분포(수학)

분포는 슈워츠 분포 또는 일반화 함수로도 알려져 있으며 수학 분석에서 함수의 고전적 개념을 일반화하는 개체다. 분포는 고전적인 의미에서 파생상품이 존재하지 않는 기능을 구별할 수 있게 한다. 특히, 국소적으로 통합할 수 있는 모든 함수는 분포적 파생상품을 가지고 있다. 분포는 고전적 해법보다 분포적 해법의 존재를 확립하기 쉬울 수도 있고, 적절한 고전적 해법이 존재하지 않을 수도 있는 부분 미분방정식의 이론에 널리 사용된다. 분포는 많은 문제들이 자연적으로 Dirac 델타 함수와 같은 분포인 미분방정식으로 이어지는 물리학과 공학에서도 중요하다.

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 일반적으로 도메인에서 점 x를 $점{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle f(x$)로 "전송"함으로써 해당 영역의 점에 작용하는 것으로 간주된다$.$$}}$ 분포이론은 $포인트$에 작용하는 대신$$ f ${\displaystyle f}$ 등의 기능을 테스트 기능에 작용하는 것으로 일정한$$ 방식으로 재해석한다. 시험 함수는 보통 콤팩트한 지지대와 함께 무한히 상이한 복합값(또는 때로는 실제값) 함수다(bump 함수는 시험 함수의 예다). 많은 "표준 함수"(예: 미적분학 코스에서 일반적으로 접하는 함수를 의미)는 연속 $지도{\displaystyle }$f :${\displaystyle R\mathbb{}}$ → R${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$:\mathb {R} \to \mathb {R}$ \to \mathb {R$},}$을(으)는 시험 함수에 작용하는 것으로 표준적으로 재해석할 수 있다고$$ 말한다.ain) "시험 함수에 대한 통합"이라고 알려진 작업을 통해, 명시적으로, $이$는 f$${\$displaystyle f$}이(가) $\int {}_{}$ ${R\mathbb{}}_{}$ $f_{}$ $g$ $d$. .$${\$textstyle \int_{\mathb {R} }fg\,dx.}$ 번호에 g를 "전송"하여 시험 함수 g에 "$$작동"한다는 것을 의미한다.f{\displaystyle f}의 이 새로운 행동은 따라서 일종의 복잡한(또는 실질적인)-valued 지도, Df에 의해 표시된,{\displaystyle D_{f},}시험 기능의 도메인 공간은, 이 지도하는 것 R.{\displaystyle \mathbb{R}에 배포하는 것이 알려진 것으로 만든 추가적인 두 properties[노트 1] 됩니다.}Distribu.결함 이러한 방식으로 "표준 기능"에서 발생하는 것이 분포의 원형적 예다. 그러나 이런 식으로 발생하지 않는 분포가 많고 이러한 분포는 "일반화된 함수"라고 알려져 있다. 예를 들면 Dirac 델타 함수 또는 "측정에 대한 시험 함수의 통합"의 작용을 통해 발생하는 일부 분포를 들 수 있다. 그러나, 다양한 방법을 사용함으로써, 그럼에도 불구하고 그러한 통합의 작용을 통해 발생하는 관련 분포의 단순한 계열로 임의 분포를 줄일 수 있다.

물리학과 공학에 대한 응용에서, 시험 기능의 공간은 대개 일부 주어진 비어 있지 않은 열린 $부분집합{\displaystyle }$ U ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ . ${\displaystyle U\subseteq \mathb {R} ^{n}$에 정의된 콤팩트 서포트를 가진 부드러운 함수로 구성된다.$}$ This space of test functions is denoted by ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ or ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ and a distribution on U is by definition a linear functional on ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ that is continuous when ${\displaysty$$le C_{c}^{\inful }(U)}}$에는 표준 LF 위상이라는 위상이 주어진다$$. This leads to the space of (all) distributions on U, usually denoted by ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ (note the prime), which by definition is the space of all distributions on ${\displaystyle U}$ (that is, it is the continuous dual space of ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$); it is t이 기사의 주요 관심사인 헤즈 분포

시험 기능 및 분포 공간의 공식적 정의, 위상 및 그 속성은 매우 기술적이기 때문에 시험 기능 및 분포 공간에 대한 기사에서 이에 대한 완전한 설명을 제공한다. 그 기사는 주로 시험 기능 및 분포 공간과 관련된 반면, 이 기사는 주로 개별 시험 기능 및 분포에 관한 것이다.

역사

분포의 실용적 사용은 1830년대에 일반적인 미분 방정식을 해결하기 위해 그린 함수를 사용한 것으로 거슬러 올라갈 수 있지만 훨씬 후에야 공식화되었다. 콜모고로프&포민(1957년)에 따르면 일반화된 함수는 세르게이 소볼레프(1936년)가 2차 쌍곡선 부분 미분방정식에 관한 작업에서 비롯되었으며, 1940년대 후반에 로랑 슈워츠에 의해 다소 확장된 형태로 사상이 전개되었다. 그의 자서전에 따르면 슈워츠는 전하의 분포와 유사하게 "분배"라는 용어를 도입했는데, 아마도 포인트 충전뿐만 아니라 쌍중점 등을 포함했을 것이다. 구딩(1997)은 슈워츠(1951)의 변혁적 책에 나오는 아이디어가 완전히 새로운 것은 아니지만, 그 차이를 만든 것은 분석에서 거의 모든 곳에서 분포가 유용할 것이라는 슈워츠의 넓은 공격과 확신이었다고 평한다.

표기법

이 글 전체에 걸쳐 다음과 같은 표기법이 사용된다.

• ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$은(는) 고정된 양의 정수이고 $U{\displaystyle }${\$displaystyle U}$은(는) 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ R .${\displaystyle \mathb$ {R$} ^{n}$의 고정된 비어 있지 않은 열린 부분 집합이다.$}$
• ${\displaystyle \mathbb{N}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle \mathb{N} =\{0,1,2,\ldots \}}$은 자연수를 나타낸다.
• ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$은(는) 음이 아닌 정수 또는 ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \infit.}$을(를) 의미한다.
• If ${\displaystyle f}$ is a function then ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$ will denote its domain and the support of ${\displaystyle f,}$ denoted by ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ is defined to be the closure of the set ${\displayst$$Yle \{x\in \operatorname {Dom}(f):f($${\displaystyle x}$$)\neq 0\}}$의 ${\displaystyle \mathrm{Dom}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom}(f)$$}$
• $두{\displaystyle }$ 가지 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f${\displaystyle }$,${\displaystyle g}$ : ${\displaystyle U\mathbb{}}$ → C ${\$ 스타일 f,$g:$$U\to \mathb {C}$}, 다음 표기법은 표준 쌍을 정의한다.
  $${\displaystyle \langle f,g\angle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$

  
• ${\displaystyle }$ 크기 n ${\displaystyle n}$의 다중 인덱스는 $N$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}($n ${\displaystyn}이($) 고정되어 있다는$$ 점을 감안할 때 다중 지수의 크기를 생략하면 크기가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$인 것으로 가정해야 한다.)$$의 요소다. The length of a multi-index ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ is defined as ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ and denoted by ${\displaystyle \alpha .}$ Multi-indices are particularly useful w여러 변수의 함수를 다루는 hen은 특히 주어진 다중 지수 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N ${\$ {\lapa =(\alpha $_{1},\ldots$ ,\$alpha _{n}\in \mathb {N} ^{n}}}}$에 대해 다음과 같은 표기법을 도입한다$.$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{ \alpha }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$

  
  We also introduce a partial order of all multi-indices by ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ if and only if ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ for all ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ When ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ we define their multi-index binomial coeffici다음과 같이 수반한다.
  $${\displaystyle {\binom {\binom {\reason }:={\binom {\reason _{1}{1}}\cdots {\binom {\reason _{n}}}.}$$

  

시험 기능 및 분포의 정의

이 절에서는 U에 대한 실제 가치 분포를 정의하는 데 필요한 몇 가지 기본 개념과 변조가 소개된다. 시험 기능 및 분포 공간의 공식적 정의, 위상 및 그 속성은 매우 기술적이기 때문에 시험 기능 및 분포 공간에 대한 기사에서 이에 대한 완전한 설명을 제공한다. 이 글에서도 사용되는 이러한 공간의 공식적 정의와 관련된 내용은 이 항에 설명되어 있다.

모든 $j{\displaystyle }$, ${\displaystyle k\in \{0}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle \infty \}}$ ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots,\$in\$in$ \in \fully $\}$ 및 U의 모든 콤팩트 서브셋 K와 L에 대해 다음을 제공한다.

U에 대한 분포는 이 벡터 공간에 표준 LF-토폴로지라는 특정 위상이 부여된 경우$$ $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle C_{c}^{\infit }(U)}$에 대한 연속 선형 함수로 정의된다. 불행히도 이 위상은 정의하기가 쉽지 않지만 그럼에도 불구하고 표준 LF-토폴로지 언급이 없는 방식으로 분포를 특성화하는 것이 가능하다.

제안: T가 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}U}$) ${\displaystyle C_{c}^{\inflit }(U)}$에 선형 함수인 경우, T는 다음과 같은 동등한 조건이 충족되는 경우에만 분포가 된다$$.

1. For every compact subset ${\displaystyle K\subseteq U}$ there exist constants ${\displaystyle C>0}$ and ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ such that for all ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$^[1]
   $${\displaystyle T(f) \leq C\sup\{ \partial ^{\alpha }f(x) :x\in U, \alpha \leq N\};}$$

   
2. 모든 컴팩트 집합 K⊆ U 들어{\displaystyle K\subseteq U}이 상수 CK>0{\displaystyle C_{K}>. 0}일 경우와 NK∈ N{\displaystyle N_{K}\in \mathbb{N}} 이러한 모든 f에 ∈ C지원 K에 수록된 c∞(U){f\in C_{c\displaystyle}(U)},{\displaystyle K,}는 경우 2존재한다.]
   $${\displaystyle T(f) \leq C_{K}\sup\{\partial ^{\\nalpha }f(x) :x\in K, \alpha \leq N_{K}\};};}$$

   
3. For any compact subset ${\displaystyle K\subseteq U}$ and any sequence ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ if ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ converges uniformly to zero 모든 다중 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\},$${\displaystyle }T{\displaystyle }$($f{\displaystyle }$ i ) → 0. {\$displaystyle T(f_{i})\to.}$에 대한 K ${\displaystystyle K}$ on.

