단일 및 반독성 그룹의 핵심 표현

양자역학에서 대칭 연산은 시스템에 대한 해법에 대한 정보를 제공하는 데 중요하다.전형적으로 이러한 연산들은 수학적 그룹을 형성한다. 예를 들어, 회전 그룹 SO(3)는 spherric 대칭 전위를 위한 것이다.이러한 집단의 표현 이론은 돌이킬 수 없는 표현으로 이어지며, SO(3)는 시스템의 각운동량 케트 벡터를 제공한다.

표준 표현 이론은 선형 연산자를 사용한다.그러나 시간 역전과 같이 물리적으로 중요한 일부 연산자는 반선형이며, 이러한 연산자를 대칭 그룹에 포함하면 단일 및 대칭 연산자를 모두 포함하는 집단이 된다.

이 글은 이들 집단의 대표이론과 동등한 핵심현상 이론에 관한 것이다.주로 자기구조의 이론적 연구에 사용되지만 CPT 대칭으로 인해 입자물리학과도 관련이 있다.그것은 기본적인 결과, 일반적인 표현 이론과의 관계, 그리고 적용에 대한 일부 참조를 제공한다.

단일/반연합 집단의 핵심 표시

유진 위그너.^[1]해밀턴의 대칭 연산 S는 단일 연산자 S = U 또는 단일 연산자 S = U 또는 단일 연산자 UK에 의해 양자역학으로 표현되며, K는 복잡한 결합을 나타낸다.시간역전 연산자로 인해 양자역학에서 항유니터리 연산자가 발생함

대칭 연산(단일화 및 반일화)의 집합이 그룹을 형성한다면, 일반적으로 자석 그룹으로 알려져 있으며, 이들 중 많은 부분이 자석 공간 그룹으로 설명된다.

단일 운영자 그룹은 그룹 대표성으로 대표될 수 있다.반독성 운영자의 존재로 인해 이것은 위그너의 핵심 표현 이론으로 대체되어야 한다.^[1]

정의

G를 지수 2의 부분군 H를 가진 그룹이 되게 하라.코어 표시는 복잡한 숫자에 대한 벡터 공간을 통해 연산자 그룹에 대한 동형상이다. 여기서 H의 u의 이미지는 선형 연산자이고, 코셋 G-H의 u의 이미지는 반선형이다(여기서 '*'는 복잡한 결합을 의미한다).

{\begin{aligned}&\forall u\in H,D(u)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a\times D(u){\bf {x}}+b\times D(u){\bf {y}}\\&\forall a\in G-H,D(a)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a^{*}\times D(a){\bf {x}}+b^{*}}\time D(a){\bf {y}\end{arged}}

특성.

이것이 동음이의어이기 때문에.

{\begin{aigned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2})\&D(ua)=D(a)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}}\&D(a_{1}a_{2})=D(a_{1}}^{{2}}}}}:{liged}}}

환원성

행렬 V가 있는 경우 두 개의 코어 표시는 동일하다.

{\begin{aigned}&\all u,d'=VD(u)v^{-}1\\&\all a,d'(a)=VD(a)v^{*-1}\end{aigned}}}}

표현과 마찬가지로 코어 표시는 코어 표시의 작동 하에서 적절한 하위 공간 불변제가 있으면 축소할 수 있다.코어 표시는 행렬에 의해 주어지는 경우, 블록 대각선 형태로 각 행렬을 갖는 코어 표시와 같을 경우 축소할 수 있다.

만약 핵심 표시가 축소될 수 없다면, 그것은 되돌릴 수 없다.

슈르의 보조정리

복잡한 숫자에 대해 설명할 수 없는 표현을 위한 슈르의 보조정리기는 만일 행렬이 표현의 모든 행렬과 통근한다면 그것은 ID 행렬의 (복수) 배, 즉 통근 행렬의 집합이 복잡한 $\mathbb {C}$ C ${\$ 에 이형화되어 있다고 말한다 $\mathbb {C}$ 슈르의 보조정리법과 동등한 것이다.기약 corepresentations의 경우 통근 매트릭스의 집합 R{\displaystyle \mathbb{R}에}, C{\displaystyle \mathbb{C}}또는 사원 법 Q{\displaystyle \mathbb{Q}}[2]이 엮어 가는 수가 진짜 숫자에 대하[1]을 이용한 동형이다 이 1의 서로 뒤얽힌 번호로 2은 O표시할 수 있다고r4.

