드 피네티의 정리

확률론에서 de Finetti의 정리는 양적으로 상관관계가 있는 교환 가능한 관측치는 일부 잠재 변수에 대해 조건적으로 독립적이라고 기술하고 있다.인식론적 확률 분포를 이 변수에 할당할 수 있다.브루노 데 피네티를 기리기 위해 붙여진 이름이다.

교환 가능한 베르누이 랜덤 변수의 특별한 경우, 그러한 시퀀스는 독립적이고 동일한 분포의 베르누이 랜덤 변수의 시퀀스 "혼합"이라고 명시한다.

랜덤 변수의 시퀀스는 지수의 순열에 의해 시퀀스의 공동 분포가 변경되지 않는 경우 교환 가능한 변수라고 불린다.교환 가능한 시퀀스의 변수 자체가 독립적이지 않고 교환만 가능한 반면, I.i.d. 랜덤 변수의 기본 계열이 있다.즉, 일반적으로 관측할 수 없는 기초적인 수량(i.i.d – 교환 가능한 시퀀스는 i.i.d 시퀀스의 혼합물이다.

배경

베이지안 통계학자는 종종 데이터가 주어진 랜덤 수량의 조건부 확률 분포를 찾는다.교환성의 개념은 de Finetti에 의해 소개되었다.드 피네티의 정리는 독립성과 교환성 사이의 수학적 관계를 설명한다.^[1]

무한 수열

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

임의 변수의 경우 자연수 n과 두 개의 유한 시퀀스 i₁, ..., i와_n j₁, ..., j_n(각각은 구별되며, 각 j는 구별됨), 두 시퀀스를 교환할 수 있다고 한다.

${\displaystyle X_{i_{1},\dots, X_{i_{n}{n}}{\text{{n1},\X_{j_{1},\dots,X_{j_{n}}}}}}$

둘 다 동일한 접합 확률 분포를 가지고 있다.

동일하게 분포된 시퀀스가 독립적이면 시퀀스를 교환할 수 있지만, 그 역은 거짓이다. 예를 들어 Polya urn 모델과 같이 통계적으로 독립적이지 않은 교환 가능한 랜덤 변수가 존재한다.

정리명세서

랜덤 변수 X는 Pr(X = 1) = p, Pr(X = 0) = 1 - p일 경우 버누이 분포가 있다.

데 피네티의 정리는 베르누이 난수 변수의 무한 교환 가능한 수열의 확률 분포가 베르누이 난수 변수의 독립적이고 동일한 분포의 확률 분포의 "혼합물"이라고 명시하고 있다.이러한 의미에서 "혼합물"은 가중 평균을 의미하지만, 유한하거나 계수적으로 무한(즉, 이산형) 가중 평균을 의미할 필요는 없다. 합이 아니라 적분일 수 있다.

좀 더 정확히 말하자면, X₁₂, X, ...가₃ 버눌리가 분배한 랜덤 변수의 무한 교환 가능한 순서라고 가정하자.그런 다음 [0, 1] 구간에 확률 분포 m이 있고 다음과 같은 변수의 Y가 있다.

• Y의 확률 분포는 m이고
• Y의 값이 주어진 전체 시퀀스₁ X, X₂, X₃, ...의 조건부 확률 분포는 다음과 같이 기술된다.
  • X₁, X₂, X₃, ...는 Y가 주어진 조건상 독립적이다.
  • 임의의 i 1 {1, 2, 3, ...}에 대해 Y 값이_i 주어진 X = 1의 조건부 확률은 Y이다.

정리를 말하는 또 다른 방법

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$이(가) 버누이 랜덤 변수의 무한 교환 가능한 시퀀스라고$$ 가정해 보십시오.Then ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ are conditionally independent and identically distributed given the exchangeable sigma-algebra (i.e., the sigma-algebra of events measurable with respect to ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ and invariant under finite permutation지수의 s.

예

여기 구체적인 예가 있다.우리는 일련의 과정을 구성한다.