위의 특성화는 선형 기능이 분포인지 아닌지를 판별하는 데 사용할 수 있지만, $위상$이 C ${\displaystyle c_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}U}$){\$displaystyle C_{$c}^{\$inflt$${\displaystyle \}(U}$) 및 D ($U$${\displaystyle }$)에$$ 위치하지 않으면 분포와 시험 함수(예: 미분방정식에 대한 애플리케이션)의 보다 고급 사용이 제한된다$.$$ystyle {\mathcal{D}(U).$$}$

C^k(U)의 위상

이제 우리는 ${\displaystyle {Ck}^{}}$(${\displaystyle U}$)의 위상을 정의할 세미놈들을 소개한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$다른$$ 작가들은 때때로 세미놈들의 다른 패밀리를 사용하기 때문에 우리는 아래에 가장 흔한 패밀리를 나열한다. 그러나 어떤 패밀리를 사용하든 결과 위상은 동일하다.

위의 각 함수는 음이 아닌 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 값$$^{[note 3]} ${\displaystyle {Ck}^{}}$(${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ C$^{k}(U$)이다$.$$}$

다음 세미놈의 각 패밀리는 ${\displaystyle {Ck}^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle$ C$^{k}(U)}$에 동일한 로컬 볼록 벡터 위상을 생성한다$.$

$이{\displaystyle {}^{}}$ 위상과 함께 C ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle C^{k}(U)}$이(가) 로컬 볼록(비정규 분포) 프레셰트 공간이 되고$$ 위에서 정의한 모든 세미노름들이 이 공간에 연속적으로 존재하게 된다. 위에서 정의한 모든 세미놈은 ${\displaystyle {Ck}^{}}$(${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ C$^{k}(U$)의 연속함수다$.$}이 토폴로지에 따라, 나는 ∈ 그물(fi)나는}Ckm그리고 4.9초 만(U){\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만}(U)}에{\displaystyle(f_{나는})_{나는 i\in}에 f ∈ Ck({\displaystylef\in C^{km그리고 4.9초 만}(U)}p과 매주multi-index p{p\displaystyle}에 만일<>k+1{\displaystyle<>k+1}과 모든 C. 전진ompact K, 부분 파생 상품의 난{\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{나는}\right)_{i\in 나는}∈ 인터넷(∂ pfi)}{\displaystyle K,}한결같이 K.{K.\displaystyle}[3]에 대한 k∈{0,1,2,…, ∞} 들어,{\displaystylek\in\와 같이{0,1,2,\ldots ,\inf pf{\displaystyle\partial ^{p}f}∂에 전진.$ty \}}$$C$ ${\displaystyle k^{}}$+ ${\displaystyle 1}$( U ) {\$displaystyle C^{k+1}(U)}$의 임의(von Neumann) 경계 부분 집합은 C ${\displaystyle k^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty C^{k}(U$)의 비교적 소형 부분 집합이다$.$만일 C에 나는}모든 나는 N.{\displaystylei\in \mathbb{N}∈에{\displaystyle C^{나는}(U)(U)을 다스릴 수 있는[4]공간은 Ck({\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만}(U)}은 Montel 공간 만일 k=∞.{\dis 특히}[4], C∞({\displaystyle C^{\infty}(U)}의 하위 집합입니다.}경계를 이루고 있다.playst$yle k=\ft.}$

A subset ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ is open in this topology if and only if there exists ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle W}$ is open when ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ is endowed with the subspace topology induced on it by $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ C$^{i}(U).$$}$

C^k(K)의 위상

As before, fix ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ Recall that if ${\displaystyle K}$ is any compact subset of ${\displaystyle U}$ then ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$$}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이(${\displaystyle 가}$) 유한한 경우 C $k{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{K}^{}}$) ${\displaystyle$ C$^{k}(K)}$는 표준으로 정의할 수 있는 위상이 있는 Banach 공간이다^[6].

그리고 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle k=2,}$일 때 C k ( ${\displaystyle K^{}}$ )$displaystyle C^{k}(K)}$는 힐버트 공간이기도 하다.^[6]

사소한^k 확장 및 C(K) 토폴로지의 U로부터의 독립성

The definition of ${\displaystyle C^{k}(K)}$ depends on U so we will let ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ denote the topological space ${\displaystyle C^{k}(K),}$ which by definition is a topological subspace of ${\displaystyle C^{k}(U).$$}$ Suppose ${\displaystyle V}$ is an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ containing ${\displaystyle U.}$ Given ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ its trivial extension to V is by definition, the function ${\displaystyle F:$다음에$의해 정의$된 V$\to$ \mathb {$C} }:$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle F\in C^{k}(V).$$}$ Let$$ $I{\displaystyle }$: C ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k{}_{}^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k^{}}$( V${\displaystyle }$) ${\displaystyle I:$$C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$은(는) $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ $){\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$의 함수를 V의 사소한 확장으로 보내는$$ 지도를 나타낸다$$. 이 지도는 선형 주입이며, 모든 콤팩트 $서브셋{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$,${\displaystyle }$U ,$${\$displaystyle$ K$\subseteq$ U$,}$에 대해 I${\displaystyle (C{}^{}}$ ${\displaystyle k^{};}$ ${\displaystyle U}$) = ${\displaystyle {}^{}}$k (${\displaystyle {}^{}{K}^{};}$ ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$, ${\displaysty$ I$\left(C^{k})(K;U)\right$)가 있다$.$$=C^{k}(K;V),}$ where ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ is the vector subspace of ${\displaystyle C^{k}(V)}$ consisting of maps with support contained in ${\displaystyle K}$ (since ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V,}$${\displaystyle K}$ is also a compact subset of ${\displaystyle V}$$(\displaystyle V}$ $$) $I{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$C ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle )}$ C ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle V}$) .${\displaystyle I\좌측$(C_${c}^{k}(U)\우측)\subseteq C_{c}^{k}(V$)를 따른다$.$$}$ 만약 내가 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle K;U}$ ) ${\displaystyle$ C$^{k}(K;U)}$로 제한된다면$$, 다음과$$ 같은 유도 선형 지도는 동형상 (따라서 TVS-이형상)이다. 따라서 다음 지도(이전 지도가 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mapsto }$ I ${\displaystyle (f}$) ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$에 의해 정의된 것과 마찬가지로$)$는 위상학적 내장이다. Using ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)\ni f\mapsto I(f)\in C_{c}^{k}(V)}$ we identify ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ with its image in ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).$$}$ Because ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ through this identification, ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ can also be considered as a subset of ${\displaystyle C^{k}(V).$$}$ 따라서$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle$ C$^{k}(K;U)}$의 위상은 K를 포함하는$$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 열린 부분 집합 U와 독립적이다$$.^[7] $이$는 ${\displaystyle {Ck}^{}K;}$ ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$대신 $Ck$${\displaystyle {}^{}{K}^{}}$ )${\$$displaystyle$ $C$$^{$$k}(K)}}($$K;U)$라고 쓴 관행을 정당화한다$.$$}$

표준 LF 위상

Recall that ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ denote all those functions in ${\displaystyle C^{k}(U)}$ that have compact support in ${\displaystyle U,}$ where note that ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ is the union of all ${\displaystyle C^{k}(K)}$ as ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$은(는) $.$ {\$displaystyle U.}$의 모든 콤팩트 하위 집합에 걸쳐 있으며, 더욱이$$ 모든${\displaystyle {}_{}^{}}$에 대해, ${\displaystyle C{}_{}^{}U)}$ ${\$$displaystyle$ k$,\,C_{c}^{$$k}(U$$)}$은(${\displaystyle U}$의${\displaystyle {밀도}^{}}$ 하위 집합이다$.$$}$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle k=\infit }$의 특수한 경우는 우리에게$$ 시험 기능의 공간을 준다$$.

표준 LF-토폴로지는 메트리징할 수 없으며, $중요$한 것은 C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( U${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$$C^{\$infit$$}}}}}$이(${\displaystyle {가}_{}^{}}$) C ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$($U)$에 유도하는$$ 아공간 위상보다 엄격히 미세하다는 점이다$.$$}}$ 그러나$$ 정론적 $LF-토폴로지$로는 ${\displaystyle C_{\mathrm{}}^{}}$c${\displaystyle {}_{}^{}u}$ ${\displaystyle (}$U$$){\$displaystyle C_${c$}^{\nfty }}}$을 완전한 반사성^[8] 핵 몽텔^[9] 출생 바레로 만든 맥키 공간으로 만든다$$. 강한 이중 공간(즉, 통상적인 위상이 있는 모든 분포의 공간)도 마찬가지다. 표준 LF-토폴로지는 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

분포

앞에서 논의한 바와 같이, C ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $){\displaystyle C_${c$}^{\inflit }(U)}$의 연속 선형 함수는 $U{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ U$.}$에 대한 분포로 알려져$$ 있다. 그 밖의$$ 동등한 정의는 아래에 설명되어 있다.

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 분포 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$과(와) 테스트 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C_{}^{}U}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f\in C_{c}^{\inflty$}($U)$ 사이에 표준 이중성이 쌍으로 구성되며$$, 이 쌍은 다음과 같이 각 괄호를 사용하여 표시된다.

$이{\displaystyle }$ 표기법을 스칼라를 주기 위해$$ 시험 함수$f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$에 작용하는$$ $분포{\displaystyle }$ T {\$displaystyle T}$ 또는 분포 T . ${\displaystyle T}$에 작용하는$$ 테스트 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$${\displaystyle f}$와 대칭적으로 해석한다.

분포 공간의 위상 및 취약한* 위상과의 관계

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U$${\displaystyle \}}$의 모든 분포 집합은 C ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( U )${\displaystyle }$, ${\displaystyle C_{c}^{\infit }(U)$의 연속 이중 공간이며, 강력한 이중 위상이 부여된 경우 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {D}($U)로 표시된다$.$$}}$ 중요한$$ 것은 달리 명시되지 않는 한, $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$′ $){\displaystyle {\mathcal{D}'(U)}$의 위상은 강력한 이중 위상이다. 위상이 대신 약* 위상이라면 이는 분명히 표시된다. 비록 약한* 위상과 달리 강력한 이중 위상은 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($){\displaystyle {\mathcal {D}'(U)}$을(를) 완전한 핵 공간으로 만들어$$ 바람직한 특성 중 몇 가지를 언급한다.

Neither ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ nor its strong dual ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ is a sequential space and so neither of their topologies can be fully described by sequences (in other words, defining only what sequences converge in these spaces is not enough to fully/correctly defin위상(topology)을 참조하십시오. 단, $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(U)}$의 시퀀스는 약한* 위상에 수렴되는 경우에만 강한 이중 토폴로지에서$$ 수렴된다(이는 많은 저자가 포인트와이즈의 수렴을 사용하여 실제로 분포 시퀀스의 수렴을 정의하도록 유도한다. 이는 시퀀스에 대해 미세하지만 보장되지는 않는다. 그물은 점으로 수렴할 수 있지만 강한 이중 위상에서는 수렴하지 못할 수 있기 때문에 분포의 그물 수렴까지 확장된다. $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(U)}$이(가) 부여한$$ 위상에 대한 자세한 내용은 테스트 기능 및 분포 공간에 대한 기사와 극지 위상 및 이중 시스템에 대한 기사에서 확인할 수 있다.

