제어성

제어성은 제어 시스템의 중요한 속성이며, 제어성 속성은 피드백에 의한 불안정한 시스템의 안정화 또는 최적 제어와 같은 많은 제어 문제에서 중요한 역할을 합니다.

제어성과 관측성은 동일한 문제의 이중적인 측면입니다.

대략 제어성의 개념은 특정 허용 가능한 조작만을 사용하여 전체 구성 공간에서 시스템을 이동할 수 있는 능력을 의미합니다.정확한 정의는 적용되는 모델 유형 또는 프레임워크 내에서 약간 다릅니다.

다음은 시스템 및 제어 문헌에 소개된 제어 가능성 개념의 다양한 예입니다.

상태 제어 기능
출력 제어성
행동 프레임워크에서의 제어 가능성

상태 제어 기능

결정론적 시스템의 상태는 시스템의 모든 상태 변수(동적 방정식으로 특징지어지는 변수들)의 값 집합이며, 주어진 시간에 시스템을 완전히 설명합니다.특히, 현재 상태를 알고 있고 제어 변수(값을 선택할 수 있는 변수)의 현재 및 미래 값을 모두 알고 있는 경우, 미래를 예측하는 데 도움이 되는 시스템의 과거 정보는 필요하지 않다.

완전 상태 제어 가능성(또는 다른 컨텍스트가 주어지지 않은 경우에는 단순히 제어 가능성)은 시스템의 내부 상태를 유한한 시간 ^[1]^{: 737}간격으로 초기 상태에서 최종 상태로 이동하는 외부 입력(제어 변수의 벡터)의 능력을 나타냅니다.

즉, 다음과 같이 비공식적으로 제어 가능성을 정의할 수 있습니다.일부 초기 $\mathbf {x_{0}}$ $\mathbf {x_{0}}$ 0 $({$ $\mathbf {x_{f}}$ { $x_{0}})$ 및 $\mathbf {x_{0}}$ $\mathbf {x_{f}}$ $\mathbf {x_{f}}$ $상태$ x $\mathbf {x_{f}}$ f $({$ displaystyle \ $mathbf {x_{f}})$ 에 $\mathbf {x_{f}}$ 대해 시스템 상태를 x $\mathbf {x_{0}}$ ({ $displaystyle$ $\$ $mathbf$ { $x_{$ 0 $}}}})$ 에서 $\mathbf {x_{0}}$ $\mathbf {x_{f}}$ x f({ $displaystyle$ \ $mathbf {x_{f})$ 로 $\mathbf {x_{f}}$ 유한한 시간 내에 전송하기 위한 입력 시퀀스가 존재하는 경우.n 상태-공간 표현에 의해 모델링된 시스템은 제어할 수 있다.연속형 LTI 시스템의 가장 간단한 예로서 상태 ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ 의 행 치수에 따라 x ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ( ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ t ) + ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ( t ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ){ $displaystyle { dot$ \ $mathbf$ { $x$ } = \ $mathbf$ { $x$ } ( $t$ ) = \ $mathbf$ { $A$ } \ $mathbf$ { B } \ $mathbf$ { bf { bf { bf } \ matines } { t } \ $math$ bu} { t } interval { t ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ } { t } )x(\ $displaystyle$ \ $mathbf {x$ $\mathbf {x}$ 공간에 이러한 벡터가 충분하지 않으면 시스템이 제어성을 얻을 수 없습니다.제어성을 달성하기 위해 추정하는 기본 미분 관계를 더 잘 근사하기 위해 A $(\displaystyle$ \ $mathbf {A})$ $\mathbf {B}$ B $(\$ 를 $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ 해야 할 수 있습니다.

제어성이란 도달한 상태를 유지할 수 있는 것이 아니라 임의의 상태에 도달할 수 있는 것을 의미합니다.

제어성은 상태 공간을 통해 임의의 경로를 만들 수 있음을 의미하는 것이 아니라 규정된 유한 시간 간격 내에 경로가 존재함을 의미합니다.

연속 선형 시스템

연속 선형 시스템을 고려합니다.

{\mathbf {x}(t)=A(t)\mathbf {x}(t)+B(t)\mathbf {u}(t)

\displaystyle \mathbf {y}(t)=C(t)\mathbf {x}(t)+D(t)\mathbf {u}(t)}

주)0{\displaystyle x_{0}에서 제어 u{\displaystyle u}}당시 t0{\displaystyle t_{0}}}시간에 있어 1>x1{\displaystyle x_{1}을 말하는 것;t 0{\displaystyle t_{1}>, t_{0}}만일 x1− ϕ(t0,1t))0{\displaystyle x_{1}-\phi 존재한다. (t_{0}, $t_{1}x_{0}$ 은 $x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ (는) 다음 열 공간에 있습니다 $.$

W(t_{0},t_{1}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi(t_{0},t)B(t)^{T}\phi(t_{0},t)^^{T}\phi(t)^{0}^{}T}dt

$\phi$ 서 ${\$ { $displaystyle \phi }$ 는 $\phi$ $W(t_{0},t_{1})$ 상태 전이 $W(t_{0},t_{1})$ 이며 W $W(t_{0},t_{1})$ ( $W(t_{0},t_{1})$ 0 , $W(t_{0},t_{1})$ $W(t_{0},t_{1})$ ) $W(t_{0},t_{1})$ { $displaystyle$ W ( $t_{0$ , $t_{1}$ 는 Controllability Gramian 입니다.

