 Y는 참여 지표 D가 1인 사람들의 결과 변수이다. 제어₁ 기능 접근법은 다음과 같은 모델로 이어진다.

$\displaystyle E[Y_{1}\mid X,Z,D=1]=\mu _{1}(X)+E[U\mid D=1]$

(6)

잠재적 결과₀ Y와₁ Y가 X와 ^[5]Z에 대한 조건부 D와 무관한 한.

분산수정

두 번째 단계 회귀 분석에는 생성된 회귀 분석기가 포함되므로 분산-공분산 행렬을 ^[6][7]수정해야 합니다.

예

포아송 회귀 분석의 내구성

Wooldridge와 Terza는 지수 회귀 프레임워크 내의 내적성을 다루고 테스트하기 위한 방법론을 제공하며, 이에 대한 다음 논의가 ^[8]밀접하게 뒤따른다.이 예제는 포아송 회귀 모형에 초점을 맞추지만, 추가 가정(예: 이항 반응 또는 관측 중단 데이터 모형)의 비용이 들 수 있지만 다른 지수 회귀 모형으로 일반화할 수 있습니다.

$i\$displaystyle $a_{i}$는 잠재 변수에서 관측되지 않는 용어인 다음과 같은 지수 회귀 모델을 가정합니다.$($${\displaystyle {xi}_{}}$)와 xi$(xi)$의 상관관계는 허용되지만$($$($는 내생성이 있을 수 있음), i(xi$)$와 $($의 상관관계는 허용하지 않습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},a_{i}=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+a_{i}}}}}$

$변수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})는$$ 잠재적으로 $내생적$인 $(\$${$$i$의 도구 변수로 작용합니다. 이 두 변수 사이의 선형 관계를 가정하거나 내생적인 $변수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$를 계측기에 투영하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.듀케이드 형식 방정식:

${\displaystyle x_{i}=z_{i}\Pi +v_{i}}$

(1)

식별을 위해 일반적인 순위 조건이 필요하다.다음으로 엔디피니스는 다음과 같이 모델링됩니다.$여기$서 §$${\$displaystyle \rho$}는$$ 엔디피니티의 중대도를 결정하고 ${\displaystyle {vi}_{}}${\$displaystyle v_{i}$는 ${\displaystyle e_{}}${\$displaystyle e_{i$와 무관하다고 가정합니다.

$\displaystyle a_{i}=v_{i}\rho +e_{i}$

모델이 올바르게 지정되었다고 가정하고 E${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ )${\displaystyle }$]$=$ ${\displaystyle 1}$ \ $displaystyle \operatorname${ $E$} [ \$exp$ ( $e$_ { i } ] $=$$1$ 을 $정규화하면{\displaystyle \mathrm{}}$ 다음과 같이 조건부 평균을 다시 작성할 수 있습니다.

$\displaystyle \operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},v_{i}=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+v_{i}\rho}}}}}$

(2)

이 시점에서 $(\$i$$})를 알고 $있다면{\displaystyle {}_{}}$ 준최대우도추정(QMLE)을 통해 관련 파라미터를 추정할 수 있을 것이다.두 단계 절차 전략에 따라 Wooldridge와 Terza는 일반 최소 제곱에 의한 추정 방정식 (1)을 제안한다.이 회귀 분석의 적합 잔차를 추정 방정식 (2)에 삽입할 수 있으며 QMLE 방법은 관심 모수의 일관된 추정치로 이어집니다.$그런{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 다음 $^(\$style$\display\hat\rho}})$에 대한 유의성 테스트를 사용하여 모델 내 내 내적성을 테스트할 수 있습니다.

내선번호

원래의 Heckit 절차는 오차항에 대한 분포 가정을 만들지만, 더 약한 분포 가정을 가진 보다 유연한 추정 접근방식이 ^[9]확립되었다.더욱이, Blundell과 Powell은 제어 기능 접근법이 이산 ^[10]선택 모델과 같이 비가산 오류가 있는 모델에서 어떻게 특히 유용할 수 있는지를 보여준다.그러나 후자의 접근방식은 암묵적으로 강력한 분포 및 기능적 형식의 ^[5]가정을 만든다.

「 」를 참조해 주세요.

• 2단계 최소 제곱
• 헤크만 보정

레퍼런스

추가 정보

• Guo, Zijian; Small, Dylan S. (2016). "Control Function Instrumental Variable Estimation of Nonlinear Causal Effect Models". Journal of Machine Learning Research. 17 (100): 1–35.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2015). "Control Function Methods in Applied Econometrics". Journal of Human Resources. 50 (2): 420–445. doi:10.3368/jhr.50.2.420.