범프 함수

수학에서 범프 함수(시험 함수라고도 함)는 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ $R$ n ${\\$$displaystyle f$:\$mathb {R} ^{n}\to \mathb$ {$R$$}}}}$에 대한 함수 $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$displaysty \mathb{R}}}}}$이며, 이는 모든 순서의 연속적인 파생형을 갖는다는 의미에서 모두 원활하고 압축적으로 뒷받침된다.The set of all bump functions with domain ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ forms a vector space, denoted ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ or ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$$}}$ 적절한 위상이 부여된 이 공간의 이중 공간은 분포 공간이다.

예

함수 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\${R} \to \mathb {$R}$이$($가) 제공됨

한 차원에서의 범프 함수의 예다.실제 라인의 기능은 폐쇄적인 지지에 경계를 둔 경우에만 콤팩트한 지지대를 갖기 때문에 이 기능이 콤팩트한 지지대를 가지고 있다는 것은 시공상 명백하다.평활성의 증명은 비분석적 평활함수 기사에서 논의된 관련 함수와 동일한 선에 따른다.This function can be interpreted as the Gaussian function${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$ scaled to fit into the unit disc: the substitution ${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$ corresponds to sending ${\displaystyle x=\pm 1}$ to ${\displaystyle y}$${\displaystyle$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ (제곱형) 범프 함수의 간단한 예는 $위$의 범프 함수의 n ${\displaystyle n}$ 복사본의$$ 곱을 하나의 변수에 취함으로써 얻으므로

범프함수의 존재

범프 함수를 "규격대로" 구성할 수 있다.$공식적$으로 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) n ${\displaystyle n}$ 치수의$$ 임의 콤팩트 세트이고 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가$)$ $K{\displaystyle }$, ${\displaysty$K} 및$$ $0{\displaystyle }$ $\{\backslash$$displaystyty K}$에 $범프{\displaystyle \mathrm{}}$ 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\\\displaysty$ \$pi$$}$이(가$$ 있다.$\displaystyle 0}$을${\displaystyle (}$를$)$ U . {\$displaystyle$ U$.}$을$($를)$K$ , {\$displaystyle K}$의 매우 작은 동네로 가져갈$$ 수 있기 때문에$$$$, $이$는 K$${\$displaystyle K$}에$$1 {\$displaystytyle$ $1$$}$의 함수를 구성할 수 있고$$,${\displaystyle }$$0$${\disprough$.$K$의 드${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle K,}$은(는) 여전히 부드럽다$$.

공사는 다음과 같이 진행된다.One considers a compact neighborhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle K}$ contained in ${\displaystyle U,}$ so ${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ The characteristic function ${\displaystyle \chi _{V}}$ of ${\displaystyle V}$ will be equal$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1},$ ${\displaystyle V}$을(를) 제외하고 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ 0$}$이므로, $특히{\displaystyle }$ K ${\displaystyle$K}에서는 1 ${\\displaystyle$ $0}$이$($가)이($가$이(가)이(가) 되므로 이 기능은$$ 부드럽지 않다.$\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \chi _{V}$의 콘볼루션을 몰리프로 받아$$ ${\displaystyle {\chi }_{}}$ V${\$$displaystyle \chi _{V}$를 약간 매끄럽게 하는 것이 핵심 아이디어다.후자는 지지대가 매우 작은 범프 함수에 불과하며 그 적분은 1.${\displaystyle$ 1$.}$ 그러한$$ 몰링기는 예를 들어 이전 섹션에서 범프$$ 함수 ${\displaystyle \Phi}$를 취하여 적절한 스레싱을 수행함으로써 얻을 수 있다.

이제 수녀원을 포함하지 않는 대체 공사가 상세하게 설명되어 있다.어떤 부드러운 함수 c업무를:R→ R부정적 reals에 긍정적인 reals(그것에, c)0{\displaystyle c=0}(− ∞, 0){\displaystyle(,0-\infty)}과 c에 대해 긍정적이다 사라진다\to \mathbb{R}};(0, ∞)0일에{\displaystyle c>0},{\displaystyle{\displaystyle c:\mathbb{R}을 시작한다. (0,\$왼쪽$으로부터의 연속성이 ${\displaystyle \mathrm{c}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle c(0)=0}$을(를) 필요로 하는 경우$$$,$$$ 그러한 함수의 예는 $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ /${\displaystyle x^{}}$ ${\$$=e^{-1/x}$ > 0 ${\displaystyle$ x$>0}$ 및 $c$ ( ${\displaystyle x}$) : ${\displaystyle 0=}$ 0 ${\displaystyle c(x):$$=0}$ 그렇지$$ 않으면.^[1]$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$의 열린 부분 $집합{\displaystyle }$ $U {\$$displaystyle \cdot$\cdot $\}}$을${\displaystyle (}$를) 수정하여$$ 일반적인 유클리드 규범을 표시하십시오($$따라서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n}}}}}}}}}}}}}}}}은 일반적인 유클리드 메트릭이 제공됨$$).→ R^{n}\to \mathbb{R}{\displaystyle f:\mathbb{R}다음과 같은 구성}만약 U{U\displaystyle}상대적으로 이 함수 f{\displaystyle 수 있는 U.{미국\displaystyle}의 밖에 U{U\displaystyle}고 사라진다에[1]특정에서 긍정적인은 매끈매끈한 함수 f:Rn을 정의합니다.$f}$은(는) 범프 기능이 될 것이다$$.