실제로 $\eta _{0}$ 0 { $displaystyle \eta$ _ { $0$ $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ } $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ - $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ ( $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ , $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ 1) x $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ ( t _ 0 ) $x$ 0 ( $t_{0}$ , $t_{1}$ \eta $u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}$ $x {$ 1 $}$ - \ $phi$ ( $t_{0}$ )의 $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ 제어에 $u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}$ 해인 경우 ${T}\phi(t_{0},t)^{$ $T}\eta$ _ ${0}:$ 원하는 $u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}$ 전송을 합니다.

위와 같이 정의된 $행렬$ W $(\displaystyle$ W $)$ 에는 $W$ 다음과 같은 속성이 있습니다.

$W(t_{0},t_{1})$ ( $W(t_{0},t_{1})$ 0 , $W(t_{0},t_{1})$ 1) $W(t_{0},t_{1})$ { $style$ W $(t_{0}, t_{1})$ 는 대칭입니다 $W(t_{0},t_{1})$ .
$W(t_{0},t_{1})$ ( $W(t_{0},t_{1})$ 0 , $W(t_{0},t_{1})$ ) { $display W$ ( t _ { $0$ , t _ {1 $}$ } is $W(t_{0},t_{1})$ $t_{1}\geq t_{0}$ 1 $t_{1}\geq t_{0}$ $t_{1}\geq t_{0}$ { $t_{1}\geq t_{0}$ \ $displaystyle t$ _ { $1$ } \ $geq$ t _ { $0$ } $t_{1}\geq t_{0}$ 。
$W(t_{0},t_{1})$ $W(t_{0},t_{1})$ 0 , $W(t_{0},t_{1})$ 1) $W(t_{0},t_{1})$ { $style$ W $(t_{0},t_{1})}$ 는 $W(t_{0},t_{1})$ 선형 행렬 미분 방정식을 충족합니다.

{d}{dt}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1}+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0

$W(t_{0},t_{1})$ $W(t_{0},t_{1})$ $W(t_{0},t_{1})$ 0 , $W(t_{0},t_{1})$ 1) $W(t_{0},t_{1})$ { $display$ W ( $t$ _ { $0$ , $t$ _ {1 $}$ }는 $W(t_{0},t_{1})$ 다음 식을 만족합니다.

W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi(t_{0},t)W(t,t_{1})\phi(t_{0},t)^{T}

^[2]

제어성을 위한 순위 조건

Controllability Gramian은 시스템의 상태 전이 매트릭스의 통합을 포함합니다.제어성의 간단한 조건은 시간 불변 시스템의 Kalman 순위 조건과 유사한 순위 조건입니다.

R \ $displaystyle \mathbb {R$ 의 간격 $[t_{0},t]$ $[t_{0},t]$ $[t_{0},t]$ , $[t_{0},t]$ $]$ { $displaystyle$ [ t $_$ { $0$ , $t$ } }에서 $\Sigma$ $[t_{0},t]$ 매끄럽게 변화하는 연속 시간 선형 시스템 $\Sigma$ σ { \ $displaystyle$ \ Sigma $}$ :

{\mathbf {x}(t)=A(t)\mathbf {x}(t)+B(t)\mathbf {u}(t)

\displaystyle \mathbf {y}(t)=C(t)\mathbf {x}(t)+D(t)\mathbf {u}(t)}

상태 전이 매트릭스 $\phi$ {\(\ $style\phi)$ 도 $\phi$ 부드럽습니다.n x m 매트릭스 값 $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ 0 ( $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ ) $=$ $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ ( $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ 0 , $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ ) $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ ( $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ ) \ $displaystyle M$ _ { $0$ （ t ） = \ $phi ( t$ _ { 0 $; t$ ) $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ B ( t ) } $define$ define define define define define define 。

M_{k}(t)

k (

M_{k}(t)

)

M_{k}(t)

{

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

M _ {

k

} =

M_{k}(t)

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

M

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

(

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

t

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

) ,

{\

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

{

displaystyle

{

d^

{

k }

{ \

mathrm

{

d

}

t^

{

k

} （

t

） ,

k

\

geqslant

1

{\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1

}

$({$ i $i=0,1,\ldots ,k$ $i=0,1,\ldots ,k$ , $i=0,1,\ldots ,k$ ({ $displaystyle$ i= $0,1,\ldots,k$ 의 모든 열을 나열하여 얻은 매트릭스 값 함수의 매트릭스를 검토합니다.

