교차 공분산

확률과 통계에서 두 개의 확률적 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ } ${\$ 및 $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ ${\$ displaystystyle \{}}}}}} $Y_{t}\right$ 교차 공분산은 한 공정과 다른 공정의 공분산을 시간 쌍으로 제공하는 함수다. With the usual notation $\operatorname {E}$ for the expectation operator, if the processes have the mean functions $\mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]$ and $\mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]$ $\mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]$ , 그리고 나서 공분산 교차: 에 의해 주어진다.

\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,

교차 공분산은 해당 프로세스의 더 일반적으로 사용되는 교차 상관과 관련이 있다.

In the case of two random vectors $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}$ and $\mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}$ , the cross-covariance would be a ${\displaystyle p\$ $times q}$ matrix $\operatorname {K} _{XY}$ (often denoted $\operatorname {cov} (X,Y)$ ) with entries ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},$ $Y_{k}).\,}$ 따라서 $\operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,$ $\mathbf {X}$ 개념을 랜덤 $\mathbf {X}$ 벡터 X {\ $displaystyle$ $\$ $mathbf$ { $X}$ 의 공분산과 구별하기 위해 교차 공분산이라는 용어를 사용하며, X ${\$ { $X}$ 그 자체의 $\mathbf {X}$ 스칼라 성분들 사이의 공분산 행렬로 이해된다 $\mathbf {X}$

신호 처리에서 교차 공분산(cross-correlation)은 흔히 교차상관(cross-correlation)이라고 하며, 일반적으로 알려진 신호와 비교하여 알 수 없는 신호에서 형상을 찾는 데 사용되는 두 신호의 유사성의 척도다. 신호 사이의 상대적 시간의 함수로서, 때로는 슬라이딩 도트 제품이라고 불리며, 패턴 인식과 암호 분석에 응용이 있다.

랜덤 벡터의 교차 공분산

확률적 공정의 교차 공분산

무작위 벡터의 교차 공분산의 정의는 다음과 같이 확률적 프로세스로 일반화할 수 있다.

정의

$\{X(t)\}$ $\{X(t)\}$ ( $\{X(t)\}$ ) $\{X(t)\}$ ${\displaystyle \{X($ $\{Y(t)\}$ $)\}$ 및 $\{Y(t)\}$ { $\{Y(t)\}$ ( t $\{Y(t)\}$ ) $\{Y(t)\}$ } $\{Y(t)\}}}$ 은 $\{X(t)\}$ $\{Y(t)\}$ (는) 확률적 과정을 나타낸다. 그런 다음 $K_{XY}$ K X $K_{XY}$ ${\$ K_ ${X$ 의 교차 공분산 함수 $Y}$ 은 $K_{XY}$ (는) 다음을 통해 정의된다.^[1]^{: p.172}

\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]

(Eq.1)

where $\mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]$ and $\mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]$ .

공정이 복잡하게 값진 확률적 공정인 경우, 두 번째 요소는 복잡하게 결합되어야 한다.

\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]

공동 WSS 프로세스 정의

$\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ ${\$ 및 $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ } ${\$ 인 경우 $Y_{t}\right\}}$ 은(는) 공동으로 넓은 감각의 정지상태로 $\left\{Y_{t}\right\}$ , 그렇다면 다음과 같다.

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

(

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

)

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

=

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

(

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

)

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

μ

\mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}

X {\

displaystyle \mu

_

{X

}(t_

{1})=\mu _{X}(t_{2})\tangleq \mo \{X},

t_{1},t_{2}

{\

},

t_{2}},

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

(

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

)

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

=

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

(

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

2

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

)

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

{\

모든

\mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}

t

t_{1},t_{2}

,

t_{1},t_{2}

2

t_{1},t_{2}

{\

displaystystyle t_{1}

그리고

\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)

for all

t_{1},t_{2}

$\tau =t_{2}-t_{1}$ = $\tau =t_{2}-t_{1}$ $\tau =t_{2}-t_{1}$ - $\tau =t_{2}-t_{1}$ $\tau =t_{2}-t_{1}$ ${\$ 시차 또는 신호가 이동된 시간)를 설정하여 정의할 수 있다. $\tau =t_{2}-t_{1}$

\operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})

.

따라서 두 개의 공동 WSS 프로세스의 교차 공분산 함수는 다음을 통해 제공된다.

\operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _{X}\mu _{Y}

(Eq.2)

에 해당하는

{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu

_{X}\mu _{Y

.

상관성 없음

두 개의 확률적 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ } ${\$ 및 $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ ${\$ $Y_{t}\$ ^[1]^{: p.142} $오른쪽\}}$ 공분산 $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ $($ 1, $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ ) {\ $displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y}}}(t_{1},t_{2})$ 이 항상 0이면 $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})$ 상관없는 $\left\{Y_{t}\right\}$ 것으로 불린다. 공식:

\left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}

Y_{t}\right\}{\text{noncorrelated}}\iff \quad

\quad

\operatorname {K} _{\mathbf {X

} \

mathbf

{Y

}}}{1},t_{2}=0\quad \fall t_{1

},

t_{

2

\left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}

결정론적 신호의 교차 공분산

교차 공분산은 한 공정에서 측정한 표본과 다른 공정에서 측정한 표본의 평균(그리고 그 시간 이동)을 통해 두 광의 정지 랜덤 공정 사이의 교차 공분산을 추정할 수 있는 신호 처리에도 관련이 있다. 평균에 포함된 샘플은 신호에 포함된 모든 샘플의 임의 서브셋이 될 수 있다(예: 유한 시간 창 내의 샘플 또는 신호 중 하나의 하위 샘플링). 많은 수의 표본의 경우 평균은 실제 공분산으로 수렴된다.

교차 공분산은 두 신호 사이의 "결정론적" 교차 공분산을 나타낼 수도 있다. 이것은 모든 시간 지수를 합산하는 것으로 구성된다. 예를 들어 이산 시간 $f[k]$ f [ $f[k]$ $f[k]$ $g[k]$ g $g[k]$ [ $g[k]$ $g[k]$ $g[k]$ 의 경우 교차 $g[k]$ 공분산은 다음과 같이 정의된다.

(f\star g)[n]\\\stackrel {def}{}}}}}{k\in \mathb {Z}{f[n+k]}}{\overline {f[-n]}}}}{k\mathb[k]}}}

여기서 선은 신호가 복잡하게 값을 매길 때 복합 결합을 취함을 나타낸다.

연속 함수 $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystyle f($ $g(x)$ $)}$ $g(x)$ g $g(x)$ ( x $g(x)$ ) $g(x)$ 의 $g(x)$ 경우 (결정론적) 교차 공분산이 다음과 같이 정의된다.

(f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt

.

특성.

두 연속 신호의 (결정론적) 교차 공분산은 다음에 의한 콘볼루션과 관련이 있다.

(f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}*g(\tau )

그리고 두 이산 시간 신호의 교차 공분산은 다음에 의한 이산형 콘볼루션과 관련이 있다.

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

)

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

[

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

=

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

( f

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

[

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

-

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

의

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

g

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

[

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

[

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

(f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]

{\displaystyle (f\star g)]=({\overline {f[-k]}}}*g[k]]][n

참고 항목

참조

^ ^a ^b 박군일, 스프링거, 2018, 978-3-319-68074-3 통신에 응용한 확률과 확률 프로세스의 기초

외부 링크

[KunIlPark-1] 박군일, 스프링거, 2018, 978-3-319-68074-3 통신에 응용한 확률과 확률 프로세스의 기초

[1]

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