$D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(U)}$에서 다른 국부적으로 볼록한 위상 벡터 공간(규범된 공간 등)으로 가는$$ 선형 지도는 출발지에서 순차적으로 연속되는 경우에만 연속된다. 그러나, 지도가 선형적이지 않거나 더 일반적인 위상학적 공간(예: 국소적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간도 아닌 지도)에서 평가되는 지도에 대해서는 더 이상 보장되지 않는다. $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle C_{c}^{\inflt }(U)}}$의 지도에서도 마찬가지다($$$더$ 일반적으로는 어떤 국지적으로 볼록한 출생 공간의 지도에서도 마찬가지다).

분포 특성화

제안. ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle T}$이(${\displaystyle 가}$) $C{\displaystyle {}_{}^{}}$U${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{c}^{\inflty }(U)}$에서 선형 함수인 경우, 다음은$$ 동일하다.

1. T는 분포다.
2. T는 연속적이다;
3. T는 출발지에서 연속이다.
4. T는 균일하게 연속된다.
5. T는 경계 연산자;
6. T는 순차적으로 연속된다.
   • explicitly, for every sequence ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ that converges in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ to some ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ $\underset{}{lim}$${\textstyle \lim _{i\to \inft$
7. T는 출발지에서 순차적으로 연속된다. 즉, T는 null 시퀀스를^{[note 5]} null 시퀀스에 매핑한다.
   • explicitly, for every sequence ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ that converges in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ to the origin (such a sequence is called a null sequence), $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}T(f_i$${\textstyle \lim _{i\to \inforty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • null 시퀀스는 정의에 따라 원점으로 수렴되는 시퀀스를 의미한다.
8. T는 Null 시퀀스를 경계 하위 집합에 매핑한다.
   • explicitly, for every sequence ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ that converges in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ to the origin, the sequence ${\displaystyle \l$$eft(T\left(f_{i}\right$)\right)$_{i=1$}^{\$nft }$이(가) 경계됨;
9. Mackey convergent null 시퀀스를 경계 서브셋에 매핑.
   • explicitly, for every Mackey convergent null sequence ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ the sequence ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ is bounded;
   • a sequence ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is said to be Mackey convergent to 0 if there exists a divergent sequence ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ of positive real number such t시퀀스$({\displaystyle {r{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$) i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$)_{$i=1$}^{\$ft}}}}}}}$은(일반적인 의미에서는)에 따라 맥키가 수렴되는 모든 시퀀스는 반드시 원점으로 수렴된다.
10. T의 커널은 C ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}U);}$ ${\displaystyle C_{c}^{\inflit }(U);}$의 닫힌 하위 공간이다.
11. T의 그래프는 닫혀 있다.
12. $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}U}$) ${\displaystyle C_{c}^{\infit }(U)}$에 연속적으로 세미노름 g이 존재하여 ${\displaystyle T}$≤ ${\displaystyle g;}$ ${\displaystyle$T$\leq g;}$
13. 에는 일정한 C>;0, 연속 seminorms, P,{\displaystyle{{P\mathcal}},}의 Cc∞(U),{\displaystyle C_{c}(U),}의 정식 LF 위상 기하학 그리고 P{\displaystyle\와 같이{g_{1},\ldots ⊆는 유한한 부분 집합{g1,…, g m}, 정의하는 컬렉션{\displaystyle C>0,}존재한다.g_{m}\$}\subseteq {\mathcal {P}:$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle C({g\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{});}$ ${\displaystyle$T$\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. For every compact subset ${\displaystyle K\subseteq U}$ there exist constants ${\displaystyle C>0}$ and ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ such that for all ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$^[1]
    $${\displaystyle T(f) \leq C\sup\{ \partial ^{\alpha }f(x) :x\in U, \alpha \leq N\};}$$

    
15. 모든 컴팩트 집합 K⊆ U 들어{\displaystyle K\subseteq U}이 상수 CK>0{\displaystyle C_{K}>. 0}일 경우와 NK∈ N{\displaystyle N_{K}\in \mathbb{N}} 이러한 모든 f에 ∈ C지원 K에 수록된 c∞(U){f\in C_{c\displaystyle}(U)},{\displaystyle K,}는 경우 2존재한다.]
    $${\displaystyle T(f) \leq C_{K}\sup\{\partial ^{\\nalpha }f(x) :x\in K, \alpha \leq N_{K}\};};}$$

    
16. For any compact subset ${\displaystyle K\subseteq U}$ and any sequence ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ if ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ converges uniformly to zero for 모든 다중 지수 p, 다음 $T{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to$ 0$;}$

분포의 국산화

U의 특정 지점에$$ $있는{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ D${\displaystyle {}^{}\{}$(${\displaystyle U}$ $){\displaystyle${\$mathcal{D}'(U)}$의 분포 값을 정의할 수는 없지만, 함수의 경우와 마찬가지로 U에 대한 분포는 U의 오픈 서브셋에 대한 분포를 제한한다. 나아가, 분포는 U의 모든 부분에 대한 분포를 로컬로 결정한다는 의미에서 결정된다. 중복되는 U의 일부 호환성 조건을 만족하는 U의 오픈 커버의 배포에서 조립할 수 있다. 이런 구조물을 칼집이라고 한다.

열린 하위 집합에 대한 확장 및 제한

${\displaystyle {}^{}}$와 V를 $V{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle U}$ ${\$$displaystyle \mathb {R} ^{n}$의 열린 하위 집합으로 하고 V ⊆ U {\$displaystyle V\subseteq$ U$\}.$ $Let{\displaystyle {}_{}}$ E ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle U\mathcal{}{}_{}}$: D${\displaystyle (V}$) → $){\displaystystystyle E_{{}$$VU:{\mathcal {D}(V)\to {\mathcal {D}(U)}$은(는) V에서 압축적으로 지원되는 주어진 부드러운 함수를 큰 집합 U에서 압축적으로 지원되는 부드러운 함수로 0으로 확장하는 연산자다$$. E $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$$VU}}$은 제한 매핑이라고 하며, $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ U${\displaystyle }$:= ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ E ${\displaystyle V_{}{U}_{}}$ : ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}(}$ (${\displaystyle U}$) → ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}(}$ (${\displaystyle V}$ ) .$${\$displaystyle \rho _{$VU$}={}^{t}E_{}{}}$로 표시된다.$VU:{\mathcal {D}'(U)\to {\mathcal {D}'(V).$$}$

지도 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$: ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle D}$( U${\displaystyle }$) ${\displaystyle E_{$$VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ is a continuous injection where if ${\displaystyle V\subseteq U}$ then it is not a topological embedding and its range is not dense in ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U),}$ which implies that this map's transpose is neither injective nor surjective.^[10] 분포 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}'(V)}$이(가) $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ U ${\$의 전치 범위에 속하면 U까지 확장 가능하다고 한다$$.$VU}}$과(${\displaystyle {}^{}}$) R${\displaystyle {}^{}}$n$$. {\$displaystyle \mathb$ {$R}$^{$n}$까지 확장할 수 있으면 확장 가능이라고 한다.$}$^[10]

For any distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ the restriction ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ is a distribution in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ defined by:

$U{\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle U=V}$이(가) 아닌 한, V에 대한 제한은 주입적이거나 허탈적이지 않다. V의 경계를 향해 분포가 폭발할 수 있기 때문에 기대성의 결여가 뒤따른다. 예를 들어 ${\displaystyle U\mathbb{}}$= R ${\$ U$=\mathb {R} }$ $및{\displaystyle }$ V$$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2),}$ ${\displaystyle$ V$=(0,2$)}인 경우$$ 분포

$D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(V)}$에 있지만 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal {D}'(U$)에 대한 확장은 허용하지 않는다$.$$}$

집합에서 사라지는 접착 및 분포

Let V be an open subset of U. ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ is said to vanish in V if for all ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ such that ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ we have ${\displaystyle Tf=0.}$ T vanishes in V if and 제한 지도 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle U_{}}$.$${\$displaystyle \rho _{$VU$}$의 커널에 T의 제한이 0과 같거나 동등하게 있는 경우에만 해당된다.$}$

분포 지원

이 마지막 골격은 U의 모든 분포 T에 대해 T가 V에 소멸(그리고 V에 포함되지 않은 U의 어떤 열린 서브셋에서도 사라지지 않음)하는 U의 고유한 가장 큰 서브셋 V가 존재한다는 것을 암시한다; 이 가장 큰 오픈 서브셋의 U의 보완을 T의 지원이라고 한다.^[11] 그러므로

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) U에서 로컬로 통합 가능한 ${\displaystyle {함수}_{}}$이고 D$$f {\$displaystyle D_{$f}이 연관된$$ 분포인 경우, $D{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle D_{$f}의 지원은 보완에서 U의 가장 작은 닫힌 부분 집합이며$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystysty$ f$}$은 거의 모든 곳이 0과$$ 같다.^[11] $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 연속적인$$ 경우, $D{\displaystyle }$ f ${\$의 지원은 f ${\displaystyle f}$이(가) 사라지지 않는$$ U에서 점 집합을 닫는 것과 같다$$.^[11] 지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 Dirac 측정과 관련된 분포의 지원은${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 세트 입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.$$}$ 시험 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 지원이 분포 T의 지지대와 교차하지$$ 않는 $경우$^[11] T ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ 분포$$ T는 지지대가 비어 있는 경우에만 0이다. If ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ is identically 1 on some open set containing the support of a distribution T then ${\displaystyle fT=T.}$ If the support of a distribution T is compact then it has finite order and furthermore, there is a constant ${\displaystyle C}$ and a non-negative integer ${\displaystyle N}$ 다음과$$같은 N {\$displaystyle$ N$}:$^[7]

T가 콤팩트한 지원을 받는 경우, $C{\displaystyle {}^{}}$^ ($){\displaystyle C^{\infit }(U)}$의 연속 선형 기능 $T{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 고유한 확장성을 가지며$,$ 이 기능은 $T{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle }$f ) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle \mathrm{\psi f}}$)${\displaystyle }$, ${\widehat {T(f$)로 정의할 수 있다$.$$=T(\psi f)}$ 여기서$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D(U}$) ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}(U)}$은(는) T의 지원을 포함하는 오픈 세트에서 동일한 1의 함수다$$.^[7]

If ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ and ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ then ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ and ${\displaystyle \$$operatorname {supply}(\lambda T)=\operatorname {supply}(T).$$}$ 따라서$$ 주어진 서브셋 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$에서 지원을 받는 분포는 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\d}(U)$의 벡터 하위 공간을 형성한다$.$}[12]게다가, U의 U의 모든 분포 T를 위해 P{P\displaystyle}은 미분 연산자, 우리의 f∈ C∞(U){\displaystylef\in C^{\infty}(U)}우리는 ⁡ supp다(P(x, ∂)T=⊆ supp ⁡(T){\displaystyle \operatorname{supp}(P(x,\partial)T)\subseteq\operatorname{supp}(T)}과 supp ⁡(.fT${\displaystyle \operatorname {supply}(fT)\subseteq \operatorname {supply}(f)\cap \operatorname {supply}(T).$$}$^[12]

콤팩트한 지지력을 가진 분포

점 집합의 지원 및 Dirac 측정값

For any ${\displaystyle x\in U,}$ let ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ denote the distribution induced by the Dirac measure at ${\displaystyle x.}$ For any ${\displaystyle x_{0}\in U}$ and distribution ${\displaystyle T\in {\mathc$알{D}}'(U),}T의 지원{x0}{\displaystyle\와 같이{x_{0}\에}에 함유되어 있는}고만 영국의 이론 물리학자 조치의 파생 상품의 x0에 만약 T가 유한한 선형 조합입니다.{\displaystyle x_{0}.}[13]만약 외에 T의 질서는≤ k{\leq k\displaystyle}이 상수α p{\displaystyle \al 존재한다.$pha _{p}}$ 그러한$$ 경우:^[14]

다르게 말하면, T가 단일 지점${\displaystyle }${ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \}}$, ${\displaystyle \{P\}}$에서 지원을 받는다면 T는$$ 사실 P에서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta}$ 함수의$$ 분포 파생 모델의 유한 선형 결합이다. 즉, 다음과 같은$$ 정수 m과 복합 상수(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$가 존재한다.