$]{$ $=\left[M_{0}(t),\ldots,M_{k}(t)\$ right $M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]$

$\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ [ $t$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ , t $]{$ $displaystyle { t$ } \ $in$ [ $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$ $_$ { $0$ , $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$ } $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$ \ $display$ style \ $operatorname {rank$ } $M^$ { \ $bar$ { t} $=$ $n$ $displaystyle$ } \ display style $、$

[ $\Sigma$ t $[t_{0},t]$ $[t_{0},t]$ , $]$ $\Sigma$ { $displaystyle$ [ $\Sigma$ t $\Sigma$ _ ${ 0$ , $t$ } $[t_{0},t]$ } $[t_{0},t]$ an $\Sigma$ \ $displaystyle$ \ Sigma $}$ 도 해석적으로 변화하고 있는 경우 $[t_{0},t]$ [ $[t_{0},t]$ 0 , t $]$ { $displaystyle$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ $\$ $Sigma$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ 의 $\Sigma$ $[t_{0},t]$ 모든 $[t_{0},t]$ 하지 않은 서브인터벌에서 $\Sigma$ 할 수 있습니다 ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ $e$ {\ $bar {t}}\in [t_{0},t]}$ 및 ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ 음이 아닌 $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ k(랭크 $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ e $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ ( $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ ) ( $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ i ) $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ { $displaystyle \operatorname {rank$ } $M^{k$ } ( $t_$ {i} $= n$ $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$ ^[3] 。

위의 방법들은 상태 전이 행렬 $\phi$ (\ $displaystyle\phi$ 의 연산을 수반하기 때문에 여전히 확인이 복잡할 수 있습니다.또 다른 동등한 조건은 다음과 같습니다. $B_{0}(t)=B(t)$ 0 $B_{0}(t)=B(t)$ ( $B_{0}(t)=B(t)$ ) $B_{0}(t)=B(t)$ ( $B_{0}(t)=B(t)$ ) { $displaystyle$ B _ { $0$ （ t ） $= B$ ( $t$ ) $B_{0}(t)=B(t)$ for $i\geq 0$ for for for i for i $i\geq 0$ 0 { $display style$ i \ $i\geq 0$ geq $0$ }에 대해 다음과 같이 정의합니다.

B_{i+1}(t)

i +

B_{i+1}(t)

( t

B_{i+1}(t)

)

B_{i+1}(t)

{

display

B

B_{i+1}(t)

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

{

i

+

1

( t )

B_{i+1}(t)

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

(

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

)

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

B i

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

(

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

) -

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

B

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

(

t

)

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

. {

display style

A

( t

)

B

_ {

i

} - { \

frac

{

mathrm

{

d }

{ \

mathrm

{

d

} }

B

_ { i ( t ) （ t

A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).

}

}

이 경우 $B_{i}$ $(\$ 는 $B_{i}$ 데이터 $(A(t),B(t)).$ ), $).\displaystyle(A(t), B(t$ )})에서 직접 가져옵니다 $.$ $(A(t),B(t)).$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ 시스템은 t ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ [ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ , t ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ ] { $displaystyle$ ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ { t $}$ \ $in$ [ $t$ _ { 0 , t ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ } ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ （ ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ ( t ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ ) ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ 、 ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ ( ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ t ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ ) ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ 、 ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ , ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ k ( ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ t $text$ ) ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$ $display$ $style$ { $textrm }$ $B_{1}({\bar {t}}),\ldots,B_{k}({\bar {t}})\right]=n$ ^[3]

예

$(-\infty ,\infty )$ - $(-\infty ,\infty )$ , $(-\infty ,\infty )$ ) { $displaystyle$ ( - \ $infty$ , \ $infty$ )} 및 $(-\infty ,\infty )$ 매트릭스에서 분석적으로 변화하는 시스템을 고려합니다.

$A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ ( $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ ) $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ [ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ 1 $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ t $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ 0 $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ t 2 $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ ]{ $displaystyle$ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ A ( t ) $= bmatrix$ } $t$ & $1$ \ \ \ $0$ > $t^$ { $3$ \ $0$ } 、 $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ ( $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ ) $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ $=$ [ $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ $bmatrix$ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ } 、 $B$ $A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$ （ t ） $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ 。}그리고 나서);1&, 0&, -1\\1&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 2\end{bmatrix}}}과 이후 이 매트릭스 지위 3개, 시스템 c은[010− 110001002]{\displaystyle[B_{0}일 경우(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&[B 0(0), B1(0, B 2(0), B3(0)]모든 심상치 않은 inte에Ontrollable.rval of $\mathbb {R}$ R(\ $displaystyle \mathbb {R$ 입니다.

연속 선형 시간 불변(LTI) 시스템

연속 선형 시간 불변 시스템을 고려합니다.

