몰리퍼

수학에서 연체동물(정체성에 대한 근사치로도 알려져 있다)은 특수한 성질을 가진 매끄러운 기능이며, 예를 들어 분포 이론에서 콘볼루션을 통해 매끄러운 (일반화된) 기능에 근접한 매끄러운 기능의 순서를 만드는 데 사용된다. 직관적으로, 다소 불규칙한 기능을 제공하면, 몰리그래프로 그것을 경련시킴으로써 기능은 "몰래화", 즉 그것의 날카로운 특징은 평활화되지만, 여전히 원래의 비원형(일반화) 기능에 근접하게 유지된다.^[1]

이들을 소개한 쿠르트 오토 프리드리히스(Kurt Otto Friedrichs)의 이름을 따서 프리드리히스 연체 동물로도 알려져 있다.^[2]

역사 노트

몰리어는 쿠르트 오토 프리드리히스가 자신의 논문(Friedrichs 1944, 페이지 136–139)에서 소개한 것으로, 근대 미분방정식의 분수령으로 여겨진다.^[3] 이 수학적 물체의 이름은 기이한 기원을 가지고 있었고, 피터 락스는 프리드리히스의 "선택자"에 발표된 그 논문에 대한 논평을 통해 그 자초지종을 말하고 있다.^[4] 그에 따르면, 그 당시 수학자 도널드 알렉산더 플랜더스는 프리드리히스의 동료였다: 그는 영어 사용법에 대해 동료들과 상담하는 것을 좋아했기 때문에, 플란더스에게 그가 사용하고 있는 스무딩 오퍼레이터의 이름을 어떻게 붙여야 하는지에 대해 조언을 구했다고 한다.^[3] 플랑드르스는 그의 도덕적 자질을 인정받아 몰 플랜더스 다음으로 친구 몰에 의해 별명이 붙여진 청교도인이었는데, 그는 플랑드르스의 별명과 동사 '몰리파이프(to mollife)'를 모두 포함하는 말장난으로서 새로운 수학 개념을 '몰리파이프(mollififier)'라고 부르자고 제안했는데, 비유적인 의미로는 '매끈하게 된다.^[5]

이전에 세르게이 소볼레프는 소볼레프 임베딩 정리의 증거를 담은 1938년 논문에서 몰리어를 사용했다.^[6] 프리드리히스 자신은 소볼레프의 연체동물 연구 결과를 다음과 같이 인정했다.이 연체동물들은 소볼레프와 저자가 소개한 것인데..."^[7]

이러한 근본적 저작의 시대부터 '염색기'라는 용어가 언어적 표류를 거쳤음을 지적해야 한다. 프리드리히스는 알맹이가 오늘날 연체동물이라고 불리는 기능들 중 하나인 통합 연산자 "염색기"로 정의했다. 그러나 선형 적분 연산자의 속성은 그 커널에 의해 완전히 결정되기 때문에, 몰피어라는 이름은 공통의 용도의 결과로 커널 자체에 의해 계승되었다.

정의

최신(배포 기반) 정의

정의 1. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) ℝⁿ, n ≥ 1에서 매끄러운 함수인 경우, 다음 세 가지 요구 사항을 충족하십시오.

(1) 압축적으로 지지된다^[8].

(2) ${\displaystyle \int_{\mathb {R}^{n}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3) ${\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon)=\mx(x)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \delta (x)}$은 Dirac 델타 함수이며, 제한은 Schwartz 분포의 공간에서 이해되어야 하며, 그러면 $\Delta {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi$}은 몰레이퍼(mollifier)이다$$. ▼ ${\displaystyle \varphi }$ 함수도 추가 조건을 충족할 수 있음$$(^[9]$예{\displaystyle }$: 만족하는 경우)

(4) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}($${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x)}$ ≥$$ 0(모든 x ∈ ∈에ⁿ 대해 양수 몰리퍼라고 함

(5) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x)}$= ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle$ $\mu$μ$\}$${\displaystyle }$ (x${\displaystyle }$) ${\$$displaystystyle$$($x$)},$ 무한히 다른 함수 $}$에 대해서는$$ symmet → ℝ이라고⁺ 한다.