여기서 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$는 번역$$ 연산자다.

콤팩트한 서포트를 사용한 분배

열린 부분 집합에서 지지대를 갖는 유한한 순서의 분포

전지구적 분포 구조

분포의 공식적 정의는 $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ($){\displaystyle {\mathcal{D}}}($$또는$ 슈워츠 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ S${\displaystyle }$($){\displaystyle {\mathcal {S}(\mathb {R} ^{n})})$의 위상학적 이중인 매우 큰 공간의 부공간으로 표시된다. 어떤 분포가 얼마나 이국적일 수 있는지는 정의에서 바로 알 수 없다. 이 질문에 답하려면 더 작은 공간, 즉 연속함수의 공간으로부터 축적된 분포를 보는 것이 유익하다. 대략, 모든 분포는 국소적으로 연속함수의 (복수) 파생상품이다. 아래에 제시된 이 결과의 정확한 버전은 소형 지지대, 강화 분포 및 일반 분포의 분포를 유지한다. 일반적으로 분포 공간의 적절한 부분집합은 모든 연속적 기능을 포함하지 않으며 분화 하에서 닫힌다. 이것은 분포가 특별히 이국적인 것은 아니며, 필요한 만큼만 복잡하다고 말한다.

피복으로서의 분포

연속함수의 파생상품 합으로 분포의 분해

위의 결과를 조합하면, U에 대한 모든 분포를 콤팩트한 지원으로 일련의 분포의 합으로 표현할 수 있으며, 여기서 이러한 분포 각각은 U에 대한 연속 함수의 분포 파생상품의 유한 합으로 작성할 수 있다. 즉 $임의{\displaystyle }$ T ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ D${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle U}$) ${\displaystyle T\in {\mathcal$}의 경우.${D}'(U)}$ 쓸$$ 수 있음:

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{P\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$… ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$은(는) 유한 집합이며$$, ${\displaystyle {함수}_{}}$ f ${\displaystyle i_{}}$p{\$displaystyle f_{$ip}는 연속적이다$$.

위의 무한 합은 분포로서 잘 정의되어 있다는 점에 유의한다. 주어진 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}(U)}$에 대한 T 값은 $f{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $g_{\alpha }}$의 지원을 교차하는$$ 정밀하게 많은 ${\$ $g_${\lpha}를 사용하여 계산할 수 있다$$$.$$}$

분포 연산

소형 지지대와 함께 부드러운 기능에 대해 정의되는 많은 작업도 분배를 위해 정의될 수 있다. In general, if ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ is a linear map which is continuous with respect to the weak topology, then it is possible to extend A to a map ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ by passing to the limit.^{[note 7][citation needed][clarification needed]}

예선: 선형 연산자의 전치

분포와 분포 공간에 대한 연산은 분포 이론의 많은 정의와 잘 알려진 많은 위상학적 특성 때문에 선형 연산자의 전치(transpose)를 통해 정의되는 경우가 많다.^[17] ${\displaystyle {}^{}}$으로 연속 선형 $지도{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle A:X\to Y}$의 전치는 선형$$ 지도 ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$→ X ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$Y'\to X'}$ defined by ${\displaystyle {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$ or equivalently, it is the unique map satisfying ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ for all ${\displaystyle x\in X}$ and all ${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ . ${\displaystyle$ y$'\in Y'.}$ A가 연속적이므로$$ t ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$Y'\to X'}$은(는) 두 듀얼 토폴로지를 각각 강점으로 부여한 경우에도 지속적이며$$, 두 듀얼에 각각 약한* 토폴로지를 부여한 경우에도 지속된다(자세한 내용은 극지 위상 및 듀얼 시스템 기사 참조).

분포의 맥락에서, 전치물의 특성화는 약간 다듬어질 수 있다. ${\displaystyle 렛}$A${\displaystyle }$: ${\displaystyle D\mathcal{}}$(${\displaystyle }$U ) → ${\displaystyle D}$( $){\displaystyle A:{\mathcal{D}(U)\to {\mathcal{D}}(U)}}$을(를) 연속 선형 지도로 한다$$. 그 후 정의상 A의 전치(transpose)는 고유한 선형 $연산자{\displaystyle {}^{}}$ A${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle \prime (U}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle \prime (U}$) ${\displaystyle$ A$^{t}:{\mathcal {D}(U)\to {\mathcal{D}($U)}\to$$ {\mathcal {D}($U)}).$

However, since the image of ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ is dense in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U),}$ it is sufficient that the above equality hold for all distributions of the form ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ where ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D$$}}}}(U).$ 명시적으로$$ 이는 아래 조건이 유지되는 경우에만 위의 조건이 유지됨을 의미한다.

미분 연산자

분포의 분화

Let ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ be the partial derivative operator ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ In order to extend ${\displaystyle A}$ we compute its transpose:

따라서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$ 따라서$$ 좌표 x ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 $대한$ T$${\$displaystytle$ T$}$의 부분파생물은 공식으로 정의된다$$.

이 정의로 모든 분포는 무한히 다를 수 있으며, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 방향의 파생상품은$$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\d}(U$)의 선형 연산자다$.$$}$

보다 일반적으로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$이(가) 임의의 다중 지수인$$ 경우, $분포{\displaystyle }$ T${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$${\displaystyle \backslash }$$partial ^{\$partial ^{\$alpha }T}$ 분포 T $\{\displaystystystyle T\in {D}(U)$에 의해 정의된다$$.

분포의 분화는 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U);}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}'(U);}$이(가)는 대부분의 다른 분화 개념에서 공유되지 않는 중요하고 바람직한 속성이다.

T가 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 분포인 경우$$

여기서 $′{\$는 T의 파생상품이고, ${\displaystyle x_{}}$ x ${\$는 x에 의한 번역이므로$$ T의 파생상품은 인수의 한도로 볼 수 있다.^[18]

부드러운 기능에 작용하는 차동 연산자

A linear differential operator in U with smooth coefficients acts on the space of smooth functions on ${\displaystyle U.}$ Given such an operator ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ we would like to define a continuous linear map, ${\displaystyle D_{P}}$ that $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle$ C$^{\inflt }($U$$$)}$에$$있는 P {\$displaystyle$P}의 $동작$을 U$.$ {\$displaystyle U}$에 대한 분포로$$ 확장. 즉$$, $다음$과 같은 다이어그램이$$ 통용되도록 ${\displaystyle D_{}}$ P ${\$를 정의하고자 한다.

여기서 수직 지도는 ${\displaystyle {}^{}}$과 같이 정의되는$$ 표준 $분포{\displaystyle {}_{}}$ D ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ D${\displaystyle {}^{}}$′${\displaystyle }$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle )\{\backslash }$$displaystyle f\in C^{\$in\$inflt },$${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}(U)}$을($으$에 할당하여 주어진다. 이 표기법으로 다이어그램 통근은 다음과 같다.

In order to find ${\displaystyle D_{P},}$ the transpose ${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ of the continuous induced map ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ defined by ${\dis$$플레이$ 스타일 \$phi \mapsto P(\phi )}$은(는) 아래 보조정리 항목에서 고려된다$$. 이는 P${\displaystyle }$, ${\displaystyle$P}의 공식 전치라고 불리는$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$의 차등 연산자를 다음과 같이 정의하게 되며, 전치$$ 지도와의 혼동을 피하기 $위해$ P ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$로 표시된다.

그 Limma다는 사실을 공식적인 바꿔 놓다의 형식적인 바꿔 놓다가 원래의 미분 연산자, 즉 P∗ ∗)P,{\displaystyle P_{ 열리는**}=P,}[19] 정확한 정의에 도착하기:형식을 바꿔 놓다는(연속)정준 선형 연산자 P∗:Cc를 유도 ∞ 우리는 할 수 있다(U)→ Cc∞과 결합한 결과입니다. (${\displaystyle P_{*:$${\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle c}$ P { ($fty$${\displaystyle }$)에 의해 정의된$$ $C_${c$}^{{c}^{\\inflit$ }$$${\displaystyle \mapsto P_{*}(\pi).$$}$ We claim that the transpose of this map, ${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ can be taken as ${\displaystyle D_{P}.}$ To see this, for every ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ compute its action on a $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}U}$)$${\$displaystyle f\in C^{\$in{\$in}(U)}$이(가) 있는 $D{\displaystyle {}_{}}$ f ${\$ 형식 분포$:$

연속 선형 연산자 ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$: ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( U )${\displaystyle D_{P}:$$={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}(U)\to {\mathcal {D}(U$)}분포 연장 P에 대한 차등 연산자$.$^[19] 임의 배포 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 작업은 다음을 통해 정의된다$$.

If ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ then for every multi-index ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\d$$isplaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}'(U).$$}$

매끄러운 함수에 의한 분포의 곱하기

순서 0의 미분 연산자는 매끄러운 함수에 의한 곱셈일 뿐이다. 그리고 반대로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 부드러운 함수라면 P ${\displaystyle :=f(x}$ )${\displaystyle$ P$:=f(x)}$는 $순서{\displaystyle }$ 0의 차등 연산자로, 형식$$ 전치 자체가 된다($예{\displaystyle {}_{}}$: P ${\displaystyle {\ast }_{}}$= ${\displaystyle P}$ ${\displaysty P_{*}=P$}).$$ 유도 차동 $연산자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$: ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}(U)\to${\$mathcal$ {$D}(U)}}}}$은 $분배{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$를${\displaystyle }$F := D ${\displaystyle P_{}T)}$로 표시된 분포에 매핑한다$$${\displaystyle .}$ ${\displaysty fT:$$=D_{P}(T).$$}$ 따라서 우리는$$ 원활한 함수에 의한 분포의 곱셈을 정의했다.