(\displaystyle\dot\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x}(t)+B\mathbf {u}(t)}

\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)+D\mathbf {u}(t)}

어디에

(\

n\times 1

는

\mathbf {x}

n

n\times 1

×

n\times 1

(\

displaystyle n\times

1)의 "상태 벡터",

(\

는

\mathbf {y}

m

m\times 1

×

m\times 1

(\

displaystyle

m

\times

1)

m\times 1

"출력 벡터",

\mathbf {u}

{\

displaystyle \mathbf {u}

는

\mathbf {u}

r\times 1

×

r\times 1

{\

displaystyle

r

\times

1)

r\times 1

"입력(또는 제어) 벡터",

\displaystyle

A는

A

n\times n

×

n\times n

\

displaystyle

n \

times

n

n\times n

\ times n "상태 매트릭스"입니다.

(\displaystyle

B

)

는

B

n

n\times r

×

n\times r

(\

displaystyle

n

\times

r

)

"입력 매트릭스",

(\displaystyle

C

)

는

C

m

m\times n

×

m\times n

(\

displaystyle

m

\times

n

)

"출력 매트릭스",

D

{\

displaystyle

D

}

는

D

m

m\times r

×

m\times r

{\displaystyle m\

times

r

}

"피드스루(또는 피드포워드)" 매트릭스입니다.

$n\times nr$ × $n\times nr$ r $\displaystyle$ n $\times$ nr 제어성 $n\times nr$ 매트릭스는 다음과 같습니다.

R=begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}

제어성 매트릭스가 전체 행 순위(예: $\operatorname {rank} (R)=n$ ( ( R $\operatorname {rank} (R)=n$ ) $\operatorname {rank} (R)=n$ \ $displaystyle \operatorname {rank} ($ R) $=$ n $\operatorname {rank} (R)=n$ )인 경우 시스템을 제어할 수 있습니다.

이산 선형 시간 불변(LTI) 시스템

이산 시간 선형 상태-공간 시스템(즉, $k\in \mathbb {Z}$ 변수 k $k\in \mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle$ k $\in$ \ $mathbb {Z$ 의 경우 상태 방정식은 다음과 같습니다.

{x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)

$A$ 서A(\ $displaystyle$ A $)$ 는 $A$ n $n\times n$ × $n\times n$ (\ $displaystyle$ n $\times$ n $)$ $B$ ,B(\ $displaystyle$ B $)$ 는 $B$ $n\times r$ n × $n\times r$ (\ $displaystyle$ n $\$ $times$ $n\times r$ r $)$ 매트릭스입니다 $n\times r$ ( $\mathbf {u}$ , u $\$ 는 $\mathbf {u}$ $r$ $r\times 1$ $r\times 1$ x $r\times 1$ 된 r).제어성 테스트는 n $n\times nr$ × $n\times nr$ r $n\times nr$ { $displaystyle$ n $\times$ nr $}$ $n\times nr$

{C}}=(begin {bmatrix} B&)AB&A^{2}B&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}

에는 풀 행 랭크가 있습니다( $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$ , 랭크 $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$ （ C $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$ ） $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$ ${$ $displaystyle \operatorname {rank}(\mathcal {C$ } $=n}).$ 즉, 시스템이 제어 가능한 경우 C $(\$ { $C$ $})$ 에는 ${\mathcal {C}}$ 선형 독립형인 $n개$ 의 $n$ 컬럼이 있습니다 $.C$ (\ $displaystyle$ $\$ displaystyle ${$ C $})$ 의 ${\mathcal {C}}$ $n$ n개의 $n$ 컬럼이 선형 독립형인 경우 n개의각 $n개$ 의 $n$ 에 도달할 수 있습니다. $u(k)$ u ( $u(k)$ ) { $displaystyle$ u $k$ )}를 통한 적절한 입력.

파생

상태 ${\textbf {x}}(0)$ ( ${\textbf {x}}(0)$ ) ${\textbf {x}}(0)$ { $style {textbf {x}}(0)}$ 이 ${\textbf {x}}(0)$ (가) k=0으로 표시되었을 때 상태 방정식은 ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ x ( ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ ) ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ x ( ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ + ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ u ( ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ { $displaystyle {textbf {x}}$ (1) $=$ $A{\textbf {x}(0)+B{\textbf {u}}(0)},$ ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ x( ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ $=$ ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ ( ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ )+ ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ u ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ ( ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ ) = ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ 2 ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ ( ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ )+ ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ u ( ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ 1) ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ , \ $displaystyle$ {\ $textb {x}(2$ )= $A{\textbf {x}} (1)+$ $B{\textbf {u}} (1) =$ $A^{2}{\textbf {x}}(0)+$ $AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ 등 ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ , 상태 변수의 반복적인 역치환에 의해, 최종적으로 산출됩니다.

{\displaystyle\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}

또는 동등하게

{textbf {x}(n)-A^{n}=[B, AB,\cdots,A^{n-1}B][{\textbf {u}{T}(n-1),{\textbf {x}{n}}{T}-2,T.

상태 ${\textbf {x}}(n)$ x $(\displaystyle\textbf {x}}(n))$ 의 ${\textbf {x}}(n)$ 원하는 값을 좌측에 적용하면 우측 선두에 있는 행렬의 행렬이 전체 행 순위를 갖는 경우에만 제어 벡터의 누적 벡터에 대해 항상 해결할 수 있습니다.