$U{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}}$이(가) $있으면$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ f$:1},$ U${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle$ $U$$=\varnote}$이면 ${\displaystyle \mathrm{f}}$ :${\displaystyle }$0 ${\displaystystyf$$:0$이($으$)이$)$이(가 아닌$$ 것으로 가정한다.=1∞{\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty}}U{U\displaystyle}의 개방된 공 Uk{\displaystyle U_{km그리고 4.9초 만}} 반지름 rk의 개방되어 공에 열린 표지 0{\displaystyle r_{k}>0}과}는 k∈ U.{\displaystyle a_{k}\in 미국 초점을 맞출 그리고 지도(Ukm그리고 4.9초 만)k자. fkm그리고 4.9초 만${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle f_{k}(x):=c\left(r_{k}^{2}-\left\ x-a_{k}\right\ ^{2}\right)}$ is a smooth function that is positive on ${\displaystyle U_{k}}$ and vanishes off of ${\displaystyle U_{}}$${\displaystyle k_{}}$. ${\displaystyle U_{k}}}$ 모든 $k$에 ${\displaystyle 대해}$^[1], ${\displaystyle k\in \mathb {N},}$ 허용$$

이는 ${\displaystyle \stackrel{}{{부분파생상품}_{}}}$의 값이$$ 경계되는 동안$$ U ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$displaystyle U_$${\displaystyle \{}$$k$${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$을(를) 제외한$$어떤 $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $u_$${k}}$에서라도 우월감이 사라지기 때문에 실제 수치인 것이다.^{[note 1]}시리즈부드러운 함수 f에 Rn에 Converges 한결같이(^{n}}:Rn→ R{\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}}은 긍정적으로 U{U\displaystyle}과 사라진다 휴가의 U.{미국\displaystyle}[1]게다가에게나non-negative의 정수 p1,…,p n∈ Z,.${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{n}\in \mathb {Z},}$ 남기기 때문 k ≥ p1+⋯+pn{\displaystylek\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}그 후 k{k\displaystyle}그 장기의 절대 값 ≤ Mk2kMk=12k{\displaystyle \leq{\frac{M_{km그리고 4.9초 만}}{2^{k}M 어디 이 시리즈 또한 한결같이 Rn(^{n}에}(전진._${k}}={\frac{1}{2^{k}}}}.$

As a corollary, given two disjoint closed subsets ${\displaystyle A,B}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and smooth non-negative functions ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ such that for any ${\displaystyle x\in \mathbb$${R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$ if and only if ${\displaystyle x\in A,}$ and similarly, ${\displaystyle f_{B}(x)=0}$ if and only if ${\displaystyle x\in B,}$ then the function ${\displaystyle f:={\f$$rac {f_{A}}{f_{{{}$, if)())=1{\displaystyle f())=1}만일 x∈ B,{x\in B\displaystyle,}이고 0월<>이름())<>A,{\displaystyle x\in,}f∈}+f_{B}}}:\mathbb{R}^{n}\to[0,1]}과 어떤 x에 ∈ R,(^{n},}f())=0{\displaystyle f())=0}, 1이 매끄럽다.{\dIsplaystyle 0<, f())< 1}만일)특히 A∪ B.{\displaystyle x\not \in A\cup B}[1]∉, 정보를 알아내기())≠ 0{\displaystyle f())\neq 0}만일 x∈ Rn∖ A,{\displaystylex\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus A,} 그렇다면 외에 U:)Rn∖{\displaystyle U:=\mathbb{R}^{n}\smallset.없는}$$ is relatively compact in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (where ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ implies ${\displaystyle B\subseteq U}$) then ${\displaystyle f}$ will be a smooth bump function with support in ${\displaystyle {\overline {U}}.}$

속성 및 사용

범프 기능은 부드럽지만 동일하게 []^[2] 사라지지 않는 한 분석할 수 없다.이것은 정체성 정리의 간단한 결과물이다.범프 함수는 부드러운 컷오프 함수로서 몰링어로 자주 사용되며, 통일의 매끄러운 칸막이를 형성한다.그것들은 분석에 사용되는 시험함수의 가장 일반적인 등급이다.범프 기능의 공간은 많은 작업 하에서 폐쇄된다.예를 들어 두 범프 함수의 합, 제품 또는 콘볼루션은 다시 범프 함수가 되며, 범프 함수에 적용할 때 계수가 매끄러운 미분 연산자는 또 다른 범프 함수를 생성하게 된다.

범프 함수 도메인의 경계가${\displaystyle \mathrm{}}$sm ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial$ x$\}$인 경우, 모든 파생상품의 연속성을 보존해야 하며, 이로 인해 도메인 경계에 다음과 같은 요구사항이 발생한다.

범프함수의 푸리에 변환은 (실제) 분석함수로서 전체 복합면까지 확장될 수 있다. 따라서 전체 분석 범프함수만이 영함수이기 때문에 0이 아니면 콤팩트하게 지지될 수 없다(Paley–Wiener 정리 및 Louville 정리 참조).범프 기능은 무한히 다를 수 있기 때문에, 큰 각도 ${\displaystyle 주파수}$ k $displaystyle$k$}$에 대해 푸리에 변환은 $어떤{\displaystyle \mathrm{}}$ 유한 전력${\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}${\$displaystyle$1/$k}$보다 빠르게 붕괴되어야 한다$.$^[3] 특정 범프 기능의 푸리에 변환.

위에서부터 안장점법으로 분석할 수 있으며, 다음과 같이 점증적으로 해독한다.${\displaystyle large}$ k $displaystyle$k$}$용$.$^[4]

참고 항목

• 컷오프 함수
• 표시기의 라플라시안 – 매끄러운 기능의 시퀀스 제한
• 비분석적 매끄러운 함수 – 매끄럽지만 분석적이지 않은 수학적 함수
• 슈워츠 공간 – 파생 모델이 급격히 감소하는 모든 기능의 기능 공간

인용구

참조

• Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.{{cite book}}: CS1 maint: 날짜 및 연도(링크)