우리는 이제 매끄러운 함수에 의한 곱셈의 대안적인 발표를 한다. ${\displaystyle m\mathbb{}}$: U${\displaystyle }$→ R ${\$$U\to \mathb {R}}$은(는) 매끄러운 함수, T는 U에 대한 분포로, 제품 ${\displaystyle m}$ {\$displaystyle mT}$은(는$)$ 다음에 의해 정의된다$$.

This definition coincides with the transpose definition since if ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ is the operator of multiplication by the function m (i.e., ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$), then

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

부드러운 기능에 의한 곱셈에서 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(U)}($${\displaystyle U}$)은 링 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( U${\displaystyle }$)$$. {\$displaystyle$C^{\$infty }(U$) 위에 있는 모듈이다$.$$}$ 원활한 함수에 의한 곱셈의 이 정의로$$ 미적분학의 일반적인 곱셈 규칙은 유효하다. 그러나 특이한 정체성도 다수 발생한다. 예를 들어 $\Delta {\displaystyle {}^{}}$ Δ${\$ $\$$delta$ $'}$이(가) $R$ , ${\$$displaystyle$ $\mathb {R} ,}$에 대한 Dirac 델타 분포인 $경우$, $m$ = m${\displaystyle (0}$ )${\displaystyle \Delta }$ =$m\delta =m($0)\$delta$ $,},$가${\displaystyle {{}^{}}^{}}$델타 분포의 파생인 경우$$

The bilinear multiplication map ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ given by ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$ is not continuous; it is however, h이포콘티누스의^[20]

예. 모든 분포 T의 경우 U에 동일한 1의 함수를 갖는 T의 제품은 T와 동일하다.

예. $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}^{}}$) ${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 상수 $함수{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$U )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$ 1$\in$ C$^{\infty$}(U)로 수렴되는 U에 대한 테스트 함수 순서라고$$ 가정한다$.$$}}$ U에 대한 모든 분포 T의 경우$$, ${\displaystyle {순서}_{}^{}}({\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$i ) i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ ($f_{i}T)_${i$=1^{\nft }}}}}$이(가) T ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$′${\displaystyle }$(U ${\displaystyle )}$에 수렴한다$.$ ${\displaystytyty$T$\in$ {$D}(U).$$}$^[21]

If ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ and ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ then ${\displaystyle (f_i{T}_i{)}_{i=1}^{}}$${\$$T_{i}_{i=1}^{\\ft}}}}}}$은(는$$) f ${\displaystyle T}f{\displaystyle }$ D${\displaystyle {}^{}(}$ ( U${\displaystyle }$) 로 ${\displaystyle \mathrm{수렴}}$한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}'(U)$$}$

분포 곱하기 문제

부드러운 함수로 분포의 산물을 정의하거나, 일반적으로 단일 지지대가 분리되는 두 분포의 산물을 정의하는 것은 쉽다. 더 많은 노력을 기울이면 각 지점의 웨이브 프런트 세트가 호환될 경우 여러 분포의 품행이 양호한 제품을 정의할 수 있다. 분포 이론(및 초기능)의 한계는 1950년대에 Laurent Schwartz에 의해 증명되었듯이, 원활한 함수로 분포의 산물을 확장하는 두 분포의 연관성 있는 생산물이 없다는 것이다. 예를 들어 $p{\displaystyle \mathrm{}}$. ${\displaystyle \mathrm{v}}$ .${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle x\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$이(가) Cauchy 기본값을 통해 얻은 분포인 경우

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$이(가) Dirac 델타 분포인 경우

그렇지만 따라서 (항상 잘 정의된) 매끄러운 함수에 의한 분포의 생산물은 분포의 공간에 있는 연관성 있는 제품으로 확장될 수 없다.

따라서 비선형적인 문제는 일반적으로 제기될 수 없으며 따라서 분포이론 내에서만 해결되지 않는다. 그러나 양자장 이론의 맥락에서 해결책을 찾을 수 있다. 2시간 이상의 시간차원에서 문제는 다이버전의 정규화와 관련이 있다. 여기서 앙리 엡스타인과 블라디미르 글레이저는 수학적으로 엄격하지만 극히 기술적인 인과적 동요 이론을 발전시켰다. 이것은 다른 상황에서 문제를 해결하지 않는다. 많은 다른 흥미로운 이론들은 예를 들어 Navier와 같이 비선형적이다.-유체 역학 방정식을 강조한다.

일반화된 기능을 가진 알헤브라에 대한 완전히^{[citation needed]} 만족스럽지 않은 여러 이론들이 개발되었는데, 그 중 콜롬보의 (간편화된) 대수학이 오늘날 가장 많이 사용되고 있을 것이다.

라이온스의 거친 경로 이론에 영감을 받아 마틴 하이러는 확률론적 분석, 특히 확률론적 부분 미분 방정식의 많은 예에서 이용할 수 있는 특정 구조(정규성 구조^[23])와 분포를 곱하는 일관된 방법을 제안했다.^[22] 구비넬리-도 참조하라.푸리에 분석에서 본니의 파라프로덕트를 바탕으로 한 관련 개발을 위한 임켈러-페르코스키(2015년).

매끄러운 기능을 가진 구성

T를 $U{\displaystyle }$. ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ,${\displaystyle \mathb {R} ^{n},$ $F$ : ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle F:$$V\to U.}$ F가 잠수라면 정의가$$ 가능하다.

이것은 F와 함께 분포 T를 구성하는 것으로, F를 따라 T의 풀백이라고도 하며, 때로는 쓰여지기도 한다.

풀백은 종종 F∗,{\displaystyle F^{*}}로 표시되지만, 이 표기법은 선형 매핑의 부호를 나타내는 '*'의 사용과 혼동해서는 안 된다.

F가 산포되는 조건은 $F$의 Jacobian 파생상품 d ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle dF(x)}$이($가{\displaystyle }$) 모든 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$. {\$displaysty x\in V.}$ F$$ #${\$를 분포로$$ 확장하는 데 필요한 (충분부족) 조건인 F가 F인 요건과 동등하다. 오픈 ^[24]맵핑 역함수 정리는 이 조건을 만족시키는 것을 보장한다.

F가 잠수라면 전치도를 찾아 분포에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ F${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$# ${\$ F$^{\#}$를 정의한다$$. $이{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$확장의$$고유성은 F # {\$displaystyle$ F$^{\#}}$이(가$)$ $D{\displaystyle \mathcal{}(U}$)의 연속 선형 연산자이므로$$ 보장된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal{D}(U)$$}}$ 그러나 존재는$$ 변수 공식의 변경, 역함수 정리(로컬리) 및 단결 인수의 분할을 사용할 것을 요구한다.^[25]

F가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 열린 부분 집합 V에서 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{n$}}}$의 열린 부분 집합 U에$$ 대한 차이점형인 특별한 경우: 적분에서 변수 변경$$

이 특별한 경우 $F{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$# ${\$은(는) 전치 공식으로 정의된다$$.

콘볼루션

어떤 상황에서는 분포가 있는 함수의 콘볼루션 또는 심지어 두 분포의 콘볼루션을 정의할 수 있다. Recall that if ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are functions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ then we denote by ${\displaystyle f\ast g}$ the convolution of ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$, defined at ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 필수품이다

적분이 존재한다면. If ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ are such that ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ then for any functions ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ and ${\displaystyle g\in L^{q}(\m$Athbb{R}^{n})}우리는 ∈ 나는 r({\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb{R}^{n})}과‖ f∗ g‖ 나는 r≤ ‖ f‖ 나는 p‖ g‖ Lq.{\displaystyle)f\ast g\_{L^{r}}\leq)f\ _{L^{p}})g\ _{L^{q}}.}[26]Rn에 만약 f{\displaystyle f}과 g이 지속적인 기능,{\dis g∗ f다.놀$style \mathbb {R} ^{n},}$ at least one of which has compact support, then ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ and if ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ then the value of ${\displayst$$yle f\ast g}$ on A do not depend on the values of ${\displaystyle f}$ outside of the Minkowski sum${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.$$}$^[26]

Importantly, if ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ has compact support then for any ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ the convolution map ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ is continuous when considered as the map ${$$\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ or as the map ${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).$$}$^[26]

번역과 대칭

Given ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ the translation operator ${\displaystyle \tau _{a}}$ sends ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ to ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ defined by ${\displaystyle {\tau }_{a}f(}$${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a)$$}$ This can be extended by the transpose to distributions in the following way: given a distribution T, the translation of ${\displaystyle T}$ by ${\displaystyle a}$ is the distribution ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ defined by ${\displaystyle {\tau }_{a}T}$${.$

Given ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ define the function ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ by ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ Given a distribution T, let ${\displaystyle \tilde{T}:\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n}$${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$$tild${$T}} matcal {D}(\mathb {R} ^n}\to \mathb {C}$에 대해 \mathb {C}은$($는) T${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ (${\displaystyle \varphi }$ ) :${\displaystyle T(\varphi \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$)에 의해 정의된 분포가$$ 된다$.${\$displaystyle {\}:$$=T\왼쪽({\tilde {\phi }}}\오른쪽).$$}}$ 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle T\stackrel{}{}}$~ ${\$는 원점에 관해서 대칭이라고 한다$$.^[27]

분포를 이용한 시험함수의 콘볼루션

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}(\mathb {R}^{n})$를 사용한 콘볼루션은 선형 지도를 정의한다$$.

$표준{\displaystyle \mathcal{}}$ LF 공간 토폴로지와 관련하여 D${\displaystyle ({}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathb {R}$^{$n})$에 연속적으로 배치된다.$}$

Convolution of ${\displaystyle f}$ with a distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ can be defined by taking the transpose of ${\displaystyle C_{f}}$ relative to the duality pairing of ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ with 공간$$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}'(\mathb {R} ^{n})$ 분포.^[29] $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$ ,${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f,g,\phi \in${\$mathcal {D}(\mathb {R} ^n}),}$인 경우, 후비니의 정리대로 한다$$.

연속성에 의해 확장되며, 분포 T가 있는$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 콘볼루션은 다음과 같이 정의된다.

테스트 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과(와) 분포 T의 경합을 정의하는 다른 방법은 번역 연산자 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$. ${\displaystyle \tau_{a}$를 사용하는 것이다.$}}$$$압축적으로 $지원$되는 함수 f {\$displaystyle$ f$}$과(와) 분포 T의 콘볼루션은 각$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 정의된 함수임

매끄럽고 압축적으로 지원되는 기능과 분배의 경련이 매끄러운 기능임을 보여줄 수 있다. 분포 T에 콤팩트한 지원이 있는 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 다항식(resp. 지수함수, 분석함수인 경우, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}$^{$${\displaystyle {}^{}}$$}}$에 대한$$ 전체 분석함수의 제한, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystystyle \mathb {R},$ {$n}.$Cn에Ponential형 Rn에 ^{n}}(^{n}})와 같이 동일한 T∗의 사실이다.{T\ast f\displaystyle}[27]만약 유통 T로, 그럼. f컴팩트한 지지를 받고 있∗ T{\displaystylef\ast T}은 간결하게 지원되는 기능 및Titchmarsh convolut.이온정리 휴먼더(1983년, 정리 4.3.3)는 다음을 함축하고 있다.