예

예를 들어, n $n=2$ $n=2$ { $displaystyle$ n $=2}$ 및 $n=2$ $r=1$ $r=1$ { $displaystyle$ r $=1}($ 즉, 하나의 제어 입력만 해당)인 경우를 고려합니다. $따라서$ B $(디스플레이 스타일$ B $)$ 와 $B$ $(디스플레이 스타일$ AB $)$ 는 $AB$ $2\times 1$ $2\times 1$ × $(디스플레이 스타일$ 2 $\times$ 1) 벡터입니다. ${\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}$ B $]$ { $display$ { $begin$ { $bmatrix }$ & $AB\end {bmatrix}}$ 는 ${\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}$ 2등급(풀랭크)이므로 $(디스플레이 스타일$ B $)$ 와 $B$ $(디스플레이 스타일$ AB $)$ 는 $AB$ 선형 독립적이며 평면 전체에 걸쳐 있습니다.순위가 1인 $경우$ B $(디스플레이 스타일$ B $)$ 와 $B$ $(디스플레이 스타일$ AB $)$ 는 $AB$ 동일선이며 평면을 가로지르지 않습니다.

초기 상태가 0이라고 가정합니다.

$k=0$ k $k=0$ { $displaystyle$ k = $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ $k=0$ : $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ x ( $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ ) $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ ( $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ ) + $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ u ( $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ ) $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ u ( 0 $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ ) { $display$ x (1) $=$ $A{\textbf {x}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

$k=1$ k $k=1$ $k=1$ { $displaystyle$ k $=$ $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ } $:$ $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ( 2 ) $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ( $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ) + $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ( $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ) $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ u ( $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ) + $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ u ( $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ ) ( 1 ) { $displaystyle$ x (2) $=$ $A{\textbf {x}} (1)+$ $B{\textbf {u}} (1) =$ $AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$

$k=0$ k $=$ $k=0$ ({ $displaystyle k=$ 0)의 $k=0$ 도달 가능 상태는 모두 $벡터$ B({ $displaystyle$ B $B$ 에 의해 형성된 라인 상에 있습니다.시간 $k=1$ $k=1$ $({displaystyle$ k $=1})$ 의 $k=1$ 도달 가능 상태는 모두 $({displaystyle$ AB $})$ 와 $AB$ B({ $displaystyle$ B $B$ 의 선형 조합입니다.시스템이 제어 가능한 경우 이 두 벡터입니다.는 전체 평면에 걸쳐서 시간 $k=2$ $k=2$ $(\displaystyle$ k= $2)$ 동안 $수행$ 할 $k=2$ 수 있습니다. 초기 상태가 0이라고 가정한 것은 단지 편의상입니다.원점에서 모든 상태에 도달할 수 있는 경우, 다른 상태에서도 어떤 상태에 도달할 수 있습니다(단순히 좌표의 변화).

이 예는 모든 $n$ 의 n $(\displaystyle$ n $n$ 에 적용되지만, n $=$ $n=2$ (\ $displaystyle n=$ 2)의 $n=2$ 경우 시각화하기 쉽습니다.

예를 들어 n = 2의 유사점

이전 예제와 유사하다고 생각해 보세요.여러분은 무한하고 평평한 평면을 타고 북쪽을 향해 앉아 있습니다.목표는 직선으로 거리를 주행하여 비행기의 어느 지점에 도달하고 완전히 정지한 후 방향을 틀고 다시 직선으로 다른 거리를 주행하는 것입니다.스티어링이 없는 경우 직진 주행만 할 수 있습니다. 즉, 직선 주행만 할 수 있습니다(이 경우 북쪽을 향하기 시작한 이후 남북 방향).스티어링 케이스가 없는 것은 C $(\displaystyle$ C $)$ 의 $C$ 순위가 1인 경우와 유사합니다(운전한 두 거리가 동일한 선상에 있음).

차량에 스티어링이 있다면 비행기의 어느 지점에서도 쉽게 운전할 수 있습니다. 이는 C $(\displaystyle$ C $)$ 의 $C$ $C$ 이 2인 경우와 유사합니다.

이 예를 n $n=3$ $(\displaystyle$ n $=3$ )으로 $n=3$ $n=3$ 하면 3D 공간의 임의의 위치에 도달하기 위한 우주 비행이 됩니다(항공기 방향 변경).다음 작업을 수행할 수 있습니다.

일직선으로 날다
좌회전 또는 우회전(Yaw)
임의의 양만큼 평면을 위아래로 향하게 한다(피치)

3차원 사례는 시각화하기 어렵지만 제어성의 개념은 여전히 유사합니다.

비선형 시스템

제어-아핀 형태의 비선형 시스템

{\displaystyle {\mathbf {x}}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x}u_{i})

접근성 $분포$ R $(\displaystyle$ R $)$ 이 $R$ n(\ $displaystyle$ n $)$ 공간에 $n$ $걸쳐$ 있는 경우, n $(\displaystyle$ n $)$ 이 $n$ x $(\displaystyle$ x)의 $x$ 랭크이고 R은 ^[4]다음과 같이 지정되는 $경우$ $x_{0}$ 0 $(\$ })에 $x_{0}$ 로컬로 액세스할 수 있습니다.