프리드리히스의 정의에 관한 참고 사항

참고 1. 때 분배를 이론은 여전히 널리도 used,[10] 알려져 있지 않속성(3)위와 같이 ε 그 함수에 0→은 기능의 꼬임 선 한 점인 ϵ{\displaystyle\scriptstyle \varphi_{\epsilon}} 주어진 기능은 적절한 힐베르트, 바나흐 공간에 속하고 φ 말함으로써:[11]이것은 e.어xactly w프리드리히스는 모자를 썼다.^[12] 이것은 또한 연체동물이 근사적인 정체성과 관련이 있는 이유를 명확히 한다.^[13]

주 2. 본 항목의 "역사적 주석" 섹션에서 간략하게 지적한 바와 같이, 원래 "흡수기"라는 용어는 다음과 같은 경련 운영자를 식별하였다.^[13][14]

${\displaystyle \Phi_{\epsilon }(f)(x)=\int_{\mathb {R}^{n}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d}y}y}}$

여기서 ${\displaystyle {\phi }_{}x}$) =${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (x}$/ $ϵ$) ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ 및 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은 위에 언급된 처음 세 가지 조건과 하나 이상의 보완 조건을 긍정과 대칭으로 만족하는 부드러운 기능이다.

구체적인 예

ℝ에서ⁿ 정의한 변수의 함수$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}($${\displaystyle x}$) ${\displaystyle(x)}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi(x)={\begin{case}e^{-1/(1- x ^{2})}/I_{n}&{\text{{}{}{}{}}{}}{}text{}{}}}{}{}}{}}x \geq 1\end{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 숫자 상수 ${\$는 정규화를 보장한다$$. 따라서 이 함수는 x = 1. $\phi {\displaystyle }$ {\$displaystyle \varphi }$에 대한 소멸 파생상품과 무한히 다른 분석법으로 위에서 설명한 바와 같이 몰리퍼로 사용될 수 있다$$: $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}($$x$) ${\displaysty$style (x$)}$이 양의 대칭 몰리퍼를 정의하고$$ 있음을 알 수 있다.^[15]

특성.

응고기의 모든 성질은 콘볼루션의 작동에 따른 그것의 행동과 관련이 있다: 우리는 분배 이론에 관한 모든 본문에서 증거를 찾을 수 있는 다음과 같은 것들을 열거한다.^[16]

평활 특성

모든 분포 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 경우$,$ 실제 숫자 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$에 의해 색인화된 다음 문제 집합.

${\displaystyle T_{\\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

여기서 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast}$은(는) 부드러운 기능의 제품군이다.

아이덴티티 근사치

모든 분포 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 경우$,$ 실제 숫자 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$에 의해 인덱싱된 다음과 같은 경련 $계열$이 T ${\displaystyle T}$에 수렴된다$$.

${\displaystyle \lim \mathb {R}to 0}T_{\epsilon }=\lim_{\epsilon \ast \varphi _{\epsilon _}=T\in D^{\primate }(\mathb {R}^{n}}})$

콘볼루션 지원

$모든{\displaystyle }$ 배포 T ${\displaystyle T}$에 대해$,$

${\displaystyle \mathrm {supply}T_{\epsilon }=\mathrm {supply}{\epsilon }\subset \mathrm {supply}T+\mathrmatrm {sup} \varphi _{\\\\epsilon}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\$은(는) 분포의 관점에서 지지를 나타내고$$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$은(는) Minkowski 추가사항을 나타낸다$$.

적용들

몰링어의 기본 적용은 부드러운 기능에 유효한 특성이 매끄럽지 않은 상황에서도 유효하다는 것을 입증하는 것이다.

분포의 산물

일반화 함수의 일부 이론에서, 몰리어는 분포의 곱셈을 정의하는데 사용된다: 정밀하게, 두 $분포{\displaystyle }$ S$[\displaystyle S$}와 T$[\displaystyle T},$즉 매끄러운 함수의 곱과 분포의 한계.

${\displaystyle \im_{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim_{\epsilon \to 0}S\cdot T_}{\cdset {\mathrm {def}{=}}S\cdot T}}$

일반화된 기능의 다양한 이론으로 그들의 제품을 정의한다.

"약=강력" 정리

매우 비공식적으로, 강력한 확장성과 약한 확장이라는 두 가지 다른 종류의 미분 연산자의 확장의 정체성을 증명하기 위해 몰리어를 사용한다. 논문(Friedrichs 1944)은 이러한 개념을 꽤 잘 보여주고 있다. 그러나 이것이 진정으로 무엇을 의미하는지 보여주기 위해 필요한 많은 기술적 세부사항들이 이 짧은 설명에 공식적으로 상세하게 설명되는 것을 막는다.