여기서 ${\displaystyle \mathrm{ch}}$ ${\displaystyle \chname {ch}$은(는) 볼록한 선체를 나타내며$$ 지지대를 나타낸다.

분포를 이용한 매끄러운 기능의 콘볼루션

Let ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ and ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ and assume that at least one of ${\displaystyle f}$ and T has compact support. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f$$}$ 및 T {\displaystyle $f}$ 또는$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle T\ast f}$로 표시되는 f ${\displaystyle$f}과$$ t의 경련은 부드러운 함수다$$.^[27]

${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ :

If T is a distribution then the map ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ is continuous as a map ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ where if in addition T has compact support then it is also continuous as the map ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ and continuous as the map ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$$}$^[27]

If ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ is a continuous linear map such that ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ for all ${\displaystyle \alpha }$ and all ${\displaystyle \varphi \in \mathcal{D}({}^{}}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ then there exists a distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ such that ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ for all ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {$$R} ^{n}).$$}$^[7]

예.^[7] $H$를$$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}}$의 Hwaviside 함수로 설정.$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle D(R\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}(\mathb${$R}),}$에 대해 {\mathb {$R},}$

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를) 디락 측정치(0)와 Δ Δ${\displaystyle {}^{}}$Δ ${\$을(를) 분포로 한다$$. 그러면 $\Delta {\displaystyle {}^{}}$Δ ${\displaystyle H}$=$$ {\$displaystyle \delta '\delta$ '\$delta '\$delta }${\displaystyle }및$ 1 Δ$$${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle 1\st \delta '=0.}$ 중요한$$ 것은 연관법이 다음을 지키지 못한다는 것이다.

분포의 콘볼루션

또한 ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n},},$ 둘 중 하나가 소형 지원을 받는다면$$ 두 분포 S와 T의 경합을 정의할 수도 있다. 비공식적으로 T가 콤팩트한 지원을 받는 $S$ ${\displaystyle \ast }$ T ${\displaystyle S\ast T}$을(를) 정의하기 위해서는 연관성 공식에 따라 콘볼루션 ${\displaystyle \ast }$ ${\$의 정의를 분포에 대한 선형 연산으로 확장하는$$ 것이 목적이다.

모든 테스트 기능 $\varphi {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \phi .}$에 대해 계속 유지됨

또한 분포의 콘볼루션에 대한 보다 명시적인 특성화를 제공할 수 있다.^[29] S와 T가 분포이고 S가 소형 지지대를 가지고 있다고 가정하자. 그러면 선형 지도는

연속적이다. 이러한 맵의 변환점: 결과적으로 연속성이며 또한 다음과^[27] 같은 것을 보여줄 수 있다.

This common value is called the convolution of S and Tand it is a distribution that is denoted by ${\displaystyle S\ast T}$ or ${\displaystyle T\ast S.}$ It satisfies ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} ($$T).}$^[27] If S and T are two distributions, at least one of which has compact support, then for any ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}$$T\right.$$}$^[27] If T is a distribution in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and if ${\displaystyle \delta }$ is a Dirac measure then ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$;^[27] thus ${\displaystyle \delta }$ is the identity element of the convolution operation. Moreover, if ${\displaystyle f}$ is a function then ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ where now the associativity of convolution implies that ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ for all functions ${$$\displaystyle f}$ $및$ g${\displaystyle }$. ${\displaystyle g.}$

소형 지지대를 가진 것이 T라고 가정해 보자. $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \phi \in {\mathcal$ {$D}(\mathb {R} ^{n})$의 경우 함수를 고려하십시오$$.

$이$는 x${\displaystyle }$, ${\displaystyle x,}$의 매끄러운 기능을 정의하고 있으며$$, 또한 콤팩트한 지지를 가지고 있음을 쉽게 알 수 있다. S와 T의 경련은 다음과 같이 정의된다.

이것은 기능의 콘볼루션에 대한 고전적인 개념을 일반화하며, 다음과 같은 의미에서 차별화와 호환된다: 모든 다중 지수 $\alpha {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \alpha.}$

한정된 수의 분포의 경련은 (가능할 수 있는 한 가지를 제외하고) 모두 콤팩트한 지지를 가지고 있으며, 연관성이 있다.^[27]

이 경련 정의는 S와 T에 대한 덜 제한적인 가정 하에서 유효하다.^[31]

The convolution of distributions with compact support induces a continuous bilinear map ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ defined by ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ where ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ denotes the space 분포를 정밀하게 지지한다.^[20] 그러나 함수 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) 별도로 연속되어 있지만 연속되어^[20] 있지$$ 않다.^[32] The convolution maps ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ given by ${\displaystyle }$${\displaystyle (f}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*$^[20]T} 둘 다 연속되지 않는다$$. 그러나 이러한 비연속적 지도는 각각 별도로 연속적이고 저순하다.^[20]

콘볼루션 대 곱하기

일반적으로 곱셈 제품의 경우 규칙성이, 콘볼루션 제품의 경우 국소성이 요구된다. 그것은 콘볼루션과 곱셈 생산물의 존재를 보증하는 콘볼루션 정리(Convolution Organization)의 다음의 연장선에서 표현된다. Let ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ be a rapidly decreasing tempered distribution or, equivalently, ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ be an ordinary (slowly growing, smooth) function within the space of tempered distributions and let ${\displaystyle F}$슈워츠(1951년)에 따르면$,$ 당시는 정규화된 (단일화된, 보통 주파수) 푸리에 변환이^[33] $된다$.

강화 분포의 공간 내에서 ^[34][35][36]보유하다 ${\displaystyle 특히}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ {$\$ {\$displaystyle$g\$equiv \operatorname$ {\$text{ш}}}}$이(가) 디락 콤이라면 이러한 방정식은 포아송 합산식이 된다.^[37] 모든 급속하게 감소하는 강화 분포의 공간은 콘볼루션 ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle O_{}^{}}$ C$′{\$의 공간이라고도 하며$$, 강화 분포 공간 내에 있는 모든 통상적인 기능의 공간은 곱셈 연산자 ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}$의 공간이라고도 한다.}_{M}.}더 일반적으로, F(OC′))OM{\displaystyle F({{O}}'_\mathcal{C})={\mathcal{O}}_{M}}와 F(OM))OC′.{\displaystyle F({\mathcal{O}}_{M})={\mathcal{O}}'_{C}.}[38][39]특정한 경우는 Paley-Wiener-Schwartz 정리하는 F(E′))PW{\displaystyle F(이라고 말한다.${\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ and ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ This is because ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ and ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ In other words, compactly supported tempered distributions ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ belong to the space of convolution operators${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ and Paley-Wiener functions ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ better known as bandlimited functions, belong to the space of multiplicati연산자 ${\displaystyle O_{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {O}_{M}}$에 대해

For example, let ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ be the Dirac comb and ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ be the Dirac delta then ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ is the function that is constantly one 두 방정식 모두 디락 빗의 정체성을 산출한다. Another example is to let ${\displaystyle g}$ be the Dirac comb and ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ be the rectangular function then ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ is the sinc function and both equations yield the 적합한 ${\displaystyle \mathrm{직장}}$ ${\displaystyle \operatorname {rect}$ 함수에$$ 대한 고전적 샘플링 정리. More generally, if ${\displaystyle g}$ is the Dirac comb and ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ is a smooth window function (Schwartz function), e.g. the Gaussian, then ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$ is another 부드러운 윈도우 기능(슈워츠 기능). 이들은 특히 부분 미분방정식 이론에서는 연체자로 알려져 있거나, 일반화된 기능을 규칙적인 함수로 바꿀 수 있기 때문에 물리학에서는 정규자로 알려져 있다.

텐서 분포 산물

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$m}$ $및$ V ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 열린 세트로 한다$$. Assume all vector spaces to be over the field ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ where ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ For ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ define for every ${\displaystyle u\in U}$ and every $$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle v\in$ V$}:$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}^{\premy }(U)}$ 및 $T$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}V}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyty T\in {\mathcal {D}^{\premypreme}}}}}$에 따라 다음 $기능$을 정의한다$.$

where ${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ and ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$$}$ 이러한$$ 정의는 모든 $S{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle (U}$) ${\displaystyle$ S$\in {\mathcal$ {$D}(U)}$ 및$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}(V)$을(관련) 연속 선형 지도와$$ 연관시킨다.

또한 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}($resp). ${\displaystyle }$$T$ ${\$$displaystyle$ $T$$}$은$($는) 콤팩트하게 지지한 후 $C{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$→ C $∞$ ($V$의 연속 선형 지도를 유도하기도 한다$.$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$($){\displaystyle C^{\infully }(U\times$ V$)\to$ C$^{\infuly$}($U)}).$^[41]

The tensor product of ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ and ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$ denoted by ${\displaystyle S\otimes T}$ or ${\displaystyle T\otimes S,}$ is the distribution in ${\displaystyle U\times V}$ defined by:^[41]

분포 공간

모든 << k{ ${\displaystyle 0}$ 및 < < , ${\displaystyle 1<p<\$p<\$fty>}$에 대해 다음과 같은 표준 주사 하나하나가 연속적이며 코도메인의 조밀한 부분 집합인 이미지(또는 범위라고도 함)를 가지고 있다.

where the topologies on ${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$ (${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$) are defined as direct limits of the spaces ${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$ in a manner analogous to how the topologies on ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ were defined (따라서 특히, 그것들은 일반적인 표준 토폴로지가 아니다. 위의 각 지도(및 위의 지도 구성)의 범위는 코도메인에 밀도 있다.^[42]

Suppose that ${\displaystyle X}$ is one of the spaces ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ (for ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$) or ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ (for ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) or ${\displayst$$yle L^{p}(U)}$ $$( < ${\displaystyle 1\leq$ p$<\fty }$의 경우). ${\displaystyle {표준}_{}}$ 주입 ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X:$$C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ is a continuous injection whose image is dense in the codomain, this map's transpose ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ is a continuous injection. 따라서 $이{\displaystyle }$ 주입식 전치 지도는 X ${\displaystyle X}$의 연속 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ X$'}$을(를) 모든 분포의$$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$D}(U)$의 특정 벡터 하위 공간으로 식별할 수 있도록$$ 한다(특히 이 전치 지도 이미지로 식별). 이 전치 지도는 연속적이지만 꼭 위상학적 내장일 필요는 없다. A linear subspace of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ carrying a locally convex topology that is finer than the subspace topology induced by ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ is called a space of distributions.^[43] 이 글에서 언급된 분포의 거의 모든 공간은 이러한 방식으로 발생한다(예: 강화 분포, 제한, 순서 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq }$의 일부 정수, 양의 라돈 측정에 의해 유도된 분포, $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ -function$$ 등).tion theorem about the continuous dual space of ${\displaystyle X}$ may, through the transpose ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ be transferred directly to elements of the space ${\displaystyle \operatornam$$e {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).$$}$

라돈 대책

The inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ is a continuous injection whose image is dense in its codomain, so the transpose ${\displaystyle {}^{t}\operator$$이름 {In} :(C_{c}^{0}(U)}^{0}}}\to${\$mathcal {D}(U)}=(C_{c}^{\inflt }}{{{b)}}}$도 연속 주입이다$.$

Note that the continuous dual space ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ can be identified as the space of Radon measures, where there is a one-to-one correspondence between the continuous linear functionals ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ and integral with resp라돈 측정, 즉,

• if ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ then there exists a Radon measure ${\displaystyle \mu }$ on U such that for all ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$ and
• if ${\displaystyle \mu }$ is a Radon measure on U then the linear functional on ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ defined by sending ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ to ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$ is continuous.