R=bgin{bmatrix}\mathbf {g}_{m}&[\mathrm {ad}_{mathbf {g}_{i}{k}\mathbf {g}_{j}}}\cdots&\mathbf {g}_mathbf {g}_mathbf {g}

여기서 $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ [ $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ d f $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ g $]{displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f}$ }^{ $k}\mathbf {g}$ }}는 $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ 다음과 같이 정의된 반복 Lie 브래킷 연산입니다.

\displaystyle [\mathbf {ad} _{\mathbf {f}^{k}\mathbf {g} ] = scdots & j&\cdots & \mathbf {f} \mathbf {f} \endbmatrix } } 。}

이전 섹션의 선형 시스템에 대한 제어 가능성 매트릭스는 실제로 이 방정식에서 도출할 수 있습니다.

특수한 제어 기능

개별 제어 시스템이 null-controlable인 경우 제어 $u(k)$ 한 $u(k)$ u( $x(k_{0})=0$ $)$ { $displaystyle$ $u(k)$ u( $k)}$ 가 $u(k)$ 존재하여 일부 초기 $x(k_{0})=0$ 상태 $x(0)=x_{0}$ ( $x(0)=x_{0}$ ) $=$ $x(0)=x_{0}$ x 0 ( $x(0)=x_{0}$ $x(0)=x_{0}$ $x(0)=x_{0}$ 0 $x(k_{0})=0$ (x ( $0$ $)$ $= x$ 0 (x_ $0$ }) 입니다 $x(k_{0})=0$ .즉 $A+BF$ A + $A+BF$ F $A+BF$ {\ $displaystyle A$ +BF $}$ 가 $A+BF$ 0이 $A+BF$ $매트릭스$ F {\ $displaystyle$ F $}$ 가 $F$ 존재하는 것과 같습니다.

이는 제어 가능-제어 불가능 분해를 통해 쉽게 확인할 수 있습니다.

출력 제어성

출력 제어성은 시스템 출력(앞의 방정식에서는 y로 표시)과 관련된 개념입니다.출력 제어성은 외부 입력이 출력을 초기 조건에서 최종 조건으로 유한한 시간 간격으로 이동할 수 있는 능력을 나타냅니다.상태 제어성과 출력 제어성 사이에 관계가 있을 필요는 없습니다.특히:

제어 가능한 시스템이 반드시 출력 제어 가능한 것은 아니다.예를 들어 행렬 D = 0 및 행렬 C의 행 순위가 완전하지 않으면 출력 행렬의 제한 구조에 의해 출력의 일부 위치가 마스킹되므로 달성할 수 없습니다.또한 시스템은 유한한 시간 내에 어떤 상태로든 이동할 수 있지만, 모든 상태에서 접근할 수 없는 출력이 있을 수 있습니다.간단한 수치 예에서는 D=0 및 적어도 1개의 0행의 C행렬을 사용합니다.따라서 시스템은 그 치수를 따라 0이 아닌 출력을 생성할 수 없습니다.
출력 제어가 가능한 시스템은 반드시 상태 제어가 가능한 것은 아니다.예를 들어 상태 공간의 치수가 출력의 치수보다 클 경우 각 출력에 대해 일련의 가능한 상태 구성이 있습니다.즉, 시스템은 출력에서 관측할 수 없는 시스템의 궤적인 유의한 제로 다이내믹스를 가질 수 있습니다.따라서 한정된 시간 내에 출력을 특정 위치로 구동할 수 있다는 것은 시스템의 상태 구성에 관한 것이 아니다.

위의 예와 같이 선형 연속 시간 시스템의 경우 $m\times (n+1)r$ $A$ (\ $displaystyle$ A $A$ $B$ $(\displaystyle$ B $B$ C(\ $displaystyle$ C $C$ $및$ D(\ $displaystyle$ D $D$ 에서 설명되며 m $m\times (n+1)r$ × ( $m\times (n+1)r$ + $m\times (n+1)r$ 1) $m\times (n+1)r$ r(\ $displaystyle$ m $\times$ ( $n+1$ )r $m\times (n+1)r$ 출력 제어 매트릭스

(\displaystyle\begin{bmatrix}CB&CAB&)CA^{2}B&\cdots&CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}

에는 시스템이 출력 제어 ^[1]^{: 742}가능한 경우에만 전체 행 순위( $즉$ , 등급m\ $displaystyle$ m $m$ 가 있습니다.

입력 제약에 따른 제어 가능성

제어 권한이 제한된 시스템에서는 초기 상태를 제어 가능한 하위 공간 내의 최종 상태로 더 이상 이동할 수 없습니다.이 현상은 시스템에 내재되어 있거나(예: 작동기 포화) 다른 이유(예: 안전 관련 우려)로 인해 시스템에 부과될 수 있는 입력에 대한 제약에 의해 발생한다.입력 및 상태 제약이 있는 시스템의 제어 가능성은 도달^[5] 가능성 및 실행 가능성 ^[6]이론의 맥락에서 연구된다.