부드러운 컷오프 기능

단위 공 ={ x: < ${\displaystyle B_{1}=\{x: x <1\}}}$의 부드러운 기능 $\phi$ 1/${\$}}(3)에 정의된 $$$ϵ{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystystyle \epilon =1/$2}})의 기능을 1을 얻는다.$$

${\displaystyle \chi _{B_{1}{1}(x)=\chi _{B_{1}}\st \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathb {R}{n}}\!\!\chi _{B_{1}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \(\\varphi _{1/2}=B_{1/2})}$

지원 어느는 매끈매끈한 기능 B1/2){x:x의<>1/2}{\displaystyle B_{1/2}=\{x:x의<>1/2\}}에 1{1\displaystyle} 같은지 B3/2={x:x의<3/2}{\displaystyle B_{3/2}=\{x:x의<>3/2\}포함된}. 이것이 쉽게 만약 x{년을 관찰하는 것만으로 볼 수 있다.displaystyle$$$x{\displaystyle \mathrm{}}$$$} ≤$$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle$1$/2}$ ${\displaystyle 및}$ y$$ $displaystyle y}$ ≤$$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle$1$/2}$ ${\displaystyle 다음}$ ${\displaystyle x}$- y $displaystyle$ $x-y$$}$ ≤$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle 1$ ${\displaystyle 따라서}$ x$≤$ $1$${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystystysty$

${\displaysty \int _{B_{1/2}}\\!$$\!\chi _{B_{1}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\\!$$\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d}$ y$=1$

사람들은 어떻게 이 건축은 주어진 콤팩트하는 이웃에 부드러운 기능 하나와 동일한를 가져온 모든 점에서 0이 개괄될 수 있는 이 세트에서 거리 지정된 ϵ{\displaystyle \epsilon}보다 .[17]그런 기능은( 부드러운)차단 기능:그 기능에 사용했습니다 더 높은 것을 볼 수 있다. elim주어진 함수의 특이점을 곱셈으로 나타내다 그들은 주어진 집합에서만 곱한 (일반화된) 함수의 가치를 그대로 두고, 따라서 그 지지도를 수정한다: 또한 컷오프 함수는 매끄러운 통합 분할의 기본 부분이다.

참고 항목

• 근사 식별
• 비분석적 매끄러운 기능
• 범프 함수
• 콘볼루션
• 바이에스트라스 변환
• 분포(수학)
• 쿠르트 오토 프리드리히스
• 일반화 함수
• 세르게이 소볼레프

메모들

참조

• 연체동물이 소개된 첫 번째 논문Friedrichs, Kurt Otto (January 1944), "The identity of weak and strong extensions of differential operators", Transactions of the American Mathematical Society, 55 (1): 132–151, doi:10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0, JSTOR 1990143, MR 0009701, Zbl 0061.26201.
• 순수·응용 수학에 Friedrichs, 커트 오토(1953년),"선형 타원 미분 방정식의 문제 해결의 식별 가능성.에", 통신 6세(3):299–326, doi:10.1002/cpa.3160060301, MR0058828, Zbl 0051.32703, 2013-01-05에 원래에서 보관.어디 타원 미분 방정식의 해결책의 식별 가능성. mollifiers를 사용하여 조사를 받는 종이
• Friedrichs, 커트 오토(1986년), Morawetz, 캐서린 S.(교육.), 셀렉타, 현대 수학자들에게는 수학 Boston-Basel-Stuttgart:Birkhäuser 출판사.,를 대신하여 서명함. 427( 제1권),를 대신하여 서명함. 608년(Vol2), 아이 에스비엔 0-8176-3270-0, Zbl 0613.01020.데이비드 아이작슨, 프리츠 존, Tosio 가토, 럭스 페테르, 루이 니렌버그 씨와 저희 Wolfgag Wasow, 해럴드 Weitzner의 전기를과 논평과 Friedrichs의 작품에서 엄선한.
• Giusti, Enrico (1984), Minimal surfaces and functions of bounded variations, Monographs in Mathematics, vol. 80, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, pp. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682, Zbl 0545.49018.
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2nd ed.), Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001.
• Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (in Russian and French), 4(46) (3): 471–497, Zbl 0022.14803. 세르게이 소볼레프가 임베딩 정리를 증명했던 논문은 몰리어와 매우 유사한 적분 연산자를 도입하여 이름을 붙이지 않고 사용하였다.