Through the injection ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ every Radon measure becomes a distribution on U. If ${\displaystyle f}$ is a locally integrable function on U then the distribution $\varphi \mapsto {\int }_{U}f(x)\varphi (x)$$d$ $x$ ${\textstyle \phi \mapsto \int_{U}f(x)\phi(x)\dx}$는 라돈$$ 측정이므로 라돈 측정은 크고 중요한 분포 공간을 형성한다.

다음은 라돈 측정의 분포 구조의 정리로서, 모든 라돈 측정치는 U에서 국소 $∞{\$ L$^{\inflt }$ 함수의$$ 파생상품의 합으로 작성할 수 있음을 보여준다.

양성 라돈 대책

함수 공간의 선형$$ 함수 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 도메인에 속하는$$ $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 음수가 아닐$$ 때마다($즉{\displaystyle }$, f ${\displaystystyle$ $f}$이(${\displaystyle 가}$$)$ 실제 값이고$$ $f{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystytime$)가 0${\displaysty$ t}이면 양이라고 한다.$(f)\geq$ 0$.}$ $C$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$에 대한 모든 양의 선형 기능은 반드시 연속(즉, 반드시 라돈 측정)임을$$ 보여줄 수 있다.^[44] 르베그 조치는 라돈 양성반응의 한 예다.

로컬 통합 기능(분포)

라돈 측정의 특히 중요한 종류 중 하나는 국소적으로 통합할 수 있는 기능을 유도된 라돈 측정은 국소적으로 통합할 수 있는 기능을 유도하는 것이다. ${\displaystyle f\mathbb{}}$: U${\displaystyle }$→ R ${\$$U\to \mathb {R}}$은(는) U의 모든 콤팩트 서브셋 K에 걸쳐 통합할 수 있는 경우 로컬 통합 기능이라고 불린다$$.^{[note 9]} 이는 모든 연속 기능 및 모든 Lp $공간{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 기능을$$ 포함하는 광범위한 기능이다. The topology on ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ is defined in such a fashion that any locally integrable function ${\displaystyle f}$ yields a continuous linear functional on ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ – that is, an element of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ – deno여기서 ted by T ${\displaystyle f_{}}$, ${\displaystyle T_{f}}$의 테스트 함수 값 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) Lebesgue 적분자에 의해 주어진다.

일반적으로$$, 혼동이 발생하지 않는다면 T $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $T_$${f}$와 f,${\displaystyle$ F}을(를$)$ 식별하여 표기법을 남용하며, 따라서 T ${\displaystyle f_{}}$ ${\$와$\varphi {\displaystyle }$ {\$displaysty \phi}$의 쌍을 이루는 경우가 많다$$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$이(가) 로컬로 통합할 수 있는 두 가지 함수인$$ 경우, 관련 분포 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$와 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystystyle$ $T_{$$g}$은($)$의 $동일$한 요소인$$ 경우$,$ {$display\$styledaystylean {$data$$.$ $및{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$은 거의 모든 곳에서 동일하다(예: Hörmander(1983, Organis 1.2.5 참조). In a similar manner, every Radon measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle U}$ defines an element of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ whose value on the test function ${\displaystyle \phi }$ is ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ As above, it is conventional to abuse notation 그리고 라돈 측정 $[\displaystyle \mu }$과 시험 함수 $[\displaystyle \phi }$ 사이의$$ 쌍을${\displaystyle }$μ,${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu }$, ϕ${\displaystyle ⟩.}$ ${\displaystyle \langle \mu,\$phi $\angle .}$ 반대로$$, 모든 분포는 부정 재미에 음이 없다.일부 라돈(양성) 측정의 경우 이 형태다.

분포로 함수 테스트

시험 함수 자체는 국소적으로 통합할 수 있으므로 분포를 정의한다. 테스트 함수 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(U$){\displaystyle C_{c}^{\npty }}(U)$의 공간은 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$′ ${\displaystyle (U}$$){\$$displaystyle$ ${D}'($$U)$의 강력한$$ 위상에 대해 순차적으로 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle (}$U$)$에 밀도가 있다$.$}[45] 어떠한 T이 ∈ D′는 T∈ D전진(U),{\displaystyle T\in{{D\mathcal}}'(U),}시험 기능의 연속(ϕ 나는)은 나는 갈1∞,{\displaystyle(\phi_{나는})_{i=1}^{\infty},}′(U){\displaystyle T\in{{D\mathcal}}'(U)}(는 강한 이중 토폴로지에)때 consid을 의미한다.ered 분포의 연속으로서 아니면 동등하게

콤팩트한 지지력을 가진 분포

The inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ is a continuous injection whose image is dense in its codomain, so the transpose map ${\displaystyle {}^{t}\operatorna$$me {In} :(C^{\inful }(U)}}{b}\to {\mathcal {D}(U)}=(C_{c}^{\infult }}{{{b)}}$도 연속$$ 주사다. 따라서 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal {E}'(U)$로 표시된 전치 이미지는 분포의 공간을 형성한다$$.^[12]

$E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 요소는 콤팩트한 지지로 분포의 공간으로 식별할 수 있다$$.^[12] 명시적으로, $T{\displaystyle }${\$displaystyle T$}이(가) U에 대한 분포인 경우, 다음은 동일하다.

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}'(U).}$
• $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 지원은 소형이다$$.
• The restriction of ${\displaystyle T}$ to ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ when that space is equipped with the subspace topology inherited from ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ (a coarser topology than the canonical LF topology), is continuous.^[12]
• U의 콤팩트 서브셋 K가 있어 K의 지원 범위가 K의 바깥쪽에 있는$$ 모든 테스트 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$에 $대해{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$( ${\displaystyle \varphi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle T(\phi )=0$을 가지고 있다$.$$}$

Compactly supported distributions define continuous linear functionals on the space ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$; recall that the topology on ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ is defined such that a sequence of test functions ${\displaystyle \phi _{k}}$ converges to 0 if and only if all deriv$\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 atives는 U의 모든 콤팩트 서브셋에서 0으로 균일하게 수렴된다$$. 반대로, 이 공간의 모든 연속 선형 기능은 콤팩트 서포트의 분포를 정의한다는 것을 알 수 있다. 따라서 압축적으로 지원되는 분포는 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( U$){\displaystyle C_{c}^{\poty$$$$}(U)$에서 $C{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$∞${\displaystyle {}^{}}$(U ${\displaystyle )}$로 확장할$$ 수 있는 분포로 식별할 수 있다${\displaystyle .}$ {\$displaystyle C^{\potty$ }.$${\poty $}.$$}$

유한순서의 분포

Let ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ The inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ is a continuous injection whose image is dense in its codomain, so the transpose ${\displaystyle {}^t\mathrm{In}:(C_c^k(U){)}_b^{\prime }\to {\mathcal{D}}^{\prime }(U)=(C_{}^{}}$${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}U}$) ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ {$D}(U)}=(C_{c}^{\infult(U){b$도 연속 주사다$$. ${\displaystyle {}^{}}$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{k(}U}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In},$ ${\displaystyle {\mathcal${D}^{$k}(U)$로 표시된$$ 이미지는 분포 공간을 형성한다$$. $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^k}$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\d}^{k}(U)}$의 요소는 순서 ${\displaystyle \le k}$. ${\displaystyle$ $\,\$$leq k.}$ 순서$$^[15] 분포${\displaystyle }$0${\displaystyle }$0, {\$displaystyle \,\leq 0}$의 분포인데, 이$$ 분포는 정확히 라돈 측정(위의 설명)이다.

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$, ${\displaystyle 0\neq$ k$\in \mathb {N}$에 대해$,$ 순서 k의 분포는${\displaystyle }$order$$$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq$ k$} 순서$ ${\displaystyle \le }$ - ${\displaystyle \,\leq k-1}$의 분포가 아니다.

분포는 순서${\displaystyle \mathrm{kk},}$ ${\displaystyle \,\leq$ k$,}$의 분포와 같이 일부 정수 k가 있고 유한 순서$$ 분포 세트가 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle {F(}^{}U}$ ${\displaystyle )}$로 표시되면 유한 순서라고 한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\d}'^{F}(U)$$}$ Note that if ${\displaystyle k\leq l}$ then ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ so that ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($){\displaystyle {\mathcal {D}'(U)$의 벡터 서브공간이며, 더 $나아가{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$D ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle F^{}}$ (U ) = D${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle U}$ ) = D ′ (${\displaystyle U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}^{F}={\mathcal}}(U)$의 경우에만 해당된다$.$$}$^[15]

유한질서의 분포구조

U에서 콤팩트하게 지지되는 모든 분포는 유한한 질서의 분포다.^[15] 실제로 U의 모든 분포는 다음과 같은 의미에서 국소적으로 유한한 질서의 분포다.^[15] If V is an open and relatively compact subset of U and if ${\displaystyle \rho _{VU}}$ is the restriction mapping from U to V, then the image of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ under ${\displaystyle \rho _{VU}}$ is contained in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{$$F}(V).}$

다음은 유한질서의 분포구조의 정리로서, 유한질서의 모든 분포를 라돈 측정의 파생상품의 합으로 작성할 수 있음을 보여준다.

예. (${\displaystyle \mathrm{무한순서}}$의 분포) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$( 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle U:=(0,\infit$ )}$$및 모든$$ 테스트 함수 $f{\displaystyle }$ ,${\displaystyle$ f$,}$에 대해 let$$.