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

무작위 변수의 경우, 다음과 같은 두 개의 I.I.D 시퀀스를 "추적"함으로써.

p = 2/2 확률로 2/3을 가정하고 p = 9/10 확률로 1/2을 가정한다.사건 p = 2/3을 고려할 때, 시퀀스의 조건부 분포는 X가_i 독립적이고 동일한 분포이고 X₁ = 2/3 확률, X₁ = 1 = 1 - 2/3 확률이다.사건 p = 9/10을 고려할 때, 시퀀스의 조건부 분포는 X가_i 독립적이고 동일한 분포이고 X₁ = 1 확률 9/10, X₁ = 0 확률 1 - 9/10이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다.2/3 확률의 "헤드"와 9/10 확률의 "헤드"를 보여주는 "헤드" 두 개의 편향된 동전을 만드세요.페어 코인을 한 번 뒤집어서 기록된 모든 플립에 사용할 편향된 코인을 결정한다.여기서 "앞면"은 X_i=1을 의미한다.

여기서 주장하는 독립성은 조건부 독립성이다. 즉, 순서에서 베르누이 무작위 변수는 p = 2/3인 사건을 고려할 때 조건부로 독립적이며, p = 9/10인 사건을 고려할 때 조건부로 독립적이다.그러나 그들은 무조건 독립적이지 않다; 그들은 확실히 상관관계가 있다.

대수의 강법칙에 비추어 보면 그렇다고 할 수 있다.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \inflit }{\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}}}}}{\begin{pase}2/3&{\text}{probegin}{pectority{1}/2}.\end{case}}}$

0과 1 사이의 두 지점 각각에 확률 1/2을 집중하는 대신, "믹싱 분포"는 0에서 1까지의 구간에서 지원되는 모든 확률 분포일 수 있다. 어떤 것이 베르누이 랜덤 변수의 무한 시퀀스의 공동 분포에 따라 달라진다.

교환성의 정의, 그리고 정리의 문장은 유한 길이 시퀀스에 대해서도 이치에 맞는다.

${\displaystyle X_{1},\dots,X_{n}}$

하지만 그 경우 정리는 일반적으로 사실이 아니다.무한히 긴 교환 가능한 시퀀스로 시퀀스를 확장할 수 있다면 사실이다.그렇게 확장할 수 없는 베르누이 랜덤 변수의 교환 가능한 시퀀스의 가장 간단한 예는 X₁ = 1 - X와₂ X가₁ 각각 확률 1/2을 갖는 0 또는 1인 경우다.이 순서는 교환이 가능하지만 무한히 긴 순서는 말할 것도 없고 길이 3의 교환 가능한 순서에까지 연장할 수는 없다.

확장

유한 교환 가능한 시퀀스에 대한 데 피네티의 정리 버전과 ^[2][3]마르코프 교환 가능한 시퀀스에^[4] 대한 버전은 디아코니스와 프리드먼, 그리고 케른스와 스체켈리에 의해 증명되었다.분리 및 공동 교환성으로 알려진 어레이의 부분 교환성에 대한 두 가지 개념은 알두스와 후버에 의한 어레이에 대한 데 피네티의 정리의 확장으로 이어진다.^[5]

계산 가능한 de Finetti 정리는 실제 랜덤 변수의 교환 가능한 순서가 컴퓨터 프로그램에 의해 주어진다면, 혼합 측정에서 샘플이 나오는 프로그램은 자동으로 복구될 수 있다는 것을 보여준다.^[6]

자유확률 설정에서, 양자 순열 하에서 불변하는 비확정 시퀀스를 특징짓는 데 피네티의 정리의 비확장성이 있다.^[7]

디 피네티의 정리를 양자 상태로 확장하는 것은 양자 키 분포와^[11] 얽힘 감지 같은 주제에서 ^[8][9][10]양자 정보에 유용한 것으로 밝혀졌다.^[12]

참고 항목

• 초케 이론
• 휴이트-사비지 제로원 법칙
• 크레인-밀만 정리

참조

외부 링크

• Accardi, L. (2001) [1994], "De Finetti theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• De Finetti의 표현 정리가 뭐가 그렇게 멋져?