밀도 하위 모듈

추상대수학에서, 특히 모듈 이론에서, 모듈의 밀도 있는 서브모듈은 필수적인 서브모듈의 개념의 정교화다.N이 M의 밀집된 서브모듈이라면, 대안으로 "N ⊆ M은 합리적인 확장이다"라고 말할 수 있다.촘촘한 하위절은 비확정 고리 이론에서 인용구의 고리와 연결된다.여기에 나타난 대부분의 결과는 (Johnson 1951), (Utumi 1956), (Findlay & Lambek 1958) harv error: no target: CITREFFindlayLambek1958 (도움말)에서 처음 확립되었다.

이 용어는 일반적인 위상에서의 밀집 하위 집합의 개념과는 다르다는 점에 유의해야 한다.고밀도 하위 모듈을 정의하기 위해 위상이 필요하지 않으며, 위상이 있는 모듈에서 고밀도 하위 모듈이 토폴로지를 가진 모듈에서 토폴로지가 밀도일 수도 있고 아닐 수도 있다.

정의

이 기사는 (Storrer 1972), (Lam 1999, 페이지 272)에 나타나는 전시를 수정한다.R을 링으로 하고, M은 서브모듈 N이 있는 우측 R 모듈로 한다.M의 원소 y에 대해 정의

${\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,}$

y라는⁻¹ 표현식은 모듈 요소 y를 변환할 수 없다고 말하는 것은 의미가 없으므로 형식적일 뿐이지만, 표기법은 y⋅(yN⁻¹) ⊆ N을 암시하는 데 도움이 된다. y N은 항상 R의 올바른 이상이다.

M의 서브모듈 N은 X 0 0을 가진 M의 모든 x와 y에 대해 R에 xr if {0}, yr이 N에 있는 경우 조밀한 서브모듈이라고 한다.즉, 도입된 표기법을 사용하여, 세트

${\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,}$

이 경우 관계는 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle N\subseteq _{d}M\,}$

또 다른 동등한 정의는 자연에서 동질적 정의로, N은 만약의 경우에 한해서만 M에 밀도가 있다.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M)=\{0\}\,}$

여기서 E(M)는 M의 주입 선체다.

특성.

• 만일 M의 모든 y ≠ 0에 대해 설정된 y y(y N) ≠ {0}이(가)인 경우에만 N이 M의 필수 하위 모듈임을 알 수 있다.분명히, 모든 밀도 있는 하위절은 필수적인 하위절이다.
• 만약 M이 비논술 모듈이라면, N은 M에서 필수적일 경우에만 M에서 밀도가 높다.
• 반지는 그것의 본질적인 올바른 이상이 모두 밀도 있는 올바른 이상일 경우에만 우측 비언어적 반지다.
• 'N'과 'N'이 M의 조밀한 하위종이라면, 'N n N'도 마찬가지다.
• N이 조밀하고 N이 K가 M이면 K도 조밀하다.
• 만약 B가 R에서 밀도 있는 오른쪽 이상이라면, R에서 y에 대한 yB도⁻¹ 그렇다.

예

• 만약 x가 R의 중심에 있는 비 제로디비소르라면, xR은 R의 밀도 있는 오른쪽 이상이다.
• If I is a two-sided ideal of R, I is dense as a right ideal if and only if the left annihilator of I is zero, that is, ${\displaystyle \ell \cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,}$. In particular in commutative rings, the dense ideals are precisely the ideals which are faithful modules.

적용들

모듈의 합리적 선체

모든 우측 R 모듈 M에는 주입식 선체인 최대 필수 확장 E(M)가 있다.최대 밀도 확장을 사용한 유사 구조로 E(M)의 하위 모듈인 합리적 선체 hull(M)이 생성된다.모듈에 적절한 이성적 확장이 없을 때, ((M) = M이 될 때, 모듈은 이성적으로 완전하다고 한다.R이 비논리적으로 맞으면 당연히 ((M) = E(M)이다.

주입식 선체 안에서 합리적인 선체를 쉽게 확인할 수 있다.S=E_R(M)를 주입 선체의 내형성 링으로 한다.그러면 주입 선체의 요소 x는 M에 0인 S의 모든 지도에 의해 x가 0으로 전송되는 경우에만 합리적인 선체에 있다.기호로는

${\displaystyle {\tilde{E}}=\{x\in E(M)\mid \f\in S,f(M)=0\implies f(x)=0\\},}$

일반적으로 S에는 M에 0이지만 M에 0이 아닌 일부 x에 대해서는 0이 아닌 지도가 있을 수 있으며, 그러한 x는 합리적인 선체에 없을 것이다.

인수의 최대 우측 링

인수의 최대 우환(right ring)은 R의 밀도 있는 우환(right idea)과 관련하여 두 가지 방법으로 설명할 수 있다.

• 한 가지 방법으로, ((R)은 특정 내형성 링에 대한 모듈 이형성을 나타내며, 이 이형성을 가로질러 ẽ(R)을 imbue )(R)로, 인수의 최대 우측 링으로 한다. (Lam 1999, 페이지 366)
• 두 번째 방법에서, 인수의 최대 우측 고리는 R의 밀도 있는 우측 이상에서 R까지의 동형성의 동등성 등급 집합으로 식별된다.등가관계는 두 함수가 R.의 밀도 있는 권리 이상에 동의하는 경우 등가라고 말한다(Lam 1999, 페이지 370).

참조

• Findlay, G. D.; Lambek, J. (1958), "A generalized ring of quotients. I, II", Canadian Mathematical Bulletin, 1 (2): 77–85, 155–167, doi:10.4153/CMB-1958-009-3, ISSN 0008-4395, MR 0094370
• Johnson, R. E. (1951), "The extended centralizer of a ring over a module", Proceedings of the American Mathematical Society, 2 (6): 891–895, doi:10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9, ISSN 0002-9939, MR 0045695
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Storrer, Hans H. (1972), "On Goldman's primary decomposition", Lectures on Rings and Modules (Tulane Univ. Ring and Operator Theory), Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer, I (1970–1971): 617–661, doi:10.1007/bfb0059571, ISBN 978-3-540-05760-4, MR 0360717
• Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Mathematical Journal, 8: 1–18, doi:10.18910/8001, MR 0078966