콕시터의 탄젠트 원들의 렉스로믹 시퀀스

파란색 원 0은 1, 2, 3번 원뿐만 아니라 -1, -2, -3번 원에도 접선한다.

기하학에서, 콕세터의 탄젠트 원들의 로코드로믹 수열은 무한히 배열된 원의 수열로, 그 수열에서 4개의 연속된 원들이 쌍방향으로 서로 접선되도록 한다.이것은 순서에 따라 각각의 원이 앞에 있는 세 개의 원과 그 뒤에 있는 세 개의 원에도 접한다는 것을 의미한다.

특성.

서열에서 원의 반지름은 비율과 함께 기하학적 진행을 형성한다.

k=\varphi +{\\sqrt {\varphi }}\약 2.89005\ ,

여기서

\varphi

\varphi

은

\varphi

(는) 황금 비율이다.이 비율

k

k

과

k

그 역수는 방정식을 만족한다.

{\displaystyle(1+x+x^{2}+x^{3})^{2}=2(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}\,}

그래서 연속된 네 개의 원은 데카르트의 정리 조건에 부합한다.^[1]^[2]

서열에서 원의 중심은 로그 나선 위에 있다.나선형의 중심에서 보면, 연속 원들의 중심 사이의 각도는^[1] 다음과 같다.

\cos ^{-1}\좌측 \frac {-1}{\barphi }\우측)\약 128.168^{\message }\\

중심부의 연속적인 3배 사이의 각도는

\theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\약 51.8273^{\message }}

케플러 삼각형의 각도의 하나와 동일하며, 이 삼각형은 황금 비율의 제곱근을 포함하는 직각 삼각형의 직각 삼각형이다.^[3]

이 구조는 지오미터 H. S. M. Coxeter의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 2차원 케이스를 더 높은 차원으로 구와 하이퍼스피어의 시퀀스에 일반화했다.^[1]^[4]^[5]도일 나선형의 퇴보 특례로 해석할 수 있다.^[2]

^ ^a ^b ^c Coxeter, H. S. M. (1968), "Loxodromic sequences of tangent spheres", Aequationes Mathematicae, 1: 104–121, doi:10.1007/BF01817563, MR 0235456
^ ^a ^b Aharonov, D.; Stephenson, K. (1997), "Geometric sequences of discs in the Apollonian packing", Algebra i Analiz, 9 (3): 104–140, MR 1466797
^ Kocik, Jerzy (January 2019), A note on unbounded Apollonian disk packings, arXiv:1910.05924
^ Coxeter, H. S. M. (1997), "Numerical distances among the spheres in a loxodromic sequence", The Mathematical Intelligencer, 19 (4): 41–47, doi:10.1007/BF03024413, MR 1488865
^ Coxeter, H. S. M. (1998), "Numerical distances among the circles in a loxodromic sequence", Nieuw Archief voor Wiskunde, 16 (1–2): 1–9, MR 1645232