주입 선체

수학에서, 특히 대수학에서, 모듈의 주입 선체(또는 주입 봉투)는 그것을 포함하는 가장 작은 주입 모듈이고 그것의 가장 큰 필수 확장이다.주입식 선체는 (Eckmann & Schopf 1953)에서 처음 설명되었다.

정의

모듈 E는 모듈 M의 주입 선체라고 하는데, E는 M의 필수 확장형이고 E는 주입형이라면 M의 주입형 선체라고 한다.여기서, 베이스 링은 비록 비협조적일지는 몰라도 단결된 링이다.

예

• 주입 모듈은 자체 주입 선체다.
• 적분 영역의 주입 선체는 분수의 영역이다(Lam 1999, 사례 3.35).
• 순환 p-그룹(Z-module)의 주입 선체는 Prüfer 그룹(Lam 1999, 사례 3.36)이다.
• R/rad(R)의 주입 선체는 Hom_k(R,k)이며, 여기서 R은 Jacobson rodical rad(R)를 가진 유한차원 k-algebra이다(Lam 1999, 사례 3.41).
• 간단한 모듈은 반드시 주입식 선체의 소클이다.
• 이산형 평가 링$({\displaystyle R,}$ ${\displaystyle m\mathfrak{},}$ ${\displaystyle k}$ ) ${\displaystyle(R,{\mathfrak{m},k)$의 인수 필드의 주입 선체 $여기$서 m${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\m}=x\cdot$ R$}$은 ${\displaystyle R_{}}$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaysty R_{x}/R$^[1]이다.
• In particular, the injective hull of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ in ${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$ is the module ${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$.

특성.

• M의 주입 선체는 M의 정체인 이소모르프까지 독특하지만, 이소모르프리즘이 반드시 독특한 것은 아니다.주입식 선체의 지도확장 속성이 본격적인 보편적 속성이 아니기 때문이다.이런 특수성 때문에 선체를 E(M)로 표기할 수 있다.
• 주입형 선체 E(M)는 모듈 B에 대해 MeE(M) bB가 있다면 M은 B의 필수 하위 모듈이 아니라는 점에서 M의 최대 필수 확장이다.
• 주입 선체 E(M)는 주입 모듈 B에 대한 M forB가 B의 서브모듈에 (이형)인 경우 E(M)가 B의 서브모듈이라는 점에서 M이 포함된 최소 주입 모듈이다.
• N이 M의 필수 하위 모듈이라면 E(N)=E(M)이다.
• 모든 모듈 M에는 주입식 선체가 있다.R의 이상을 헤쳐나가는 동형상 Hom(I, M)이라는 관점에서 주입형 선체의 구조는 플라이셔(1968년)에 의해 주어진다.
• 투영 커버의 이중 개념은 모듈에 항상 존재하는 것은 아니지만, 모든 모듈에 대해 평평한 커버가 존재한다.

링 구조

경우에 따라 R의 경우 자기주사 링 S의 서브링에 대해 R의 주입 선체도 링 구조를 갖게 된다.^[2]예를 들어, S를 필드 위의 전체 매트릭스 링으로 하고, R을 마지막 열을 제외한 모든 매트릭스를 포함하는 링으로 삼으면 우측 R-모듈 R의 주입 선체는 S이다.예를 들어, R을 모든 위쪽 삼각형 행렬의 링으로 사용할 수 있다.그러나 (Osofsky 1964)의 예에서 알 수 있듯이 링의 주입 선체에 링 구조가 있는 경우가 항상 있는 것은 아니다.

주입식 선체에 링 구조가 있는 많은 종류의 링은 비경상 링이다.^[3]특히 일체형 영역의 경우 링의 주입형 선체(자체 위에 모듈로 간주됨)가 분수의 영역이다.비반환 링의 주입 선체는 비반복 링에 대한 인용 고리의 아날로그를 제공하며, 이 경우 Ore 조건이 없을 경우 인용구의 고전적 링 형성을 방해할 수 있다.이런 종류의 "시세의 고리"(이러한 보다 일반적인 "분수 분야"라고 불리기 때문에)는 (우투미 1956년)에서 개척되었고, (람베크 1963)에서 주입 선체에 대한 연결이 인정되었다.

균일한 치수 및 주입 모듈

R 모듈 M은 M의 주입 선체가 n개의 외설 가능한 하위조종의 유한 직접 합인 경우에만 유한한 균일한 치수(=마인릿 순위) n을 가진다.

일반화

보다 일반적으로 C를 아벨의 범주로 삼아라.물체 E는 M → E가 필수 확장물이고 E는 주입 물체라면 물체 M의 주입 선체다.

만약 C가 국소적으로 작고 그로텐디크의 공리 AB5를 만족시키고 충분한 주사를 가지고 있다면, C의 모든 물체는 주입형 선체를 가지고 있다(이 세 가지 조건은 링 위에 있는 모듈의 범주에 의해 충족된다).^[4]그로텐디크 범주의 모든 물체에는 주입식 선체가 있다.

참고 항목

• 평면 커버, 주입식 선체 이중 개념.
• 합리적인 선체:이것은 최대 이성적 확장을 고려할 때 주입 선체의 아날로그다.

메모들

참조

• Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik, 4 (2): 75–78, doi:10.1007/BF01899665, ISSN 0003-9268, MR 0055978
• Fleischer, Isidore (1968), "A new construction of the injective hull", Canadian Mathematical Bulletin, 11: 19–21, doi:10.4153/CMB-1968-002-3, MR 0229680
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Lambek, Joachim (1963), "On Utumi's ring of quotients", Canadian Journal of Mathematics, 15: 363–370, doi:10.4153/CJM-1963-041-4, ISSN 0008-414X, MR 0147509
• Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics, 8: 511–528, doi:10.2140/pjm.1958.8.511, ISSN 0030-8730, MR 0099360
• 마츠무라, H. Communative Ring 이론, 케임브리지에서는 고급 수학 제8권에 대해 연구한다.
• Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
• Osofsky, B. L. (1964), "On ring properties of injective hulls", Canadian Mathematical Bulletin, 7: 405–413, doi:10.4153/CMB-1964-039-3, ISSN 0008-4395, MR 0166227
• Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Journal of Mathematics, 8: 1–18, ISSN 0030-6126, MR 0078966

외부 링크

• 주입 선체(PlanetMath 기사)
• 등급이 유한한 모듈의 PlanetMath 페이지