커닝햄 함수

통계에서 커닝햄 함수 또는 피어슨-커닝햄 함수 Ω_m,n(x)는 피어슨(1906)이 도입하고 커닝햄(1908)이 여기서 형식적으로 연구한 특수함수의 일반화다.그것은 다음과 같이 합체 초기하 함수 U의 관점에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle \omega_{m,n}(x)={\frac {e^{-x+\pi i(m/2-n)}}}{\감마(1+n-m/2)}}{{\M/2)}U(m/2-n,1+m,x)}.}$

이 함수는 (관절) 모멘트에 기초한 확률밀도함수의 근사치를 위해 에지워스 팽창의 다변량 일반화의 맥락에서 커닝햄에^[1] 의해 연구되었다.보다 일반적인 맥락에서, 함수는 하나 이상의 차원으로, 일정 효율의 확산 방정식의 해법과 관련이 있다.^[1]

Ω_m,n(x) 함수는 X:^[1]에 대한 미분 방정식의 해법이다.

${\displaystyle xX'+(x+1+m)X'+(n+{\tfrac {1}{2}}m+1)X.}$

Pearson에 의해 연구된 특별한 기능은 그의 표기법에 의해 주어진다.^[1]

$\displaystyle \omega _{2n}(x)=\omega _{0,n}(x).}$

메모들

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 13". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 510. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Cunningham, E. (1908), "The ω-Functions, a Class of Normal Functions Occurring in Statistics", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, The Royal Society, 81 (548): 310–331, doi:10.1098/rspa.1908.0085, ISSN 0950-1207, JSTOR 93061
• Pearson, Karl (1906), A mathematical theory of random migration, London, Dulau and co.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2 연습 10, 16장, 페이지 353을 참조하라.

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