행동 프레임워크에서의 제어 가능성

빌럼스(시스템 및 제어 담당자를 참조)로 인한 소위 행동 시스템 이론 접근법에서 고려된 모델은 입력-출력 구조를 직접 정의하지 않는다.이 프레임워크에서 시스템은 변수 집합의 허용 궤적으로 설명되며, 그 중 일부는 입력 또는 출력으로 해석될 수 있다.

그 후, 어떤 동작의 과거 부분(외부 변수의 궤적)이 그 동작에 포함되도록, 즉 허용되는 시스템 ^[7]^{: 151}동작의 일부로서 동작의 미래 궤적에 연결될 수 있는 경우, 시스템은 이 설정에서 제어 가능하도록 정의된다.

안정성

제어성보다 약간 약한 개념은 안정성의 개념이다.시스템은 제어 불가능한 모든 상태 변수를 안정적인 역학 관계를 가질 수 있을 때 안정성이 있다고 한다.따라서 일부 상태 변수를 제어할 수 없는 경우에도(위의 제어 가능성 테스트에 의해 결정됨), 모든 상태 변수는 시스템의 ^[8]동작 중에 경계를 유지합니다.

도달 가능한 집합

T ∈ x x x x x X (X는 가능한 모든 상태의 집합이고, т은 시간 간격)로 합니다.x in time T로부터의 도달 가능한 세트는 다음과 ^[3]같이 정의됩니다.

$R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ T $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ ( $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ ) $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ { $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ X : $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ $}$ { $displaystyle$ R $^{T}{(x)}=\left\{z\in$ X $:x{\overset {T}{\rightarrow$ }} $z\$ right $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$ 여기서 x→z는 시간 T에 x에서 $z$ 로의 이행이 있음을 나타냅니다.

자율 시스템의 경우 도달 가능한 세트는 다음과 같습니다.

\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)

+\mathrm {Im}(A^{n-1}B

여기서 R은 제어성 매트릭스입니다.

도달 가능한 집합의 관점에서 시스템은 I $Im(R)=\mathbb {R} ^{n}$ ( $Im(R)=\mathbb {R} ^{n}$ ) $=$ $Im(R)=\mathbb {R} ^{n}$ \ $display style$ Im $(R$ )=\ $mathbb {R} ^{n$ 인 $Im(R)=\mathbb {R} ^{n}$ 에만 제어할 수 있습니다.

실증 델에는 다음과 같은 동등성이 있습니다.

R=[B\ AB...}A^{n-1}B]

\displaystyle \mathrm {Im}(R)=\mathrm {Im}([B\ AB....A^{n-1}B])}

\mathrm {dim(Im)(R)}=\mathrm {rank}(R)

시스템이 제어 가능하다는 점을 고려할 때, R의 열은 선형 독립적이어야 한다.그래서:

\displaystyle \mathrm {dim(Im)(R)=n}

\displaystyle \mathrm {rank}(R)=n}

\displaystyle \mathrm {Im}(R)=\mathbb {R} ^{n}\math\blacksquare}

도달 가능한 세트와 관련된 세트는 다음과 같이 정의되는 제어 가능한 세트입니다.

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

T (

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

)

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

{

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

X :

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}

}

{

displaystyle

C

^{T}{(x)}=\left\{z\in

X

:z{\overset {T}{\rightarrow}}}x\right

도달 가능성과 제어 가능성의 관계는 손탁에 ^[3]의해 제시됩니다.

(a) n차원 이산 선형계는 다음의 경우에만 제어할 수 있다.

R(0)=R^{k}{(0)=X}

( 0

R(0)=R^{k}{(0)=X}

)

R(0)=R^{k}{(0)=X}

R(0)=R^{k}{(0)=X}

(

R(0)=R^{k}{(0)=X}

)

=

{\

displaystyle

R(0)=

R^{k}{(0

)=

X}

(여기서 X는 가능한 모든 값 또는 x의 상태의 집합이고 k는 시간 단계입니다.)

(b) 연속시간 선형 시스템은 다음의 경우에만 제어할 수 있다.

R(0)=R^{e}{(0)=X}

( 0 )

R(0)=R^{e}{(0)=X}

R(0)=R^{e}{(0)=X}

e (

R(0)=R^{e}{(0)=X}

)

R(0)=R^{e}{(0)=X}

( \

displaystyle

R ( 0 ) =

R^

{

e

} { ( 0 ) =

X

} (모든 e > 0

R(0)=R^{e}{(0)=X}

）。

$C(0)=C^{e}{(0)=X}$ e>0에 $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ 대해 $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ $=$ $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ e (0) $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ X {\ $displaystyle C$ (0 $)=C$ ^{e}{(0)= $X}$ 인 $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ 에만.