그렇다면 S는 U에 대한 무한질서의 분포다. 더욱이 S는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 분포로 확장할 수 없다.$$즉, $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 분포 T의 제한이 S와 같도록 존재하지 않는다$$.^[46]

강화 분포 및 푸리에 변환

아래에 정의된 것은 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal {D}'(\mathb {R} ^{n}),$ R ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n})$의 분포 공간을$$ 형성하는 강화 분포다.$}}}$ 적절한$$ 하위 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$: 모든 강화 분포가 D${\displaystyle }$distribution ($R{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal$ {D}'(\mathb ${R} ^{n})$의 분포 및 요소지만, 그 반대는$$ 사실이 아니다. 모든 강화 분포는 푸리에 변환을 연구할 때 유용하며, 이는 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {D}(\mathb {R} ^{n})$의 임의 분포에는 해당되지 않는다.$}$

슈워츠 공간

슈워츠 공간 $S{\displaystyle \mathcal{}({}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{S}}(\mathb {R}^{n})$는 모든 부분파생물과 함께 무한대에서 빠르게 감소하고 있는 모든 매끄러운 기능의 공간이다$$. Thus ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is in the Schwartz space provided that any derivative of ${\displaystyle \phi ,}$ multiplied with any power of ${\displaystyle x ,}$ converges to 0 as ${\displaystyle x \to \infty .}$ These functions form a co적절하게 정의된 세미몬트 계열의 완전한 TV. 보다 정확하게는 모든 다중 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대해 다음을 정의하십시오$$.

다음 값을 모두 만족하면 슈워츠 공간에 $in{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 있다$$.

세미노름 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ,${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$의 계열은 슈워츠 공간의 국소적으로 볼록한 위상을 정의한다$$. $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n=1,}$에게 세미노름들은$$ 사실 슈워츠 공간의 규범이다. 또한 다음과 같은 세미노름 패밀리를 사용하여 위상을 정의할 수 있다.^[47]

그렇지 않으면 $S{\displaystyle \mathcal{}({}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {S}(\mathb {R} ^{n})$에서 표준을 정의할 수 있다.

슈워츠 공간은 프레셰트 공간이다(즉, 지역적으로 볼록한 완전한 메트리가 가능한 공간). 푸리에 변환은${\displaystyle {\mathrm{}}^{\alpha }}$ ${\$을 x ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ x$^{\alpha }}}$에 의한 곱셈으로$$ 변경하고 그 반대로$$, 이러한 대칭은 슈워츠 함수의 푸리에 변환도 슈워츠 함수라는 것을 암시한다.

A sequence ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ converges to 0 in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ if and only if the functions ${\displaystyle (1+ x )^{k}(\parti$$^{p}f_{i})(x)$는 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R}$^{$n}$의 전체에서 균일하게 0으로$$ 수렴되며${\displaystyle ,}$ 이는$$ 이러한 시퀀스가 $반드시{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$.$${\$displaystyle C^{\infty }(\mathb {R}$^{n}}})})에서 0으로 수렴되어야 함을 의미한다$.$$}$^[47]

${\displaystyle \mathcal{D}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {D}(\mathb {$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$$} ^{n})$는 S${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle {\mathcal {S}(\mathb {R} ^{n})$로 조밀하다.$}$ 모든 분석 슈워츠 함수의 하위$$ 집합도$$ $S{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle {\mathcal{S}}(\mathb {R} ^{n})$로 밀도가 높다.^[48]

슈워츠 공간은 핵이며, 두 지도에서 텐서(tensor) 산출물은 표준적인 허탈성 TVS-이형성을 유도한다.

여기서 $\otimes {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은 주입 텐서 제품의 완료를 나타낸다$$(이 경우 투사 텐서 제품의 완성과 동일).^[49]

강화분포

The inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is a continuous injection whose image is dense in its codomain, so the transpose ${\displaystyle$${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S})(\mathb {R}^{n})_{b}\to {\mathcal {D}'(\mathb {R} ^{n})$도 연속 주입이다$$. 따라서 $S{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal {S}(\mathb {R} ^{n})$로 표시된 전치 지도 이미지는 분포의 공간을 형성한다$$.

공간 $S{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {S}'(\mathb {R} ^n})$을 강화 분포의 공간이라고 한다$$. 슈워츠 공간의 연속적인 이중 공간이다. 마찬가지로, 분포 T는 다음과 같은 경우에만 강화 분포다.

강화분포의 파생상품은 다시 강화분포다. 강화 분포는 한정된(또는 느리게 성장하는) 국소 통합 기능을 일반화하며, 모든 소형 지지대와 사각 통합 기능이 있는 분포는 강화 분포다. 보다 일반적으로 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p\geq$ 1$}$에 대한$$ Lp 공간 ${\displaystyle L^{}}$ p (${\displaystyle {}^{}}$R ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ L$^{p}(\mathb$ {$R} ^{n})$의 요소를 갖는 다항식의 제품인 모든 함수는 강화 분포다$$.

강화 분포는 또한 느리게 성장하는 것으로 특징지어질 수 있는데, 이는 T의 각 파생상품이 어떤 다항식만큼 빨리 성장한다는 것을 의미한다. 이러한 특성화는 슈워츠 공간의 함수 파생상품의 급속한 하강 거동에 이중으로 작용하며, 여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$의 각 파생상품은 ${\displaystyle x}$의 모든 역동력보다 빠르게 소멸된다$$.${\displaystyle }${. ${\displaystyle$ x $.}$ 급하락함수의 예는$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \exp }$ exp${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$)이다.${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle$x$^{n}\exposed\proxda$x$^{\property }($모든$$ 양성 $n{\displaystyle ,\beta }$. .$$. {\$displaystyle$n,\$putda,\properties .}).$

푸리에 변환

푸리에 변환을 연구하기 위해서는 복합값 시험 함수와 복합 선형 분포를 고려하는 것이 가장 좋다. The ordinary continuous Fourier transform ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is a TVS-automorphism of the Schwartz space, and the Fourier transform is defined to be its transpose ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\to {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n}$${\displaystyle {}^{t}F:$${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ which (abusing notation) will again be denoted by ${\displaystyle F.}$ So the Fourier transform of the tempered distribution T is defined by ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ for every Schwartz function ${\displaystyle$$$따라서 $\psi .}$${\displaystyle \mathrm{F<img\; alt="\backslash psi\; ."\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.16ex;\; height:2.509ex;">}}$ T ${\displaystyle FT}$은 다시 강화 분포다$$. 푸리에 변환은 강화 분배의 공간에서 그 자체로 TVS 이형성이다. 이 작업은 다음과 같은 점에서 차별화와 호환된다.

그리고 또한 콘볼루션과 함께: $T$가 강화 분포이고 $\$ {\$displaystyle \psi}$이(${\displaystyle {}^{}}$) R n${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^n},}}$ $\psi$${\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \psi T}$은 다시 강화 분포이며$$, ${\displaystyle F}$ T ${\displaystyle FT}$ 및 $F$ ${\displaystyle \psi }$. ${\displaystyle$ F$\psi .}$ 특히$$ 1과 같은 상수함수의 푸리에 변환은 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaysty \delta }$ 분포다$$.

강화분포를 파생상품의 총합으로 표현

만일 T∈ S′(Rn){\displaystyle T\in{{S\mathcal}}'(\mathbb{R}^{n})}은 강화 유통, 그렇다면 끊임 없는 C을이 존재한다;0,{\displaystyle C>0,}과 양의 정수 M{M\displaystyle}와 N{N\displaystyle}모든 슈워츠 기능에 있는 것처럼 ϕ∈ S(Rn){\displ.aystyl$e \phi \in {\mathcal {S}(\mathb {R} ^{n})}$

기능 분석의 일부 기법과 함께 이 추정치를 사용하면 다음과$$ 같은 다중 $지수{\displaystyle }$ $\alpha {\displaystyle }$${\$$displaystyle \alpha$}과$$(와) 지속적으로 느리게 증가하는 함수가 있음을 알 수 있다.

소형 집합에 대한 분포 제한

If ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ then for any compact set ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ there exists a continuous function ${\displaystyle F}$compactly supported in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (possibly on a larger sK 자체보다) 및 $다중{\displaystyle }$ 지수 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$alpha }($T =$$$\alpha {\displaystyle {}_{}^{}}$ F {\$displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$을(를) C ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}K}$)${\displaystyle }$. ${\displaystysty C_{c}^{\inft(K)}).$$}$

홀로모르픽 함수를 테스트 함수로 사용

이 이론의 성공은 홀로모픽 함수의 공간을 시험 함수로 사용하는 과기능 사상의 연구로 이어졌다. 특히 사토 미키오의 대수학적 분석에서 칼집 이론과 몇 가지 복잡한 변수를 이용한 정제된 이론이 개발되었다. 이것은 엄격한 수학, 예를 들어 파인만 통합으로 만들 수 있는 상징적 방법의 범위를 확장한다.

참고 항목

• 콜롬보 대수
• 전류(수학)
• 분포(숫자 이론)
• 선형 대수군 분포 – 지지 조건을 만족하는 선형 함수
• 헬프랜드 트리플
• 일반화 함수
• 균등분포
• 과기능 – 일반화된 기능의 유형
• 지표의 라플라시안
• 분포의 한계
• 선형 형태 – 벡터 공간에서 스칼라 영역까지의 선형 지도
• 맬그레지-에렌프레리스 정리
• 유사형성 연산자
• 리에즈 표현 정리
• 모호한 위상
• 약한 용액

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Barros-Neto, José (1973). An Introduction to the Theory of Distributions. New York, NY: Dekker.
• Benedetto, J.J. (1997), Harmonic Analysis and Applications, CRC Press.
• Folland, G.B. (1989). Harmonic Analysis in Phase Space. Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Friedlander, F.G.; Joshi, M.S. (1998). Introduction to the Theory of Distributions. Cambridge, UK: Cambridge University Press..
• Gårding, L. (1997), Some Points of Analysis and their History, American Mathematical Society.
• Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E. (1966–1968), Generalized functions, 1–5, Academic Press.
• Grubb, G. (2009), Distributions and Operators, Springer.
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
• Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions. Addison-Wesley series in mathematics. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Petersen, Bent E. (1983). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. Boston, MA: Pitman Publishing..
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schwartz, Laurent (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", C. R. Acad. Sci. Paris, 239: 847–848.
• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des distributions, 1–2, Hermann.
• Sobolev, S.L. (1936), "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales", Mat. Sbornik, 1: 39–72.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Woodward, P.M. (1953). Probability and Information Theory with Applications to Radar. Oxford, UK: Pergamon Press.

추가 읽기

• M. J. 라이트힐(1959년). 푸리에 분석 및 일반화 함수에 대한 소개 케임브리지 대학 출판부. ISBN 0-521-09128-4(분석에 대한 지식이 거의 필요하지 않으며, 분포를 통합에 따른 함수의 시퀀스 한계로 정의)
• V.S. 블라디미로프(2002년). 일반화 함수 이론의 방법. 테일러 & 프랜시스 ISBN 0-415-27356-0
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, space of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function, derivative of a", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, product of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Generalized function algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.