선형 부분군의 표현과 관계

일반적으로, 되돌릴 수 없는 핵심 표시는 선형 부분군 H의 되돌릴 수 없는 표현과 관련이 있다.^[1]^[2]^[3]^[4] $\Delta$ $\Delta$ 을(를) 선형 부분군 H의 되돌릴 수 없는(일반적인) 표현으로 하자 $\Delta$ .이러한 각 연산자의 문자 제곱의 모든 반선형 연산자에 대해 합을 만드십시오.

S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})

임의 요소에 대해 $P=D(a_{0})$ $P=D(a_{0})$ = $P=D(a_{0})$ ( $P=D(a_{0})$ ) ${\displaystyle P=D(a_{0})$ 를 $a_{0}$ ${\$ 로 설정하십시오 $a_{0}$

Cracknell과 Bradley의 캐릭터 테스트 eq 7.3.51로 구분되는 세 가지 사례가 있다.

유형(a): S = H(뒤얽힌 숫자가 1인 경우) D는 $\Delta$ $\Delta$ 과 $\Delta$ (와) 같은 차원을 가진 수정 불가능한 핵심 표현이다.; ${\begin{ligned}&D(u)=\Delta(u)\&D(a)=D(aaa_{0}^{1}a_{0}}=\Delta(aa_{0})P\end{aigned}$

유형(b): S = - H(뒤얽힌 숫자는 4) 다음에 D는 $\Delta$ $\Delta$ 의 두 개의 '복사'로 형성된 불가해한 표현이다.; ${\begin{aigned}&D(u)={\begin{pmatrix}\델타(u)&0\\0&\Delta(u)\end{pmatrix}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta(aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1})P&0\end{pmatrix}\end{aigned}$

유형(c): If S = 0 (the intertwining number is two), then D is an irreducible corepresentation formed from two inequivalent representations $\Delta$ and $\Delta '$ where $\Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}$; ${\begin{aigned}&D(u)={\begin{pmatrix}\델타(u)&0\\\0&\Delta(a_{0}^{-1}ua_{0}^{*}\end{pmatrix}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\delta(a_{0})\\\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix}\end{정렬}}}$

크랙넬과 브래들리는^[5] 이것들을 어떻게 사용하여 자기점 그룹을 위한 핵심 프리젠테이션을 구성하는지를 보여주며, 크랙넬과 웡은 이중 자기 그룹을 위한 보다 명확한 표를 제공한다.

핵심 표현의 특성 이론

유한집단에 대한 표준표현 이론은 행과 기둥 직교성 특성이 있는 정사각형 문자표를 가지고 있다.결합성 등급의 정의와 교차 숫자의 사용법이 약간 다른 경우, 유한 자기 그룹의 코어 표시에 대해서도 유사한 직교성 특성을 가진 정사각형 문자 테이블이 존재한다.^[2]

이 문자표를 바탕으로 표현 이론의 성격 이론 미러링이 개발되었다^[7].

참고 항목

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Schweiser, J. (2005). "Time inversion in the representation analysis of magnetic structures theory". C. R. Physique. 6: 375–384. doi:10.1016/j.crhy.2005.01.009.
Angeloval, M. N.; Boyle, L. L. (2005). "On the classification and enumeration of the irreducible co-representations of magnetic space groups". Journal of Physics A: Mathematical and General. 29 (5): 993–1010. doi:10.1088/0305-4470/29/5/014.
Scurek, R. (2004). "Understanding the CPT group in particle physics: Standard and nonstandard representations". Am. J. Phys. 75 (5): 638–643. Bibcode:2004AmJPh..72..638S. doi:10.1119/1.1629087.

참조

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[7] Newmarch, J. D. (1983). "Some Character Theory for Groups of Linear/Antilinear Operators". J. Math. Phys. 24 (4): 742–756. Bibcode:1983JMP....24..742N. doi:10.1063/1.525790.

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