예 다음 공식에서 n차원 이산 시간 불변 시스템이라고 가정합니다.

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

(n,0,0,w)

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

=

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

A

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

-

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

w (

\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)

- 1

){ displaystyle \sum \sum

_

{i

}{

n}A

^{

i-1}

n-1)}(여기서 δ(최종시간, 초기시간, 상태, 변수, 제한)는 x의 천이상태로 정의된다.

그 결과 미래 $R^{k}{(0)}$ 는 $R^{k}{(0)}$ R $R^{k}{(0)}$ ( $R^{k}{(0)}$ 0 ) { $displaystyle R^$ { k $}$ { ( 0 ) } 입니다. $R^{k}{(0)}$ 이것은 선형 맵의 이미지에 포함됩니다.

Im(R)=R(A,B)는 Im

[B\ AB....A^{n-1}B]

[B\ AB....A^{n-1}B]

B

[B\ AB....A^{n-1}B]

.

[B\ AB....A^{n-1}B]

.

[B\ AB....A^{n-1}B]

. .

[B\ AB....A^{n-1}B]

n -

[B\ AB....A^{n-1}B]

B

]\

displaystyle [B\ AB....

A^{n-1}B]},

어떤 지도,

u^{n}

n \

display style

u

^{n}

u^{n}

X

$u=K^{m}$ $u=K^{m}$ $u=K^{m}$ m { $display$ $style$ $X=K^{n}$ = K $^{m}$ 및 X $u=K^{m}$ $X=K^{n}$ $X=K^{n}$ n { $X=K^{n}$ X $X=K^{n}$ = $K^{n}}$ 일 $u=K^{m}$ , 우리는 $X=K^{n}$ R(A,B)을 B $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ - $B의 컬럼인 nm$ 행렬과 $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ 한다.시스템이 제어 가능한 경우 [ $[B\ AB....A^{n-1}B]$ A $[B\ AB....A^{n-1}B]$ . $[B\ AB....A^{n-1}B]$ . . $[B\ AB....A^{n-1}B]$ n - $[B\ AB....A^{n-1}B]$ $]$ \ $display$ style $[B\ AB...$ $A^{n-1}B]}$ 는 $[B\ AB....A^{n-1}B]$ n이다.만약 이것이 사실이라면, 선형 지도 R의 이미지는 모두 X입니다.그것에 근거해, 다음과 같이 됩니다.

R(0)=R^{k}{(0)=X}

(

R(0)=R^{k}{(0)=X}

)

R(0)=R^{k}{(0)=X}

R(0)=R^{k}{(0)=X}

(

R(0)=R^{k}{(0)=X}

0 )

=

{\

displaystyle

R(0)=

R^{k}{(0

)=

X}

(X) (XX) (

\mathbb {R} ^{n}

) 및 XCR

\displaystyle \mathbb {R}^{n

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 선형 시간 불변 시스템은 동일하게 동작하지만 계수는 일정합니다.

레퍼런스

^ ^a ^b Katsuhiko Ogata (1997). Modern Control Engineering (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-227307-7.
^ Brockett, Roger W. (1970). Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 에두아르도 D.손탁, 수학적 제어 이론: 결정론적 유한 차원 시스템.
^ 이시도리, 알베르토(1989년).비선형 제어 시스템, 페이지 92-3.스프링거-발락, 런던ISBN 3-540-19916-0.
^ Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alexandre M. Bayen; Meeko Oishi (2003). "Computational Techniques for the Verification of Hybrid Systems" (PDF). Proceedings of the IEEE. 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296. doi:10.1109/jproc.2003.814621. Retrieved 2012-03-04.
^ Jean-Pierre Aubin (1991). Viability Theory. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3571-8.
^ Jan Polderman; Jan Willems (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory: A Behavioral Approach (1st ed.). New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3.
^ Brian D.O. Anderson; John B. Moore (1990). Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8.

외부 링크

[2] 선형 시간 불변 시스템은 동일하게 동작하지만 계수는 일정합니다.

[Ogata97-1] Katsuhiko Ogata (1997). Modern Control Engineering (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-227307-7.

[3] Brockett, Roger W. (1970). Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.

[:0-4] 에두아르도 D.손탁, 수학적 제어 이론: 결정론적 유한 차원 시스템.

[5] 이시도리, 알베르토(1989년).비선형 제어 시스템, 페이지 92-3.스프링거-발락, 런던ISBN 3-540-19916-0.

[6] Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alexandre M. Bayen; Meeko Oishi (2003). "Computational Techniques for the Verification of Hybrid Systems" (PDF). Proceedings of the IEEE. 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296. doi:10.1109/jproc.2003.814621. Retrieved 2012-03-04.

[7] Jean-Pierre Aubin (1991). Viability Theory. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3571-8.

[Polderman98-8] Jan Polderman; Jan Willems (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory: A Behavioral Approach (1st ed.). New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3.

[Anderson+Moore/book:1989-9] Brian D.O. Anderson; John B. Moore (1990). Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8.

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